ЗАРАБАТЫВАЙТЕ !!! на глобальных рынках. БЕСПЛАТНАЯ консультация - оставьте свой телефон сейчас

Дифференциал (Differential) - это

бесконечно малое изменение математической величины, возникающее при таких же малых изменениях переменной

Понятие математического дифференциала, история его изучения, геометрический смысл и свойства, обозначение и знак дифференциала, дифференциалы функции и отображения, дифференциалы одного и нескольких порядков функций с одной и несколькими переменными, частный и полный дифференциалы, таблица дифференциалов и примеры вычисления, дифференциальные исчисления и дифференциальные уравнения, применение понятия дифференциала в реальной жизни.

Развернуть содержание

Дифференциал - это, определение

Дифференциал – это (от латинского differetia разность, различие) значение бесконечно малого изменения математической величины (функции) возникающее вследствие малого изменения переменной. Если провести касательную к графику функции y=f(x), то при изменении аргумента функции касательная в точке получает линейное приращение, которое и является дифференциалом функции. В большинстве случаев записывается как df. Также дифференциалом называют механическое автомобильное устройство, которое является передатчиком вращения.

Дифференциал от латинского разность
Дифференциал от латинского разность

Дифференциал - это (от лат. differetia разность, различие) в математике, главная линейная часть приращения функции.

Дифференциал с геометрической точки зрения
Дифференциал с геометрической точки зрения
Дифференциал и дифференцируемые функции

 Дифференциал - это малое изменение величины в математическом выражении вследствие такого же незначительного изменения переменной.

Уравнение Коши-Римана
Уравнение Коши-Римана

Дифференциал - это малое изменение величины в математическом выражении вследствие такого же незначительного изменения переменной. Если обозначить функцию х как f(x), то дифференциал функции, образующийся вследствие небольшого изменения х (обозначим dх), записывается как df и задается в видe:

Форма, в виде которой задается дифференциал
Форма, в виде которой задается дифференциал

- производная от f(x).

Геометрический смысл дифференциала
Геометрический смысл дифференциала

Дифференциал - это предел бесконечно малой разности между функцией переменного, получившего бесконечно малое приращение, и первоначальной функцией того же переменного (математический термин).

Дифференциал как предел
Дифференциал как предел

Дифференциал - это главная линейная часть приращения зависимой переменной величины (функции), приближенно выражающая значение этого приращения.

Приращения в функции на графике параболы
Приращения в функции на графике параболы

Дифференциал - это приращение независимой переменной величины (аргумента). 

Весомый аргумент
Весомый аргумент

Дифференциал - это форма, которая характеризует поведение функции в окрестности точки.

График линейной функции
График линейной функции

Дифференциал - это скорость изменения значения переменной на протяжении времени, которое считается непрерывной переменной. Скорость изменения переменной у, dy/dt, часто обозначается точкой над y; d2y/dt2 обозначается двумя точками над y, и т. д.

Скорость изменения переменной
Скорость изменения переменной

Дифференциал - это одно из основных понятий дифференциального исчисления.

Латинское издание, описывающее понятие differentia
Латинское издание, описывающее понятие differentia

Дифференциал - это линейная функция, приближенно равная некоторой функции в окрестности какой-нибудь точки.

График простейшей линейной функции
График простейшей линейной функции

Дифференциал - это один из основных конструктивных элементов трансмиссии.

Трансмисия
Трансмисия

Дифференциал - это линейная часть приращения функции.

Приращение функции
Приращение функции

Дифференциал - это механическое устройство, которое делит момент входного вала между выходными валами. Наиболее широко применяется в конструкции привода автомобилей, где момент от выходного вала коробки передач (или карданного вала).

Схематическое отображение автомобильного дифференциала
Схематическое отображение автомобильного дифференциала

Дифференциал - это премия или скидка по отношению к цене базисного сорта, с которыми могут быть предложены другие сорта, допустимые к поставке по фьючерсному контракту. Дифференциал компенсация дилеру за совершение сделки с нестандартной партией ценных бумаг.

Фьючерсный контракт
Фьючерсный контракт

Понятие математического дифференциала

Понятие дифференциала было введено Готфридом Лейбницем. Оно обладало ужасными свойствами: по Лейбницу дифференциал был бесконечно малым числом. То есть одновременно - и ненулевым числом и в то же время - по модулю меньше любого положительного вещественного числа. 

Готфрид Лейбниц - математик изучавший понятие дифференциала
Готфрид Лейбниц - математик изучавший понятие дифференциала

Современная алгебра знает способ создавать такие конструкции - добавить к числам новое "число", с необычными качествами (похожим приемом, например, изобрели комплексные числа, - добавлением "мнимой единицы" i). Здесь добавляют "бесконечно малое" число ω. Получается система "гипервещественных" чисел. Фактически именно ее и изобрел Лейбниц ("нестандартный анализ"). Точно так же, как в теории комплексных чисел есть способ увидеть, что мнимая единица i есть нечто реальное и осязаемое (пара вещественных чисел 0 и 1, точка 1 на оси ординат), - точно так же и в нестандартном анализе есть способ придать этому ω понятный вид. Но нам это все без пользы.

Мнимая единица
Мнимая единица

Лейбниц, придумывая столь своеобразное определение дифференциала, исходил из практики приближенных вычислений, опирающихся на малый прямоугольный треугольник, чьи катеты есть малые по величине разности

Малые по величине разности
Малые по величине разности

а гипотенуза, секущая для графика функции, за счет чрезвычайной малости треугольника, почти совпадает с касательной. Идея Лейбница: совпадение секущей с касательной можно сделать сколь угодно хорошим за счет выбора достаточно малых чисел

Достаточно малые числа x и y
Достаточно малые числа x и y

(первое задаем, второе получаем из формулы для функции).

Линеризация методом касательной
Линеризация методом касательной

Лейбницу хотелось оперировать с этими понятиями в "предельном случае", в идеально точном, когда треугольник становится сколь угодно малым, а секущая сливается с касательной. Именно для такого придуманного им треугольника он употребил слово "разность" (differentia - по латыни разность, разница) - в виде слова "дифференциал" - в смысле "бесконечно малая разность", вложил в него это фантастическое свойство - быть числом, но при этом "бесконечно малым". Надо заметить, что сами-то величины приращений ему были не нужны. Ему было нужно их отношение

Тангенс угла наклона гипотенузы
Тангенс угла наклона гипотенузы

А это позволяло ему думать, что треугольник у него на самом деле реальный, - ведь его размеры можно было не уменьшать, лишь бы отношение катетов было нужным.

Уменьшающийся треугольник Лейбница
Уменьшающийся треугольник Лейбница

Теория дифференциальных уравнений является одним из самых больших разделов современной математики. Чтобы охарактеризовать ее место в современной математической науке, прежде всего необходимо подчеркнуть основные особенности теории дифференциальных уравнений, состоящей из двух обширных областей математики: теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории уравнений с частными производными.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний
Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний

Первая особенность - это непосредственная связь теории дифференциальных уравнений с приложениями. Характеризуя математику как метод проникновения в тайны природы, можно сказать, что основным путем применения этого метода является формирование и изучение математических моделей реального мира. Изучая какие-либо физические явления, исследователь прежде всего создает его математическую идеализацию или, другими словами, математическую модель, то есть, пренебрегая второстепенными характеристиками явления, он записывает основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. Очень часто эти законы можно выразить в виде дифференциальных уравнений. Такими оказываются модели различных явлений механики сплошной среды, химических реакций, электрических и магнитных явлений и др.

Основы теории дифференциальных уравнений
Основы теории дифференциальных уравнений

Исследуя полученные дифференциальные уравнения вместе с дополнительными условиями, которые, как правило, задаются в виде начальных и граничных условий, математик получает сведения о происходящем явлении, иногда может узнать его прошлое и будущее. Изучение математической модели математическими методами позволяет не только получить качественные характеристики физических явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реального процесса, но и дает возможность проникнуть в суть физических явлений, а иногда предсказать и новые физические эффекты. Бывает, что сама природа физического явления подсказывает и подходы, и методы математического исследования. Критерием правильности выбора математической модели является практика, сопоставление данных математического исследования с экспериментальными данными.

Математическая модель, которая отражает данные математического исследования
Математическая модель, которая отражает данные математического исследования

Для составления математической модели в виде дифференциальных уравнений нужно, как правило, знать только локальные связи и не нужна информация обо всем физическом явлении в целом. Математическая модель дает возможность изучать явление в целом, предсказать его развитие, делать количественные оценки изменений, происходящих в нем с течением времени. Напомним, что на основе анализа дифференциальных уравнений так были открыты электромагнитные волны, и только после экспериментального подтверждения Герцем фактического существования электромагнитных колебаний стало возможным рассматривать уравнения Максвелла как математическую модель реального физического явления.

Дифференциал и дифференциальные уравнения

Обозначения дифференциала

Обычно дифференциал функции f обозначается df. Некоторые авторы предпочитают обозначать df шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором.

Дифференциал в точке 

Нулевая точка х
Нулевая точка х

обозначается

Обозначение дифференциала в нулевой точке
Обозначение дифференциала в нулевой точке

а иногда

Обозначение дифференциала в точке х0
Обозначение дифференциала в точке х0

или

Третий вариант обозначения дифференциала функции
Третий вариант обозначения дифференциала функции

а также df, если значение нулевой точки ясно из контекста.

Вопросы по дифференциалу

 Соответственно, значение дифференциала в точке x0 от h может обозначаться как

Варианты обозначения дифференциала в точке х0 от h
Варианты обозначения дифференциала в точке х0 от h

а также df(h), если значение x0 ясно из контекста.

Использование знака дифференциала

Знак дифференциала используется в выражении для интеграла. При этом иногда (и не вполне корректно) дифференциал dx вводится как часть определения интеграла.

Знак дифференциала для интеграла
Знак дифференциала для интеграла

Также знак дифференциала используется в обозначении Лейбница для производной. 

Обозначение Лейбница для производной
Обозначение Лейбница для производной

Это обозначение мотивировано тем, что для дифференциалов функции f и тождественной функции x верно соотношение

Соотношение, верное для дифференциалов и тождественной функции
Соотношение, верное для дифференциалов и тождественной функции

История дифференциала и дифференциального уравнения

Как известно, теория обыкновенных дифференциальных уравнений начала развиваться в XVII веке одновременно с возникновением дифференциального и интегрального исчисления. Можно сказать, что необходимость решать дифференциальные уравнения для нужд механики, то есть находить траектории движений, в свою очередь, явилась толчком для создания Ньютоном нового исчисления. Органическая связь физического и математического ясно проявилась в методе флюксий Ньютона. Законы Ньютона представляют собой математическую модель механического движения. Через обыкновенные дифференциальные уравнения шли приложения нового исчисления к задачам геометрии и механики; при этом удалось решить задачи, которые в течение долгого времени не поддавались решению. В небесной механике оказалось возможным не только получить и объяснить уже известные факты, но и сделать новые открытия (например, открытие Леверье в 1846 году планеты Нептун на основе анализа дифференциальных уравнений).

Планета Нептун
Планета Нептун

    Основа науки о дифференциалах (1717-1840 гг.)

Обыкновенные дифференциальные уравнения возникают тогда, когда неизвестная функция зависит лишь от одной независимой переменной. Соотношение между независимой переменной, неизвестной функцией и ее производными до некоторого порядка составляет дифференциальное уравнение. В настоящее время теория обыкновенных дифференциальных уравнений представляет собой богатую, широко разветвленную теорию. Одними из основных задач этой теории являются существование у дифференциальных уравнений таких решений, которые удовлетворяют дополнительным условиям (начальные данные Коши, когда требуется определить решение, принимающее заданные значения в некоторой точке и заданные значения производных до некоторого конечного порядка, краевые условия и другие), единственность решения, его устойчивость. Под устойчивостью решения понимают малые изменения решения при малых изменениях дополнительных данных задачи и функций, определяющих само уравнение. Важными для приложений являются исследование характера решения, или, как говорят, качественного поведения решения, нахождение методов численного решения уравнений. Теория должна дать в руки инженера и физика методы экономного и быстрого вычисления и решения.

Результаты достижений физиков и инженеров
Результаты достижений физиков и инженеров

Уравнения с частными производными начали изучаться значительно позже. Нужно подчеркнуть, что теория уравнений с частными производными возникла на основе конкретных физических задач, приводящих к исследованию отдельных уравнений с частными производными, которые получили название основных уравнений математической физики. Изучение математических моделей конкретных физических задач привело к созданию в середине XVIII века новой ветви анализа - уравнений математической физики, которую можно рассматривать как науку о математических моделях физических явлений.

Учебник по уравнениям математической физики
Учебник по уравнениям математической физики

Основы этой науки были заложены трудами Д'Аламбера (1717 - 1783), Эйлера (1707 - 1783), Бернулли (1700 - 1782), Лагранжа (1736 - 1813), Лапласа (1749 - 1827), Пуассона (1781 - 1840), Фурье (1768 - 1830) и других ученых. Интересно то, что многие из них были не только математиками, но и астрономами, механиками, физиками. Разработанные ими при исследовании конкретных задач математической физики идеи и методы оказались применимыми к физике широких классов дифференциальных уравнений, что и послужило в конце XIX века основой для развития общей теории дифференциальных уравнений.

Даниил Бернулли - один из основоположников науки о дифференциалах
Даниил Бернулли - один из основоположников науки о дифференциалах

    Лапласс и его уравнение (1747-1755 гг.)

Важнейшими уравнениями математической физики являются: уравнение Лапласа, уравнение физики о проводности, волновое уравнение.

Здесь мы предполагаем, что функция u зависит от t и трех переменных x1, x2, x3. Уравнение с частными производными - это соотношение между независимыми переменными, неизвестной функцией и ее частными производными до некоторого порядка. Аналогично определяется система уравнений, когда имеется несколько неизвестных функций.

Уравнение Лапласса
Уравнение Лапласса

Разве не удивительным является тот факт, что такое простое по форме уравнение, как уравнение Лапласа, содержит в себе огромное богатство замечательных свойств, имеет самые разнообразные приложения, о нем написаны многие книги, ему посвящены многие сотни статей, опубликованных в течение последних столетий, и, несмотря на это, осталось еще много трудных связанных с ним нерешенных проблем.

К изучению уравнения Лапласа приводят самые разнообразные физические задачи совершенно разной природы. Это уравнение встречается в задачах электростатики, теории потенциала, гидродинамики, теории теплопередачи и многих других разделах физики, а также в теории функций комплексного переменного и в различных областях математического анализа. Уравнение Лапласа является простейшим представителем широкого класса так называемых эллиптических уравнений.

Эллиптические уравнения
Эллиптические уравнения

Здесь, может быть, уместно вспомнить слова А. Пуанкаре: "Математика - это искусство давать разным вещам одно наименование". Эти слова являются выражением того, что математика изучает одним методом, с помощью математической модели, различные явления действительного мира.

Пуанкаре за работой
Пуанкаре за работой

    Дифференциал и тепловая физика (1822 г.)

Так же как и уравнение Лапласа, важное место в теории уравнений с частными производными и ее приложениях занимает уравнение теплопроводности. Это уравнение встречается в теории теплопередачи, в теории диффузии и многих других разделах физики, а также играет важную роль в теории вероятностей. Оно является наиболее простым представителем класса так называемых параболических уравнений. Некоторые свойства решений уравнения теплопроводности напоминают свойства решений уравнения Лапласа, что находится в согласии с их физическим смыслом, так как уравнение Лапласа описывает, в частности, стационарное распределение температуры. Уравнение теплопроводности было выведено и впервые исследовано в 1822 году в знаменитой работе Ж. Фурье "Аналитическая теория тепла", которая сыграла важную роль в развитии методов математической физики и теории тригонометрических рядов.

Жан Баптист Жозеф Фурье, математик изучавший теории тепла
Жан Баптист Жозеф Фурье, математик изучавший теории тепла

    Дифференциал в волновой теории (1930-е года)

Волновое уравнение описывает различные волновые процессы, в частности распространение звуковых волн. Оно играет важную роль в акустике. Это представитель класса так называемых гиперболических уравнений.

Изучение основных уравнений математической физики дало возможность провести классификацию уравнений и систем физическими производными. И.Г. Петровским в 30-е годы были выделены и впервые изучены классы эллиптических, параболических и гиперболических систем, которые теперь носят его имя. В настоящее время это наиболее хорошо изученные классы уравнений.

Математик И.Г. Петровский
Математик И.Г. Петровский

Важно отметить, что для проверки правильности математической модели очень важны теоремы существования решений соответствующих дифференциальных уравнений, так как математическая модель не всегда адекватна конкретному явлению и из существования решения реальной задачи (физической, химической, биологической) не следует существование решения соответствующей математической задачи.

Неформальное описание математического дифференциала

Рассмотрим гладкую функцию f(x). Проведём касательную к ней в точке x, и отложим на этой касательной отрезок, такой длины, чтобы его проекция на ось x была равна  дельте x. Проекция этого отрезка на ось y называется дифференциалом функции f(x) в точке x от дельты x.

Таким образом, дифференциал может пониматься как функция двух переменных x и дельты x,

Формула дифференциала
Формула дифференциала

определяемой соотношением

Соотношение по формуле дифференциала
Соотношение по формуле дифференциала

Дифференциал гладкой вещественнозначной функции f, определённой на M (M - гладкое многообразие), представляет собой 1-форму, обычно обозначается df и определяется соотношением

Дифференциал гладкой вещественнозначной функции
Дифференциал гладкой вещественнозначной функции
где Xf обозначает производную f по направлению вектора X в касательном расслоении M.

Дифференциал гладкого отображения из гладкого многообразия в многообразие

Многообразие для гладкого отображения дифференциала
Многообразие для гладкого отображения дифференциала

есть отображение между их касательными расслоениями,

Касательные расслоения многообразия
Касательные расслоения многообразия

такое что для любой гладкой функции

Гладкая функция многообразия
Гладкая функция многообразия

имеем

Дифференциал гладкого отображения
Дифференциал гладкого отображения

где Xf обозначает производную f по направлению X. (В левой части равенства берётся производная в N функции g по dF(X); в правой - в M функции Fog по X).

Это понятие естественно обобщает дифференциал функции.

Определениями связанными с дифференциалом можно назвать субмерсию и гладкое погружение.

Гладкое отображение

Субмерсия как гладкое отображение
Субмерсия как гладкое отображение

называется субмерсией, если для любой точки x принадлежащей множеству M, дифференциал

Дифференциал субмерсии
Дифференциал субмерсии

сюръективен.

Гладкое отображение в системе координат
Гладкое отображение в системе координат

Гладкое отображение

Гладкое отображение, которое при выполении условий может быть гладким погружением
Гладкое отображение, которое при выполении условий может быть гладким погружением

называется гладким погружением, если для любой точки, x принадлежащей множеству M дифференциал

Дифференциал гладкого отображения должен быть инъективен
Дифференциал гладкого отображения должен быть инъективен

инъективен.

У математического дифференциала есть свойство: 

Дифференциал композиции равен композиции дифференциалов:

Формула дифференциала функции
Формула дифференциала функции

Определения дифференциала

Рассмотрим дифференцируемую функцию y=f(x). Так как

Производная функции равна пределу частного изменения аргументов
Производная функции равна пределу частного изменения аргументов

то

Выводим частно аргументов из-под знака предела
Выводим частно аргументов из-под знака предела

Следовательно,

Выводим формулу изменения значения функции
Выводим формулу изменения значения функции

В общем случае производная функции в точке x не равна нулю, и при постоянном x произведение производной и изменения аргумента х является малой величиной первого порядка, а произведение

Малая величина первого порядка
Малая величина первого порядка

- малой величиной выше первого порядка относительно дельты x. Таким образом, на приращение функции y в первую очередь оказывает влияние производной функции f.

Произведение

Произведение являющееся дифференциалом
Произведение являющееся дифференциалом

называют дифференциалом функции y = f(x) и обозначают dy или df(x), т.е.

Обозначение дифференциала
Обозначение дифференциала

Так как производная функции y = x равна единице, то дифференциал этой функции равен приращению аргумента, т.е.

Дифференциал функции равен приращению аргумента
Дифференциал функции равен приращению аргумента

Таким образом, формулу можно записать следующим образом

Преобразование формулы дифференциала функции
Преобразование формулы дифференциала функции

    Дифференциал функции

Рассмотрим функцию y=f(x), которая является непрерывной в интервале

Интервал в котором заданная функция является непрерывной
Интервал в котором заданная функция является непрерывной

Предположим, что в некоторой точке

Нулевая точка на заданном интервале
Нулевая точка на заданном интервале

независимая переменная получает приращение дельту x. Приращение функции дельта y, соответствующее такому изменению аргумента, выражается формулой

Формула дифференциала функции f(x)
Формула дифференциала функции f(x)

Для любой дифференцируемой функции приращение y можно представить в виде суммы двух слагаемых:

Формула приращения дифференциалов функции
Формула приращения дифференциалов функции

где первый член (так называемая главная часть приращения) линейно зависит от приращения дельты x, а второй член имеет более высокий порядок малости относительно дельты x. Выражение называется дифференциалом функции и обозначается символом dy или df(x0). 

Применение дифференциалов для приближенного вычисления функции

Рассмотрим эту идею разбиения приращения функции на две части на простом примере. Пусть задан квадрат со стороной x0=1м.

Заданный условиями квадрат со стороной в 1м и приращением в 1 см
Заданный условиями квадрат со стороной в 1м и приращением в 1 см

Его площадь, очевидно, равна

Формула площади квадрата со стороной в 1м
Формула площади квадрата со стороной в 1м

Если сторону квадрата увеличить на малую величину дельту x=1см, то точное значение площади увеличенного квадрата будет составлять 

Рассчет значения площади квадрата увеличенного на 1 см
Рассчет значения площади квадрата увеличенного на 1 см

т.е. приращение площади S равно

Приращение площади квадрата, увеличенного на 1 см
Приращение площади квадрата, увеличенного на 1 см

Представим теперь это приращение площади в таком виде:

Преобразованное приращение площади увеличенного квадрата
Преобразованное приращение площади увеличенного квадрата

Итак, приращение функции дельта S состоит из главной части (дифференциала функции), которая пропорциональна изменению x и равна

Приращение площади квадрата, выраженное в качестве дифференциала
Приращение площади квадрата, выраженное в качестве дифференциала

и члена более высокого порядка малости, в свою очередь, равного

Полученный член более высокого порядка
Полученный член более высокого порядка

В сумме оба этих члена составляют полное приращение площади квадрата, равное 200+1=201см2.

Заметим, что в данном примере коэффициент A равен значению производной функции S в точке x0:

Значение коэффициента А в точке х0
Значение коэффициента А в точке х0

Оказывается, что для любой дифференцируемой функции справедлива следующая теорема:

Коэффициент A главной части приращения функции в точке x0 равен значению производной f′(x0) в этой точке, т.е. приращение дельта y выражается формулой

Формула приращения функции у
Формула приращения функции у

Разделив обе части этого равенства на

Изменение функции не равно нулю
Изменение функции не равно нулю

имеем

Разделение частей равенства
Разделение частей равенства

В пределе при дельта x стремящемся к 0 получаем значение производной в точке x0:

Значение производной в точке х0
Значение производной в точке х0

Для малой величины ο более высокого порядка малости, чем изменение x, предел равен

Предел для бесконечно малой величины
Предел для бесконечно малой величины

Если считать, что дифференциал независимой переменной dx равен ее приращению дельте x:

Дифференциал независимой переменной dx
Дифференциал независимой переменной dx

то из соотношения

Соотношение для независимой переменной dxъ
Соотношение для независимой переменной dxъ

можно вывести, что производную функции можно представить как отношение двух дифференциалов.

        Геометрический смысл дифференциала функции

Ниже схематически показана разбивка приращения функции y на главную часть (дифференциал функции) и член высшего порядка малости ο.

График разбивки приращения функции
График разбивки приращения функции

Касательная MN, проведенная к кривой функции y=f(x) в точке M, как известно, имеет угол наклона α, тангенс которого равен производной:

Производная функции равна тангенсу угла наклона
Производная функции равна тангенсу угла наклона

При изменении аргумента на дельту x касательная получает приращение. Это линейное приращение, образованное касательной, как раз и является дифференциалом функции. Остальная часть полного приращения y (отрезок NM1) соответствует "нелинейной" добавке с более высоким порядком малости относительно x.

Дифференциал функции
        Свойства дифференциала функции

Дифференциал функции обладает свойствами, аналогичными свойствам производной. 

Пусть u и v − функции переменной x. Дифференциал обладает следующими свойствами:

            Дифференциал постоянной

Дифференциал постоянной величины равен нулю.

Дифференциал постоянной величины
Дифференциал постоянной величины
            Дифференциал суммы дифференцируемых функций

Дифференциал суммы (разности) дифференцируемых функций равен сумме дифференциалов слагаемых.

Дифференциал суммы (разности) дифференциалов равен сумме (разнице) дифференциалов
Дифференциал суммы (разности) дифференциалов равен сумме (разнице) дифференциалов

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются постоянными слагаемыми, то их дифференциалы равны

Следствие к свойству дифференциала о сумме дифференцируемых функций
Следствие к свойству дифференциала о сумме дифференцируемых функций
            Дифференциал произведения

Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен произведению первой функции на дифференциал второй плюс произведение второй на дифференциал первой::

Формула дифференциала произведения двух функций
Формула дифференциала произведения двух функций

 Следствие: постоянный коэффициент можно выносить за знак дифференциала;

Вынос постоянного коэффициента за знак дифференциала
Вынос постоянного коэффициента за знак дифференциала
            Дифференциал частного

Дифференциал частного двух дифференцируемых функций определяется формулой:

Формула дифференциала частного двух функций
Формула дифференциала частного двух функций
            Дифференциал независимой переменной

Дифференциал независимой переменной x равен ее приращению;

Формула дифференциала независимой переменной
Формула дифференциала независимой переменной
            Дифференциал линейной функции

Дифференциал линейной функции равен ее приращению;

Формула дифференциала линейной функции
Формула дифференциала линейной функции

Следствие: дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента.

Формула дифференциала функции
Формула дифференциала функции

Следствие 2: Как видно, дифференциал функции dy отличается от производной лишь множителем dx. Например, 

Пример отличия дифференциала функции от производной
Пример отличия дифференциала функции от производной
            Инвариантность формы дифференциала

Рассмотрим композицию двух функций y=f(u) и u=g(x), т.е. сложную функцию y=f(g(x)). Ее производная определяется выражением

Производная композиции двух функций
Производная композиции двух функций

где нижний индекс обозначает переменную, по которой производится дифференцирование.

Дифференциал "внешней" функции y=f(u) записывается в виде

Формула дифференциала внешней функции
Формула дифференциала внешней функции

Дифференциал "внутренней" функции u=g(x) можно представить аналогичным образом:

Дифференциал внутренней функции
Дифференциал внутренней функции

Если подставить du в предыдущую формулу, то получим

Подстановка дифференциала внутренней в дифференциал внешней функции
Подстановка дифференциала внутренней в дифференциал внешней функции

Поскольку y′x=y′u⋅u′x, то

Свойство инвариантности формы дифференциала
Свойство инвариантности формы дифференциала

Видно, что в случае сложной функции мы получили такое же по форме выражение для дифференциала функции, как и в случае "простой" функции. Это свойство называется инвариантностью формы дифференциала.

Теоремы о дифференциалах функций

    Дифференциал отображения

 Дифференциал отображения: X - Y в точке х обозначается через dxf. Во многих случаях, когда из контекста ясно, какая точка имеется в виду, индекс в обозначении дифференциала опускается.

Дифференциал отображения F в каждой точке является комплексно линейным отображением, следовательно, удовлетворяются уравнения Коши - Римана, и F является комплексно аналитическим отображением. Этим доказано, что U П V является комплексным многообразием.

Решение уравнения Коши-Римана

 Мы рассматриваем дифференциал отображения по множеству А, хотя само отображение может быть определено и вне А. Если множество А содержит окрестность V ( х0) с. А, то дифференциал единственен. Два касательных друг другу отображения имеют один и тот же дифференциал.

Таким образом, дифференциал отображения: G / H - K в точке еН мономорфен.

Для любого множества А можно вычислить дифференциал отображения
Для любого множества А можно вычислить дифференциал отображения

Есть матрица дифференциала отображения, который в нашем случае является изометрическим оператором. Следовательно, остается выбором начала координат добиться того, чтобы столбец а свободных членов имел простейший вид.

Начиная с этого момента дифференциал отображения обозначается символом d, а не D, как это делалось выше.

Можно рассматривать дифференциал отображения Emi - Km2 как линейное преобразование, которое поворачивает траектории в направлении их образов. Такое представление допускает перенос на многообразия, если воспользоваться линейной структурой пространства Tq ( M): в локальных координатах D задает линейное преобразование, а в переносит его на абстрактный образ касательного пространства.

Всё о множествах и отображениях

Виды дифференциала

 Наиболее важным вопросом в теории функций является изучение характера изменения функции. Займемся функцией двух переменных: 

Функция двух переменных
Функция двух переменных

Если необходимо исследовать поведение функции около какой-нибудь точки М(х;у), то наилучшим и простейшим способом является пересечение поверхности несколькими плоскостями, проходящими через точку.

Поверхность, изображающая хаданную функцию двух переменных
Поверхность, изображающая хаданную функцию двух переменных

Рассматривая все кривые, получившиеся на поверхности от этих сечений, мы можем изучить окрестность данной точки и притом тем точнее, чем больше сечений мы сделаем. 

    Частные дифференциалы

Приращение, которое получает функция

Функция заданная для определения частного дифференциала
Функция заданная для определения частного дифференциала

когда изменяется только одна из переменных, называется частным приращением функции по соответствующей переменной:

Частное приращение функции по соответствующей переменной
Частное приращение функции по соответствующей переменной

Частным дифференциалом по х функции Z=f(x, y) называется главная часть частного приращения

Частное приращение функции Z
Частное приращение функции Z

пропорциональная приращению дельта x независимой переменной х. Аналогично определяется частный дифференциал по у, т.е.

Частный дифференциал функции Z
Частный дифференциал функции Z

Частным дифференциалом функции нескольких переменных по одной из независимых переменных называется главная часть соответствующего частного приращения, линейная относительно приращения рассматриваемой независимой переменной. Частный дифференциал функции нескольких переменных по одной из независимых переменных равен произведению соответствующей частной производной на приращение рассматриваемой независимой переменной.

Лекции СЗТУ о полном дифференциале

 Дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением. Так для функции двух переменных z=z(x,y) частные дифференциалы

Частные дифференциалы для функции двух переменных
Частные дифференциалы для функции двух переменных

Таким образом, частный дифференциал функции двух независимых переменных равен произведению соответствующей частной производной на дифференциал этой переменной.

Таким же образом, как для функции двух переменных, определяются частные приращения и частные дифференциалы функций любого числа независимых переменных.

Приращение, которое получает функция Z=f(x,y) при произвольных совместных изменениях ее обоих аргументов называется полным приращением:

Полное приращение функции
Полное приращение функции

    Полные дифференциалы

Полным дифференциалом функции нескольких переменных называется главная часть полного приращения функции, линейная относительно приращений аргументов. Полный дифференциал функции равен сумме всех частных дифференциалов.

Полный дифференциал функции
Полный дифференциал функции

Функция, обладающая непрерывными частными производными, заведомо имеет полный дифференциал. Функция, имеющая полный дифференциал, называется дифференцируемой.

При достаточно малых

Условия для дифференцируемой функции
Условия для дифференцируемой функции

Из последнего соотношения имеем следующий вид формулы применения дифференциала к приближенным вычислениям:

Применение дифференциала к приближенным вычислениям
Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Пусть

Условия для дифференциала
Условия для дифференциала

тогда через посредство промежуточных аргументов u и v - функция x и y. В этом случае полный дифференциал

Полный дифференциал
Полный дифференциал

Из сравнения выражений подчеркнутых одной и двумя чертами, видим, что форма полного дифференциала не зависит от того, являются ли переменные, через которые выражается полный дифференциал, независимыми переменными или промежуточными аргументами. Такая независимость формы дифференциала от переменных дифференцирования называется инвариантностью полного дифференциала относительно переменных дифференцирования.

Полный дифференциал и способ его нахождения

Основные теоремы о дифференциалах

Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя связь дифференциала и производной функции

Типичная производная функции
Типичная производная функции

и соответствующие теоремы о производных.

Например, так как производная функции у=с равна нулю, то дифференциал постоянной величины равен нулю:

Дифференциал постоянной величины равен нулю
Дифференциал постоянной величины равен нулю

Теорема 1. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами:

Теорема о дифференциале суммы, произведения и частного двуз дифференцируемых функций
Теорема о дифференциале суммы, произведения и частного двуз дифференцируемых функций

Докажем, например, вторую формулу. По определению дифференциала имеем:

Доказательство второй формулы теоремы 1
Доказательство второй формулы теоремы 1

Теорема 2. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Пусть

Две дифференцируемые функции
Две дифференцируемые функции

две дифференцируемые функции, образующие сложную функцию

Сложная функция, образованная двумя дифференцируемыми функциями
Сложная функция, образованная двумя дифференцируемыми функциями

По теореме о производной сложной функции можно написать

Формула по теореме дифференциала сложной функции
Формула по теореме дифференциала сложной функции

Умножив обе части этого равенства на dx, получаем

Формула по теореме дифференциала сложной функции умноженная на dx
Формула по теореме дифференциала сложной функции умноженная на dx

Следовательно, последнее равенство можно переписать так:

Преобразованная формула по Теореме о сложных дифференциалах
Преобразованная формула по Теореме о сложных дифференциалах

Сравнивая формулы

Сравниваемые формулы
Сравниваемые формулы

видим, что первый дифференциал функции

Функция, для которой определяем первый дифференциал
Функция, для которой определяем первый дифференциал

определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента.

Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.

Формула

Формула, в которой х - независимая переменная
Формула, в которой х - независимая переменная

по внешнему виду совпадает с формулой

Формула с использованием функции от х
Формула с использованием функции от х

но между ними есть принципиальное отличие: в первой формуле х - независимая переменная, следовательно,

Дифференциал х равен есть изменение значения х
Дифференциал х равен есть изменение значения х

во второй формуле и есть функция от х, поэтому, вообще говоря,

Дифференциал функции от х не равен изменению значения функции
Дифференциал функции от х не равен изменению значения функции

С помощью определения дифференциала и основных теорем о дифференциалах легко преобразовать таблицу производных в таблицу дифференциалов.

Пример преобразования производных в дифференциал
Пример преобразования производных в дифференциал

Таблица элементарных дифференциалов

Формулы дифференцирования элементарных функций позволяют не только дифференцировать сложные функции. Они используются для интегрирования либо методом непосредственного интегрирования, либо заменой переменных.

Например, имеем подинтегральное выражение

Подинтегральное выражение, взятое для примера
Подинтегральное выражение, взятое для примера

Пользуясь таблицей дифференциалов можно записать его так (не потеряйте знак "минус"!): 

Преобразование подинтегрального выражение при помощи таблицы дифференциалов
Преобразование подинтегрального выражение при помощи таблицы дифференциалов

или так:

Второй вариант преобразования подинтегрального выражения при помощи таблицы дифференциалов
Второй вариант преобразования подинтегрального выражения при помощи таблицы дифференциалов

и в обоих случаях интеграл берется методом непосредственного интегрирования.

Таблица основных дифференциалов
Таблица основных дифференциалов

Формулы дифференциалов сложной функции

Формулы дифференциалов сложной функции будет несложно получить на основе лагранжевых формул дифференциалов и формул производной сложной функции.

Лекция СЗТУ по дифференцированию сложных функций

 Обычно в курсе математики выводят формулу лишь первой производной сложной функции. А старшие производные сложной функции - игнорируют. Покажем, как их можно получить.

Рассмотрим первую производную сложной функции. Для y(t) = f (x(t))

Первая производная сложной функции
Первая производная сложной функции

или, в обозначениях частных производных

Первая производная в обозначениях частных производных
Первая производная в обозначениях частных производных

В этих обозначениях мелкая буква внизу, под штрихом, указывает, по какому аргументу брали производную (дифференцировали функцию). Т.е. это, обозначение частной производной. 

Эту формулу в учебниках выводят, устремляя дельту t к 0 в равенстве

Формула производной при бесконечно малой t
Формула производной при бесконечно малой t

Лейбниц обозначил итог этого процесса равенством (т.е. у него в нем дифференциалы - как раз те самые придуманные им "бесконечно малые")

Обозначение дифференциалов Лейбницем
Обозначение дифференциалов Лейбницем

Т.е. в Лейбницевских обозначениях правило дифференцирования сложной функции имеет такой же вид, как правило сокращения дробей (в правой части равенства сокращается dх). 

Лейбниц именно для того и придумал свои бесконечно малые дифференциалы, чтобы правила вычисления производных имели такой же вид, как действия арифметики. С первой производной сложной функции, производной суммы функций, обратной функции, - у него это получилось. 

Напоминаю, в нашем понимании дифференциалов, идущем от Лагранжа, эту формулу мы обязаны видеть такой:

Формула дифференциалов в понимании Лагранжа
Формула дифференциалов в понимании Лагранжа

В левой части df и в правой части df - разные дифференциалы. В левой части - из степенного разложения

Степенное разложение
Степенное разложение

по степеням дельта t.А в правой части - из разложения по степеням дельты x. При чем в обоих разложениях раскладываемая функция одна и та же,

Разложения дифференциалов
Разложения дифференциалов

благодаря тому, что

Приращение функции x(t)
Приращение функции x(t)

т.е. приращение дельта x - это приращение функции x(t), вызванное приращением ее аргумента t. А дифференциалы f - разные. Просто из разных степенных разложений фунции f.

"Сократить" дельту х и dх в формуле, оставаясь в рамках Лагранжевого определения дифференциала, можно только одним способом: устремить дельту t к нулю. При этом дельта х и dх будут эквивалентными (но не равными) бесконечно малыми функциями (в современном понимании этих слов, т.е. стремящимися к нулю). Эквивалентность бесконечно малых, как известно, означает, что их отношение стремится к 1. Никакого иного сокращения здесь, кроме как в пределе, оставаясь в рамках Лагранжева определения дифференциала, не увидеть. 

Продолжение лекции СЗТУ по дифференцированию сложных функций

 Переходим ко второй производной сложной функции. Если равенство продифференцировать, применяя правила вычисления производной произведения и производной сложной функции, получим:

Вторая производная
Вторая производная

А дифференцирование того же равенства в записи даст

Вторая производная в частных производных
Вторая производная в частных производных

Переходим к первому дифференциалу сложной функции. Подставим первую производную в лагранжеву формулу дифференциала:

Первая производная в Лагранжевой формуле
Первая производная в Лагранжевой формуле

Здесь запись

Значение функции двух переменных dx
Значение функции двух переменных dx

надо понимать, как значение функции двух переменных dx (это у функции имя такое) в точке

Точка для заданной функции двух переменных
Точка для заданной функции двух переменных

Если бы шла речь об операции вычисления дифференциала, примененной к функции x(t), пришлось бы писать d(x(t)), а если бы понадобилось указать еще и аргументы дифференциала, возникло бы трудно читаемое обозначение

Дифференциал функции с указание аргументов дифференциала
Дифференциал функции с указание аргументов дифференциала

Если в полученной формуле не упоминать аргументов - она приобретет краткий вид

Дифференциал функции у
Дифференциал функции у

То же самое проделаем со вторым дифференциалом сложной функции:

Второй дифференциал сложной функции
Второй дифференциал сложной функции

Если убрать аргументы получим менее громоздкую запись

Сокращенный вид формулы второго дифференциал сложной функции
Сокращенный вид формулы второго дифференциал сложной функции

То же самое можно делать и далее. Например формула третьего дифференциала сложной функции в краткой записи, без употребления аргументов, такова

Формула третьего дифференциала сложной функции
Формула третьего дифференциала сложной функции

Есть иной алгебраический способ получения этих формул, - использовать принцип "суперпозиции функций отвечает суперпозиция их степенных разложений".

Возьмем разложение приращения функции

Разложение функции
Разложение функции

по степеням приращения аргумента

Разложение приращения функции f
Разложение приращения функции f

и подставим в него вместо числа x число x(t), а вместо дельты x - его разложение в точке t по степеням дельта t, которое, для краткости, запишем в виде, не содержащем явно аргументов

Приращение аргумента в точке t
Приращение аргумента в точке t

Для получения формул дифференциалов третьего порядка будем использовать полиномы Тейлора 3 порядка (n = 3). При возведении дельты x в степени отнесем слагаемые, имеющие порядок выше трех (относительно дельты t) в остаток в форме Пеано.

Полиномы Тейлора и формулы дифференцирования
Полиномы Тейлора и формулы дифференцирования

Группируя члены по степеням дельту t (показатель степени обозначен в дифференциалах), после выделения факториалов в знаменатель получим такое разложение

Разложение приращения составной функции по степеням
Разложение приращения составной функции по степеням

- разложение приращения составной (сложной) функции f(x(t)) по степеням дельта t. Его общий вид

Общий вид разложения приращения
Общий вид разложения приращения

Приравнивая члены, содержащие одинаковые степени переменной дельты t, получаем формулы для дифференциалов сложной функции f(x(t)).

Формулы для дифференциалов сложных функций
Формулы для дифференциалов сложных функций
Дифференцирование сложных функций

Примеры вычисления дифференциала

Пример 1. Найти дифференциал функции

Функция для примера 1
Функция для примера 1

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Производная функции, заданной примером 1
Производная функции, заданной примером 1

Дифференциал имеет следующий вид:

Дифференциал для функции из примера 1
Дифференциал для функции из примера 1

Пример 2. Найти дифференциал функции

Функция для примера 2
Функция для примера 2

Решение.

Находим производную и вычисляем ее значение в заданной точке:

Производная и ее значения для функции из примера 2
Производная и ее значения для функции из примера 2

Тогда

Искомый дифференциал для функции из примера 2
Искомый дифференциал для функции из примера 2

Пример 3. Найти дифференциал функции

Функция для примера 3
Функция для примера 3

Решение.

Вычисляем дифференциал функции из примера 3
Вычисляем дифференциал функции из примера 3

Подставляя заданные значения, вычисляем дифференциал:

Вычисляем дифференциал функции в заданной точке из примера 3
Вычисляем дифференциал функции в заданной точке из примера 3

Пример 4. Вычислить приращение и дифференциал функции

Функция для примера 4
Функция для примера 4

Решение.

Определим приращение функции по формуле

Приращение функции из примера 4
Приращение функции из примера 4

Поскольку здесь

Подставленные значения точек в приращение функции
Подставленные значения точек в приращение функции

то получаем

Полученное значение приращения функции
Полученное значение приращения функции

Дифференциал (или линейная часть приращения) при этом составляет:

Значение дифференциала для примера 4
Значение дифференциала для примера 4

Пример 5. Найти дифференциал функции

Функция для примера 5
Функция для примера 5

Решение.

Производная функции, заданной примером 5
Производная функции, заданной примером 5

Производная функции x в степени х равна

Производная функции х в степени х
Производная функции х в степени х

Следовательно, производная исходной функции имеет вид:

Производная исходной функции для примера 5
Производная исходной функции для примера 5

При x=1, соответственно, получаем:

Производная исходной функции для х=1
Производная исходной функции для х=1

Тогда дифференциал функции в данной точке записывается как

Дифференциал функции в заданной точке для примера 5
Дифференциал функции в заданной точке для примера 5

Пример 6. Найти дифференциал функции

Условие примера 6
Условие примера 6

Решение.

Дифференциал для функции из примера 6
Дифференциал для функции из примера 6

Подставляем значения x и dx и вычисляем дифференциал dy:

Вычисляем дифференциал, подставляя значения x и dx
Вычисляем дифференциал, подставляя значения x и dx

Пример 7. Вычислить приращение и дифференциал функции

Условие примера 7
Условие примера 7

Решение.

Найдем сначала приращение функции:

Приращение функции для примера 7
Приращение функции для примера 7

При тех же значениях x и Δx дифференциал функции равен

Дифференциал функции для примера 7
Дифференциал функции для примера 7

Пример 8. Найти дифференциал функции

Функция для условия примера 8
Функция для условия примера 8

где u и v − дифференцируемые функции переменной x.

Решение.

Используя правила дифференцирования, получаем:

Поиск дифференциала для функции из условий примера 8
Поиск дифференциала для функции из условий примера 8

Пример 9. Найти дифференциал функции

Функция для условий примера 9
Функция для условий примера 9

где u и v − дифференцируемые функции от x.

Решение.

Решение условий задания примера 9
Решение условий задания примера 9

Пример 10. Функция y(x) задана неявным уравнением

Неявное уравнение для условий примера 10
Неявное уравнение для условий примера 10

Найти ее дифференциал в точке (2,1).

Решение.

Определим производную неявной функции. Дифференцируя обе части по x, получаем:

Определение производной неявной функции из условия примера 10
Определение производной неявной функции из условия примера 10

В точке (2,1) производная  имеет значение

Производная в точке (2,1)
Производная в точке (2,1)

Соответственно, дифференциал в этой точке записывается как

Дифференциал функции в точке (2,1)
Дифференциал функции в точке (2,1)

Пример 11. Функция y(x) задана неявным уравнением

Невное уравнение для функции из условия примера 11
Невное уравнение для функции из условия примера 11

Найти ее дифференциал в точке (1,1).

Решение.

Дифференцируем обе части уравнения по x и находим производную

Процесс нахождения производной функции у
Процесс нахождения производной функции у

Вычислим значение производной в заданной точке (1,1):

Вычисление производной в заданной точке (1,1)
Вычисление производной в заданной точке (1,1)

Дифференциал функции в этой точке равенd

Искомый дифференциал функции для примера 11
Искомый дифференциал функции для примера 11

Пример 12. Найти дифференциал функции

Функция для условий примера 12
Функция для условий примера 12

Решение.

Поскольку дифференциал функции выражается формулой

Формула для выражения дифференциала функции
Формула для выражения дифференциала функции

то для его нахождения достаточно вычислить производную

Вычислим производную функции
Вычислим производную функции

Дифференцируя как сложную функцию, получаем:

Дифференцируем как сложную функцию
Дифференцируем как сложную функцию

где

Х находится в интервале от -1 до 1
Х находится в интервале от -1 до 1

Соответственно, дифференциал функции записывается в виде

Искомый дифференциал для функции из примера 12
Искомый дифференциал для функции из примера 12

Пример 13. Функция y(x) задана параметрическими уравнениями

Функция для примера 13 заданная параметрическими уравнениями
Функция для примера 13 заданная параметрическими уравнениями

Найти дифференциал функции в точке (3,−1).

Решение.

Из уравнения

Подставляем значение точки в первое заданное уравнение
Подставляем значение точки в первое заданное уравнение

определяем соответствующее значение параметра t:

Определяем соответствующее значение параметра t
Определяем соответствующее значение параметра t

Проверим, что условию y=−1 удовлетворяет значение t=1.

Найдем производную параметрически заданной функции:

Производная параметрически заданной функции
Производная параметрически заданной функции

При t=1 производная имеет следующее значение:

Значение производной для параметрически заданной функции из примера 13
Значение производной для параметрически заданной функции из примера 13

Таким образом, дифференциал функции в точке (3,−1) выражается формулой

Дифференциал функции в точке (3,-1)
Дифференциал функции в точке (3,-1)

Пример 14. Функция y(x) задана параметрическими уравнениями

Функция для примера 14, заданная параметрическими уравнениями
Функция для примера 14, заданная параметрическими уравнениями

Найти дифференциал функции в точке (2,e).

Решение.

Сначала определим значение параметра t, которое соответствует точке (2,e). Из второго уравнения находим:

Определяем значение параметра t в заданной точке
Определяем значение параметра t в заданной точке

Проверим значение x при t=0:

Проверяем значение х при найденном параметре t
Проверяем значение х при найденном параметре t

Найдем производную параметрически заданной функции:

Производная параметрически заданной функции из примера 14
Производная параметрически заданной функции из примера 14

При t=0 производная, соответственно, равна

Значение производной при t=0
Значение производной при t=0

Следовательно, дифференциал функции в точке (2,e) имеет вид:

Дифференциал заданной функции в точке (2,е)
Дифференциал заданной функции в точке (2,е)

Пример 15. Дана сложная функция

Сложная функция, заданная в примере 15
Сложная функция, заданная в примере 15

Выразить дифференциал функции y в инвариантной форме.

Решение.

Запишем дифференциал "внешней" функции:

Дифференциал внешней функции по заданным условиям
Дифференциал внешней функции по заданным условиям

Аналогично найдем дифференциал "внутренней" функции:

Дифференциал внутренней функции по заданным условиям
Дифференциал внутренней функции по заданным условиям

Подставляя выражение для du в предыдущую формулу, получим дифференциал dy в инвариантной форме:

Полученный дифференциал в инвариантной форме
Полученный дифференциал в инвариантной форме

Дифференциалы высших порядков

Дифференциалом порядка n, где n > 1, от функции в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть

Дифференциал высшего порядка
Дифференциал высшего порядка

Рассмотрим функцию y=f(x), которая является дифференцируемой на интервале (a,b). Дифференциал первого порядка данной функции в точке x∈(a,b) определяется формулой

Дифференциал первого порядка
Дифференциал первого порядка

Видно, что дифференциал dy зависит от двух величин − от переменной x (через производную y=f′(x)) и от дифференциала независимой переменной dx.

Дифференциалы первого и второго порядка

    Дифференциал высшего порядка функции одной переменной

Зафиксируем приращение dx, т.е. будем считать, что dx является постоянной величиной. Тогда дифференциал dy представляет собой функцию только переменной x, для которой можно также определить дифференциал, причем в качестве приращения дельта x возьмем тот же самый дифференциал dx. В результате мы получим второй дифференциал или дифференциал второго порядка, который обозначается как d2y или d2f(x). Итак, по определению,

Дифференциал второго порядка
Дифференциал второго порядка

Обычно обозначают

Обозначение дифференциала второго порядка
Обозначение дифференциала второго порядка

Поэтому получаем:

Вывод дифференциала второго порядка
Вывод дифференциала второго порядка

Таким же образом можно установить, что третий дифференциал или дифференциал третьего порядка имеет вид

Дифференциал третьего порядка
Дифференциал третьего порядка

В общем случае дифференциал произвольного n-го порядка выражается формулой

Дифференциал n-го порядка
Дифференциал n-го порядка

которую можно строго доказать методом математической индукции. Отсюда, в частности, следует соотношение для производной n-го порядка:

Производная n-го порядка
Производная n-го порядка

Заметим, что для линейной функции y=ax+b второй дифференциал и последующие дифференциалы более высокого порядка равны нулю. Действительно,

Дифференциал высшего порядка для линейной функции
Дифференциал высшего порядка для линейной функции

В таком случае, очевидно, что

Дифференциал n-го порядка для линейной функции
Дифференциал n-го порядка для линейной функции

Для функции, зависящей от одной переменной второй и третий дифференциалы выглядят так:

Второй и третий дифференциал для функции одной переменной
Второй и третий дифференциал для функции одной переменной

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что есть произвольное и не зависящее от, которое при дифференцировании по следует рассматривать как постоянный множитель.

Лекция СЗТУ по полным дифференциалам высшего порядка

    Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных

Если функция z=f(x,y) имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так:

Дифференциал второго порядка для функции двух переменных
Дифференциал второго порядка для функции двух переменных

 Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функции выглядит следующим образом:

Общий вид диференциала n-го порядка для функции нескольких переменных
Общий вид диференциала n-го порядка для функции нескольких переменных

где

Условие для дифференциала n-го порядка
Условие для дифференциала n-го порядка

произвольные приращения независимых переменных x1,...,xn.

Приращения рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.

Приращение функции и аргумента
Приращение функции и аргумента

    Неинвариантность дифференциалов высшего порядка

При n от двух и более, n-й дифференциал не инвариантен (в отличие от инвариантности первого дифференциала), то есть выражение зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например, 

Промежуточная функция
Промежуточная функция

Для доказательства неинвариантности дифференциалов высшего порядка достаточно привести пример. 

Пример доказательства неинвариативности дифференциалов функции
Пример доказательства неинвариативности дифференциалов функции

С учётом зависимости уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Также не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.

Дифференциал порядка m
Дифференциал порядка m

Дифференциальная форма

Дифференциальная форма порядка k или k-форма - кососимметрическое тензорное поле типа (0,k) на многообразии.

Дифференциальные формы были введены Эли Картаном в начале XX века.

Эли Картан
Эли Картан

Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во многих разделах теоретической физики и математики, в частности, в теоретической механике, симплектической геометрии, квантовой теории поля.

Пространство k-форм на многообразии M обычно обозначают 

Пространство k-форм на многообразии М
Пространство k-форм на многообразии М

В локальных координатах, дифференциальная форма может быть записана как

Дифференциальная форма и ее условия в локальных координатах
Дифференциальная форма и ее условия в локальных координатах

Дифференцирование и дифференциальные исчисления

 Дифференциальное исчисление - это раздел математического анализа, в котором изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций.

Центральные понятия дифференциального исчисления – производная и дифференциал – возникли при рассмотрении большого числа задач естествознания и математики, приводивших к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие среди них – физическая задача определения скорости неравномерного движения и геометрическая задача построения касательной к кривой. Рассмотрим подробно каждую из них.

Открытие исчисления бесконечно малых дало математикам возможность свести законы движения тел к аналитическим уравнениям
Открытие исчисления бесконечно малых дало математикам возможность свести законы движения тел к аналитическим уравнениям

Будем вслед за итальянским ученым Г. Галилеем изучать закон свободного падения тел. Поднимем камешек и затем из состояния покоя отпустим его. Пусть t - время, отсчитываемое от начала падения, a S(t)  - пройденное к моменту t расстояние. Галилей экспериментально нашел, что зависимость  имеет следующий простой вид:

Формула определения скорости
Формула определения скорости

где t - время в секундах, а g - физическая постоянная, равная примерно 9,8 м/с2.

Движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость падения постепенно возрастает. Но как именно выглядит зависимость скорости падения от времени? Зная зависимость s(t), т.е. закон движения падающего тела, мы в принципе должны иметь возможность получить отсюда и выражение для скорости как функции времени.

Попробуем найти зависимость скорости от времени. Будем рассуждать следующим образом: фиксируем момент времени, в который мы хотим знать значение скорости. Пусть h - небольшой промежуток времени, прошедший от момента t. За это время падающее тело пройдет путь, равный

Путь, который пройдет падающее тело за время t
Путь, который пройдет падающее тело за время t

Если промежуток времени h очень маленький, то скорость тела за время h не успевает заметно измениться, поэтому можно считать, что если h мало, то приближенно

Скорость изменения скорости при изменении времени на h
Скорость изменения скорости при изменении времени на h

или

Преобразование изменения скорости при изменении времени на h
Преобразование изменения скорости при изменении времени на h

причем последнее приближенное равенство тем точнее, чем меньше h (чем ближе величина h к нулю). Значит, величину h скорости в момент t можно рассматривать как предел, к которому стремится стоящее в левой части приближенного равенства отношение, выражающее среднюю скорость на интервале времени от момента t до момента t+h, когда величина h стремится к нулю.

Сказанное  записывают в виде

Скорость за время t+h
Скорость за время t h

Проведем указанные в соотношении вычисления, исходя из найденной Галилеем зависимости

Найденная Галилеем зависимость
Найденная Галилеем зависимость

Сделаем сначала элементарные вычисления:

Элементарные вычисления по вычислению скорости за  количество времени h
Элементарные вычисления по вычислению скорости за количество времени h

а теперь, разделив на h, получаем

Делим полученное выражение на h
Делим полученное выражение на h

Когда h стремится к нулю, второе слагаемое записанной справа суммы тоже стремится к нулю, а первое остается постоянным, точнее, не зависящим от величины h, поэтому в нашем случае

Вычисляем скорость от величины t
Вычисляем скорость от величины t

и мы нашли закон

Закон изменения скорости свободно падающего тела
Закон изменения скорости свободно падающего тела

изменения скорости свободно падающего тела. Обратите внимание, формула одновременно дает и определение, и правило вычисления значений  мгновенной скорости изменения функции s(t).

Поскольку скорость сама есть функция времени, то можно было бы поставить вопрос о скорости ее изменения. В физике скорость изменения скорости называется ускорением. Таким образом, если скорость как функция времени, то, рассуждая как и при выводе формулы, для мгновенного ускорения a(t) в момент времени t получаем выражение

Формула мгновенного ускорения
Формула мгновенного ускорения

Посмотрим, что дает эта формула для случая свободного падения:

Формула для случая свободного падения
Формула для случая свободного падения

и, поскольку g - постоянная, то получается, что

Ускорение свободно падающего тела постоянно
Ускорение свободно падающего тела постоянно

т. е. ускорение свободно падающего тела постоянно и величина g есть та самая физическая постоянная, которая выражает ускорение свободного падения у поверхности Земли.

Нетрудно заметить что мы нашли общее математическое выражение для мгновенной скорости изменения переменной величины. Конечно, результат вычислений по формулам, как мы убедились, зависит от конкретного вида функций, но сами операции над этими функциями, которые предписываются правыми частями формул, одни и те же.

Обобщая сделанные наблюдения, в математическом анализе уже для любой функции  рассматривают важную величину:

Обобщая приходим к формуле производной
Обобщая приходим к формуле производной

которую называют производной функции f.

Производная, таким образом, играет роль скорости изменения зависимой переменной y по отношению к изменению независимой переменной x; последняя теперь уже не обязана иметь физический смысл времени.

Значение производной зависит от значения аргумента x, поэтому, как и в случае скорости, производная  некоторой функции f(x) сама является функцией переменной x.

Например, если

Кубическая функция
Кубическая функция

 

то

Подстановка данных кубической функции в вычисления малого изменения функции
Подстановка данных кубической функции в вычисления малого изменения функции

далее, при h, стремящемся к нулю, величина, стоящая в последних скобках, стремится к нулю, а вся правая часть при этом стремится к значению производной. Мы нашли таким образом, что если

Заданная кубическая функция
Заданная кубическая функция

то

Производная кубической функции
Производная кубической функции

В формуле величину h разности

Разность
Разность

называют приращением аргумента функции и часто обозначают символом

Дельта икс
Дельта икс

(читается: дельта икс), а разность

Изменение значения функции
Изменение значения функции

обозначают обычно через

Дельта функции
Дельта функции

и называют приращением функции, соответствующим данному приращению аргумента. В этих обозначениях выражение приобретает вид:

Первый вариант записи производной функции
Первый вариант записи производной функции

или 

Второй вариант записи производной функции
Второй вариант записи производной функции

Таким образом, значение производной функции в точке x - это предел отношения приращения функции

Приращение функции
Приращение функции

соответствующего смещению дельты х от точки х, к приращению дельта х аргумента х, когда дельта х стремится к нулю.

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. С физической точки зрения, как мы теперь понимаем, дифференцирование – это определение скорости изменения переменной величины.

Область изменения переменной величины
Область изменения переменной величины

    Пределы и числовые ряды

Когда человек сделал первые самостоятельные шаги в изучении математического анализа и начинает задавать неудобные вопросы, то уже не так-то просто отделаться фразой, что «дифференциальное исчисление найдено в капусте». Поэтому настало время набраться решимости и раскрыть тайну появления на свет таблицы производных и правил дифференцирования. 

Числовые последовательности и их пределы

Но без чего-чего сейчас точно не обойтись, так это без пределов функций. Важно понимать, что такое предел и уметь решать их, как минимум, на среднем уровне. А всё потому, что производная функции  в точке  определяется формулой:

Производная функции у в точке х0
Производная функции у в точке х0

Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.

Любой предел состоит из трех частей:

- всем известного значка предела

Знак предела
Знак предела

- записи под значком предела, к примеру

Подпись под знаком предела
Подпись под знаком предела

Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно х, хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность.

- функции под знаком предела.

Вычисление предела по определению.

Сама запись  читается так: «предел функции  при икс стремящемся к единице».

Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»?

Понятие предела – это понятие, динамическое. Построим последовательность:

Построенная последовательность, обозначающая как х стремится к 1
Построенная последовательность, обозначающая как х стремится к 1

То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.

Результатом вычисления предела является производная функция.

Вычисление пределов функций

Исходя из вышесказанного, сформулируем условия двух типовых задач:

– найти производную в точке, используя определение производной;

Производная в точке с использованием среды MathCad
Производная в точке с использованием среды MathCad

– найти производную функцию, используя определение производной. Эта версия, встречается заметно чаще.

Определение производной
Определение производной

Принципиальное отличие заданий состоит в том, что в первом случае требуется найти число(как вариант, бесконечность), а во втором – функцию. Кроме того, производной может и вовсе не существовать.

Как найти производную по определению? Составить отношение  и вычислить предел .

Вычисление пределов функции

Свойства пределов

Свойства пределов
Свойства пределов

Некоторые пределы

Некоторые пределы
Некоторые пределы
Продолжение примеров определения пределов
Продолжение примеров определения пределов

Числовой ряд - это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).

Рассматриваются числовые ряды двух видов:

- вещественные числовые ряды - изучаются в математическом анализе;

Числовые и функциональные ряды
Числовые и функциональные ряды

- комплексные числовые ряды - изучаются в комплексном анализе.

Комплексные числа
Комплексные числа

Важнейший вопрос исследования числовых рядов - это сходимость числовых рядов.

Числовые ряды применяются в качестве системы приближений к числам.

Пусть

Числовая последовательность
Числовая последовательность

- это числовая последовательность; рассмотрим наравне с данной последовательностью последовательность

Вторая числовая последовательность
Вторая числовая последовательность

каждый элемент которой представляет собой сумму некоторых членов исходной последовательности. В наиболее простом случае используются обычные частичные суммы вида:

Частичные суммы
Частичные суммы

Вообще, для обозначения ряда используется символ:

Символ для обозначения ряда
Символ для обозначения ряда

поскольку здесь указана исходная последовательность элементов ряда, а также правило суммирования.

В соответствии с этим говорится о сходимости числового ряда:

- числовой ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм;

- числовой ряд расходится, если расходится последовательность его частичных сумм;

- числовой ряд сходится абсолютно, если сходится ряд из модулей его членов.

Если числовой ряд сходится, то предел последовательности его частичных сумм носит название суммы ряда:

Сумма ряда
Сумма ряда

Некоторые ряды

Некоторые ряды
Некоторые ряды

    Производные и дифференциалы

В дифференциальном исчислении выводятся производные основных элементарных функций. Укажем, например, что производными функций

Функции, взятые для примера
Функции, взятые для примера

являются соответственно функции

Производные взятых функций
Производные взятых функций

В дифференциальном исчислении выводятся также следующие общие правила дифференцирования:

Общие правила дифференцирования
Общие правила дифференцирования

Общие законы дифференцирования существенно облегчают отыскание производных, а для любых комбинаций элементарных функций делают дифференцирование столь же доступной операцией, как и арифметические действия для человека, знающего таблицу умножения.

Например, если

Пример применения общих законов дифференцирования
Пример применения общих законов дифференцирования

До сих пор, следуя И. Ньютону, в качестве главного понятия дифференциального исчисления мы выделяли производную. Г. В. Лейбниц, другой родоначальник математического анализа, в качестве исходного выбрал понятие дифференциала, которое, как мы увидим, логически равноценно понятию производной, но не совпадает с ним. Лейбниц нашел правила вычисления дифференциалов, равноценные правилам отыскания производных, и назвал развитое им исчисление дифференциальным. Это название и сохранилось. Рассмотренные выше примеры помогут нам достаточно быстро разобраться в следующих, на первый взгляд формальных, но очень важных определениях всего дифференциального исчисления.

Лекция о производной и дифференциале функции

Функция y=f(x) называется дифференцируемой при некотором значении x ее аргумента, если приращение

Приращение линейной функции
Приращение линейной функции

этой функции, отвечающее приращению 

Приращение аргумента х
Приращение аргумента х

ее аргумента x, можно представить в виде

Выражение, в виде которого представляем приращение функции
Выражение, в виде которого представляем приращение функции

где k(x) - коэффициент, зависящий только от x, а альфа - величина, стремящаяся к нулю при h, стремящемся к нулю.

Таким образом,

Приближенное определение изменения значения функции
Приближенное определение изменения значения функции

т.е. с точностью до погрешности

Малая погрешность
Малая погрешность

малой в сравнении с величиной h приращения аргумента, приращение

Приращение
Приращение

дифференцируемой в точке x функции можно заменить величиной

Величина, которой можно заменить приращение функции в точке х
Величина, которой можно заменить приращение функции в точке х

линейной относительно приращения h аргумента x.

Эта приближающая линейная по h функция

Приближающая линейная по h функция
Приближающая линейная по h функция

называется дифференциалом исходной функции f в точке x и обозначается символом df или, более полно, df(x).

В каждой точке x приближающая линейная функция

Приближающая линейная функция
Приближающая линейная функция

вообще говоря, своя, что отмечено зависимостью коэффициента k(x) от x.

Поделив обе части равенства на h и учитывая, что величина альфа стремится к нулю, когда h стремится к нулю, получаем соотношение:

Вычисляем дифференциальный коэффициент
Вычисляем дифференциальный коэффициент

позволяющее вычислять дифференциальный коэффициент k(x) и показывающее, что он просто-напросто совпадает со значением производной функции f(x) в точке x.

Таким образом, если функция дифференцируема в точке x, то в этой точке существует указанный предел, т.е. в ней существует производная 

Производная дифференцируемой функции
Производная дифференцируемой функции

Обратно, если у функции f(x) в точке x есть определенная производная, то

Проверяем дифференцируемость функции
Проверяем дифференцируемость функции

где поправка альфа стремится к нулю, когда h стремится к нулю. Умножая это равенство на , получаем

Функция дифференцируема в точке
Функция дифференцируема в точке

и значит, функция дифференцируема в точке x.

Итак, мы убедились, что функция имеет дифференциал

Функция имеет дифференциал
Функция имеет дифференциал

в том, и только в том, случае, когда она имеет производную, причем

Связь дифференциала и производной
Связь дифференциала и производной

Но дифференциал как линейная по h функция  вполне определяется коэффициентом

Дифференциал определяется коэффициентом
Дифференциал определяется коэффициентом

поэтому отыскание дифференциала функции вполне равносильно отысканию ее производной. Вот почему обе эти операции часто называют одним термином - «дифференцирование», а исчисление называют дифференциальным.

Если вместо h писать дельту х, то вместо  

Дифференциал с изменением h
Дифференциал с изменением h

можно записать

Меняем h на дельту х
Меняем h на дельту х

Если взять f(x)=x, то

Производная и дифференциал функции f(x)=x
Производная и дифференциал функции f(x)=x

поэтому вместо приращения независимой переменной часто пишут дифференциал dx. В этих обозначениях получается красивая запись дифференциала функции

Красивая запись дифференциала функции
Красивая запись дифференциала функции

от которой Лейбниц и пришел к обозначению

Обозначение дифференциала для производной от Лейбница
Обозначение дифференциала для производной от Лейбница

для производной, рассматривая последнюю как отношение дифференциалов функции и ее аргумента. Заметим, что обозначение для производной было введено лишь в 1770 г. французским математиком Ж. Л. Лагранжем, а исходным было обозначение

Исходное обозначение дифференциала
Исходное обозначение дифференциала

Г. Лейбница, которое во многих отношениях настолько удачно, что широко используется и по сей день.

Перечислим все необходимы и важные формулы и свойства, которые имеют непосредственное отношение к понятиям дифференциала и производной:

- определение производной;

Определение производной
Определение производной

- односторонние производные;

Односторонние производные
Односторонние производные

-  функция, дифференцируемая в точке x0;

Функция, дифференцируемая в точке x0
Функция, дифференцируемая в точке x0

- дифференциал;

Определение дифференциала
Определение дифференциала

- дифференцирование арифметических комбинаций;

Дифференцирование арифметических комбинаций
Дифференцирование арифметических комбинаций

- производная композиции (сложной функции);

Производная композиции (сложной функции)
Производная композиции (сложной функции)

- производная обратной функции;

Производная обратной функции
Производная обратной функции

- производные основных элементарных функций;

Производные основных элементарных функций
Производные основных элементарных функций

- производная степенно-показательной функции;

Производная степенно-показательной функции
Производная степенно-показательной функции

- производные высших порядков некоторых функций;

Производная линейной комбинации
Производная линейной комбинации

- производная линейной комбинации;

Производная линейной комбинации
Производная линейной комбинации

- Формула Лейбница;

Формула Лейбница
Формула Лейбница

- дифференциалы высших порядков;

Дифференциалы высших порядков
Дифференциалы высших порядков

- производные функции, заданной параметрически;

Производные функции, заданной параметрически
Производные функции, заданной параметрически

- формула конечных приращений;

Формула конечных приращений
Формула конечных приращений

- формула отношения конечных приращений.

Формула отношения конечных приращений
Формула отношения конечных приращений

    Формула и ряд Тейлора в дифференцировании

На физическом языке, когда производная функции интерпретируется как скорость в момент х, а  

Интерпретируем данную формулу как путь
Интерпретируем данную формулу как путь

- как путь, пройденный за промежуток времени h, протекший от момента x, приближенное равенство

За малое время h скорость мало меняется
За малое время h скорость мало меняется

означает, что за малое время h скорость мало меняется, поэтому пройденный путь приближенно можно найти, как и по формуле

Формула равномерно прямолинейного движения
Формула равномерно прямолинейного движения

выражающей равномерное прямолинейное движение с постоянной скоростью

Постоянная скорость для условия
Постоянная скорость для условия

После переобозначений получаем соотношение

Переобозначаем функцию для точки х0
Переобозначаем функцию для точки х0

которое позволит приближенно находить значения функции f(x) в точках x, близких к некоторой точке x0, в которой уже известны значение f(x0) самой функции и значение ее производной.

Формула Тейлора за 3 минуты

Например, пусть

Задаем функцию и ее нулевую точку
Задаем функцию и ее нулевую точку

Тогда

Находим производную для заданной функции
Находим производную для заданной функции

поэтому, полагая

Задаем параметр х
Задаем параметр х

находим следующую формулу

Находим формулу для приближенных вычислений
Находим формулу для приближенных вычислений

для приближенных вычислений, справедливую для любых (не только целых) значений альфа, при условии малости величины дельта. По этой формуле

Применяем формулу для приближенных вычислений
Применяем формулу для приближенных вычислений

Важную формулу можно уточнить, если привлечь производные более высоких порядков, которые мы сейчас определим.

Как разложить функцию в ряд Тейлора

Поскольку производная функции сама оказывается функцией аргумента х, то можно поставить вопрос о нахождении производной функции

Обозначение производной функции
Обозначение производной функции

т.е. функции

Вторая производная через производную
Вторая производная через производную

которая обозначается символом

Вторая производная
Вторая производная

и называется второй производной исходной функции f(x). Например, если s(t) - закон движения,  

Формула скорости
Формула скорости

- его скорость, а  

Формула ускорения
Формула ускорения

- ускорение, то  

Формула ускорения есть вторая производная от пути
Формула ускорения есть вторая производная от пути

есть вторая производная функции s(t). Вообще можно определить производные любого порядка: n-я производная функции есть производная от ее (n-1)-й производной.

Разложение в ряд Тейлора

Для обозначения производных порядка n обычно используют символы

Производная высокого порядка n
Производная высокого порядка n

в отличие от символов

Производные малых порядков
Производные малых порядков

употребляемых только для производных малых порядков (1, 2, 3).

Зная производные функции

Некоторые функции
Некоторые функции

легко проверить по индукции, что производные n-го порядка от этих функций соответственно равны

Производные n-го порядка рассматриваемых функций
Производные n-го порядка рассматриваемых функций

Теперь вернемся к формуле, в которой функция f(x) приближенно заменяется стоящим в правой части многочленом 1-й степени относительно (x-x0). Оказывается, соотношение является частным случаем общего равенства

Формула Тейлора как частный случай приближенного вычисления
Формула Тейлора как частный случай приближенного вычисления

называемого формулой Тейлора, в котором о величине

Остаточный член формулы Тейлора
Остаточный член формулы Тейлора

называемой остаточным членом формулы Тейлора, говорится, например, что ее можно представить в виде:

Формула остаточного члена формулы Тейлора
Формула остаточного члена формулы Тейлора

похожем на вид предыдущих членов формулы, но только здесь

Функция n+1-го порядка
Функция n 1-го порядка

вычисляется не в точке

Точка эпсилон
Точка эпсилон

а в некоторой точке лежащей между x и x0.

Но этой информации бывает достаточно для вычислительных целей. Так, если

Для вычислений берем функцию sin х
Для вычислений берем функцию sin х

то вспомнив, что

Тригонометрическая функция n-го порядка
Тригонометрическая функция n-го порядка

получаем

Остаточный член формулы Тейлора для тригонометрической функции
Остаточный член формулы Тейлора для тригонометрической функции

Значит, если, например

В качестве примера возьмем следующие данные
В качестве примера возьмем следующие данные

и потому, подставив

Тригонометрическая функция степени k при значении 0
Тригонометрическая функция степени k при значении 0

находим формулу:

Приближенное вычисление тригонометрической функции
Приближенное вычисление тригонометрической функции

позволяющую при любом x из отрезка

Отрезок
Отрезок

вычислить значение sin x с точностью, не худшей, чем 0.001.

Можно проверить, что в рассматриваемом случае

Остаточный член функции Тейлора стремится к нулю
Остаточный член функции Тейлора стремится к нулю

при неограниченном увеличении n, поэтому можно предложить такую запись:

Ряд Тейлора для тригонометрической функции
Ряд Тейлора для тригонометрической функции

Справа в этом равенстве стоит бесконечно много слагаемых, т.е., как говорят, имеется ряд. Равенство понимается, как и вообще сумма ряда, в том смысле, что при любом значении x разность между sin x и суммой конечного числа взятых по порядку слагаемых ряда стремится к нулю, если количество слагаемых неограниченно увеличивается.

Лекция о ряде Тейлора

Ценность формул состоит в том, что они позволяют заменить вычисление значений сложной функции вычислением значений приближающего ее многочлена. Вычисление же значений многочлена сводится к одним арифметическим операциям, которые, например, можно выполнить на электронной вычислительной машине.

Описанный выше ряд является частным случаем ряда

Ряд Тейлора
Ряд Тейлора

который можно написать для любой бесконечно дифференцируемой функции f(x). Он называется рядом Тейлора этой функции (Б. Тейлор (1685-1731) – английский математик).

Брук Тейлора давший основу рядам и формуле Тейлора
Брук Тейлора давший основу рядам и формуле Тейлора

Ряд Тейлора не всегда имеет своей суммой породившую его функцию , поэтому вопрос о сумме ряда Тейлора каждый раз требует определенного исследования, например такого, какое мы сделали выше, оценивая величину остатка

Остаток формулы Тейлора
Остаток формулы Тейлора

Такими рассуждениями можно показать, что

Ряд Тейлора для функции косинуса
Ряд Тейлора для функции косинуса

при любом значении х.

При целых положительных n, в частности, получается соотношение:

Бином Ньютона
Бином Ньютона

известное в математике как бином Ньютона.

Бином Ньютона. Часть1
Бином Ньютона. Часть 2
Бином Ньютона. Часть 3

 С помощью дифференциалов, функция F при условии существования её (n + 1) первых производных может быть представлена по формуле Тейлора:

- для функции с одной переменной:

Формула Тейлора для функции с одной переменной
Формула Тейлора для функции с одной переменной

- для функции с несколькими переменными:

Формула Тейлора для функции с несколькими переменными
Формула Тейлора для функции с несколькими переменными

Если первый дифференциал равен нулю, а второй дифференциал функции является положительно определённым (отрицательно определенным), то точка является точкой строгого минимума (соответственно строгого максимума); если же второй дифференциал функции является неопределённым, то в точке нет экстремума.

Лекция по формуле Тейлора

    Степенные ряды

 Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

где a0, a1, a2, …,an,…, а также x0 – постоянные числа. Точку x0 называют центром степенного ряда.

Степенные ряды

Сначала рассмотрим степенные ряды с центром 0, т.е. ряды вида

Степенной ряд с центром 0
Степенной ряд с центром 0

Такой ряд всегда сходится при x=0 и, значит, его область сходимости есть непустое множество.

Теорема Абеля: Если степенной ряд сходится при некотором

Условие теоремы Абеля
Условие теоремы Абеля

не равное нулю, то он сходится абсолютно при всех значениях x таких, что

Х меньше Бетты
Х меньше Бетты

Наоборот, если ряд расходится при

Х равно Бетте
Х равно Бетте

то он расходится при всех значениях x таких, что  

Х больше Бетты
Х больше Бетты

Доказательство. Пусть числовой ряд

Заданный числовой ряд
Заданный числовой ряд

сходится. Поэтому 

Предел заданного числового ряда
Предел заданного числового ряда

Но любая последовательность, имеющая предел, ограничена, значит, существует такое число M, что

Условия для числа М
Условия для числа М

для всех n=0,1,2,…

Сходимость степенного ряда

Рассмотрим теперь ряд

Второй ряд для доказания теоремы Абеля
Второй ряд для доказания теоремы Абеля

Так как

Условия ряда
Условия ряда

то члены ряда не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда

Геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия

(геометрической прогрессии). Следовательно, ряд сходится. Теорема доказана.

Лекция о степенных рядах и теореме Абеля

Теорема Абеля позволяет дать описание области сходимости степенного ряда.

Теорема. Для степенного ряда возможны только три случая:

- ряд сходится в единственной точке x=0;

- ряд сходится при всех значениях x;

- существует такое R>0, что ряд сходится при всех значениях x, для которых

Меньше числа R
Меньше числа R

и расходится при всех x, для которых  

Больше числа R
Больше числа R

Форма обозначения степенных рядов 

Представление степенных рядов
Представление степенных рядов
     Радиус сходимости (формула Коши-Адамара),
Радиус сходимости степенной функции (формула Коши-Адамара)
Радиус сходимости степенной функции (формула Коши-Адамара)

Интервал сходимости

Интервал сходимости степенного ряда
Интервал сходимости степенного ряда

Действия над степенными рядами

Если R1 - радиус сходимости ряда

Условие для проведения действий над степенными рядами
Условие для проведения действий над степенными рядами

R2 - радиус сходимости ряда

Ряд, радиус сходимости которого R2
Ряд, радиус сходимости которого R2

то

Действия над степенными рядами
Действия над степенными рядами
Лекция о степенных рядах

    Функции нескольких переменных

Понятие функции одной переменной легко обобщается на случай двух и большего числа аргументов. В случае функции двух переменных будем рассматривать множество упорядоченных пар (x,y), где числовые значения x и y принадлежат множествам

Множества
Множества

Если задан закон, согласно которому каждой паре (x,y) соответствует единственное числовое значение z, то говорят, что задана функция двух переменных. Обычно такая функция обозначается в виде

Определение функций двух переменных
Определение функций двух переменных

Аналогичным образом определяется функция n переменных.

Приближенные вычисления функций двух переменных

Для функций нескольких переменных вводится понятие частной производной первого порядка, то есть производной функции по одной из переменной при условии, что остальные переменные фиксированы. Например, для функции двух переменных z=f(x,y) рассматриваются частные производные по переменной x и по переменной y. Они обозначаются следующим образом:

Частная производная первого порядка для функций двух переменных
Частная производная первого порядка для функций двух переменных

По такому же принципу рассмотрим частные производные второго порядка для функции двух переменных:

Частная производная второго порядка для функций двух переменных
Частная производная второго порядка для функций двух переменных

Рассмотрим дифференцирование сложной функции двух переменных.

Если

Первоначальное условие для дифференцирования сложной функции двух переменных
Первоначальное условие для дифференцирования сложной функции двух переменных

где g − функция одной переменной h, то частные производные равны

Частные производные для заданного условия
Частные производные для заданного условия

Если h(t)=f(x(t),y(t)), то производная находится по формуле 

Производная сложной функции
Производная сложной функции

Если z=f(x(u,v),y(u,v)), то частные производные определяются выражениями 

Выражения, определяющие частные производные
Выражения, определяющие частные производные

Малые приращения функции  

Малые приращения сложной функции
Малые приращения сложной функции

Локальные максимум и минимум

Функция f(x,y) имеет локальный максимум в точке (x0,y0), если

Условия для локального максимума
Условия для локального максимума

достаточно близких к (x0,y0). 

Аналогично, функция f(x,y) имеет локальный минимум в точке (x0,y0), если

Условия для локального минимума
Условия для локального минимума

для всех (x,y), достаточно близких к (x0,y0).

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Стационарные и критические точки - это точки, в которых все частные производные функции равны нулю. Для функции двух переменных стационарные точки находятся из системы уравнений

Системные уравнения для нахождения стационарных точек
Системные уравнения для нахождения стационарных точек

Локальные максимум и минимум представляют собой стационарные точки. Стационарные точки вместе с точками из области определения функции, в которых частные производные не существуют, образуют множество критических точек.

Метод нахождения локального максимума и локального минимума

Стационарная точка, которая не является ни локальным максимумом, ни локальным минимумом, называется седловой точкой.

Достаточное условие существования экстремума: Пусть (x0,y0) является стационарной точкой (т.е. частные производные первого порядка в ней равны нулю). Рассмотрим определитель, составленный из значений частных производных второго порядка в данной точке:

Определитель
Определитель
Условия существования экстремумов
Условия существования экстремумов

Частной производной от функции

Функция Z
Функция Z

по независимой переменной х называется производная

Частная производная функции Z
Частная производная функции Z

вычисленная при постоянном у.

Частной производной по y называется производная

Частная производная функции Z по у
Частная производная функции Z по у

вычисленная при постоянном х. Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

Лекция о функциях нескольких переменных

Полный дифференциал функции

Функция Z
Функция Z

вычисляется по формуле 

Полный дифференциал функции Z
Полный дифференциал функции Z

Для функции трех переменных

Полный дифференциал для функции трех переменных
Полный дифференциал для функции трех переменных

Дифференциалом второго порядка от функции z называется дифференциал от ее полного дифференциала, то есть

Полный дифференциал заданной функции
Полный дифференциал заданной функции

Если х и у – независимые переменные и функция f(x;y) имеет непрерывные производные, то дифференциал второго порядка вычисляется по формуле

Дифференциал второго порядка заданной функции
Дифференциал второго порядка заданной функции

Понятие дифференциального уравнения

Дифференциальное уравнение - это уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами). Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или все, кроме хотя бы одной производной, отсутствовать вовсе. Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например, не является дифференциальным уравнением.

Основные понятия по дифференциальным уравнениям

 Дифференциальное уравнение порядка выше первого можно преобразовать в систему уравнений первого порядка, в которой число уравнений равно порядку исходного уравнения.

Современные быстродействующие ЭВМ эффективно дают численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, не требуя получения его решения в аналитическом виде. Это позволило некоторым исследователям утверждать, что решение задачи получено, если её удалось свести к решению обыкновенного дифференциального уравнения.

Пример дифференциальных уравнений
Пример дифференциальных уравнений

В настоящее время важную роль в развитии теории дифференциальных уравнений играет применение современных электронных вычислительных машин. Исследование дифференциальных уравнений часто облегчает возможность провести вычислительный эксперимент для выявления тех или иных свойств их решений, которые потом могут быть теоретически обоснованы и послужат фундаментом для дальнейших теоретических исследований.

Электронная вычислительная машина
Электронная вычислительная машина

Вычислительный эксперимент стал также мощным средством теоретических исследований в физике. Он проводится над математической моделью физического явления, но при этом по одним параметрам модели вычисляются другие параметры и делаются выводы о свойствах изучаемого физического явления. Цель вычислительного эксперимента - построение с необходимой точностью с помощью ЭВМ за возможно меньшее машинное время адекватного количественного описания изучаемого физического явления. В основе такого эксперимента очень часто лежит численное решение системы уравнений с частными производными. Отсюда происходит связь теории дифференциальных уравнений с вычислительной математикой и, в частности, с такими ее важными разделами, как метод конечных разностей, метод конечных элементов и другие.

Первые ЭВМ для вычисления сложных математических задач
Первые ЭВМ для вычисления сложных математических задач

    Теория дифференциальных уравнений

Итак, первая черта теории дифференциальных уравнений - ее тесная связь с приложениями. Другими словами, можно сказать, что теория дифференциальных уравнений родилась из приложений. В этом своем разделе - теории дифференциальных уравнений - математика прежде всего выступает как неотъемлемая часть естествознания, на которой основывается вывод и понимание количественных и качественных закономерностей, составляющих содержание наук о природе.

Науки о природе
Науки о природе
        Теория дифференциальных уравнений и другие науки

Именно естествознание является для теории дифференциальных уравнений замечательным источником новых проблем, оно в значительной мере определяет направление их исследований, дает правильную ориентацию этим исследованиям. Более того, дифференциальные уравнения не могут плодотворно развиваться в отрыве от физических задач. И не только потому, что природа богаче человеческой фантазии. Развитая в последние годы теория о неразрешимости некоторых классов уравнений с частными производными показывает, что даже очень простые по форме линейные уравнения с частными производными с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами могут не иметь ни одного решения не только в обычном смысле, но также и в классах обобщенных функций, и в классах гиперфункций, и, следовательно, для них не может быть построена содержательная теория (теория обобщенных функций, обобщающая основное понятие математического анализа - понятие функции, была создана в середине нашего века трудами С.Л. Соболева и Е.Л. Шварца).

Сергей Львович Соболев объясняет теорию по системам уравнений
Сергей Львович Соболев объясняет теорию по системам уравнений

Изучение уравнений с частными производными в общем случае - столь сложная задача, что если кто-нибудь наугад напишет какое-нибудь даже линейное дифференциальное уравнение с частными производными, то с большой вероятностью ни один математик не сможет о нем сказать что-либо и, в частности, выяснить, имеет ли это уравнение хотя бы одно решение.

Если взять наугад ДУ, то ни один математик не может с легкостью сказать сколько будет решений
Если взять наугад ДУ, то ни один математик не может с легкостью сказать сколько будет решений

Задачи физики и других естественных наук снабжают теорию дифференциальных физических изменений вместе с их проблемами, из которых вырастают богатые содержанием теории. Однако бывает и так, что математическое исследование, рожденное в рамках самой математики, через значительное время после его проведения находит приложение в конкретных физических проблемах в результате их более глубокого изучения. Таким примером может служить задача Трикоми для уравнений смешанного типа, которая спустя более четверти века после ее решения нашла важные применения в задачах современной газовой динамики при изучении сверхзвуковых течений газа.

Задача Трикоми
Задача Трикоми

Ф. Клейн в книге "Лекции о развитии математики в XIX столетии" писал, что "математика сопровождала по пятам физическое мышление и, обратно, получила наиболее мощные импульсы со стороны проблем, выдвигавшихся физикой".

Фридрих Клейн занимался изучением развития математики
Фридрих Клейн занимался изучением развития математики
        Разделы математики и дифференциальные уравнения

Второй особенностью теории дифференциальных уравнений является ее связь с другими разделами математики, такими, как функциональный анализ, алгебра и теория вероятностей. Теория дифференциальных уравнений и особенно теория уравнений с частными производными широко используют основные понятия, идеи и методы этих областей математики и, более того, влияют на их проблематику и характер исследований. Некоторые большие и важные разделы математики были вызваны к жизни задачами теории дифференциальных уравнений. Классическим примером такого взаимодействия с другими областями математики являются исследования колебаний струны, проводившиеся в середине XVIII века.

Задачи одного из разделов математики
Задачи одного из разделов математики

Уравнение колебаний струны было выведено Д'Аламбером в 1747 году. Он получил также формулу, которая дает решение этого уравнения: u(t, x) = F1(x + t) + F2(x - t), где F1 и F2 - произвольные функции. Эйлер получил для него формулу, которая дает для него решение с заданными начальными условиями (задача Коши). (Эта формула в настоящее время называется формулой Д'Аламбера.) Возник вопрос, какие функции считать решением. Эйлер полагал, что это может быть произвольно начерченная кривая. Д'Аламбер считал, что решение должно записываться аналитическим выражением. Д. Бернулли утверждал, что все решения представляются в виде тригонометрических рядов. С ним не соглашались Д'Аламбер и Эйлер. В связи с этим спором возникли задачи об уточнении понятия функции, важнейшего понятия математического анализа, а также вопрос об условиях представимости функции в виде тригонометрического ряда, который позднее рассматривали Фурье, Дирихле и другие крупные математики и изучение которого привело к созданию теории тригонометрических рядов. Как известно, потребности развития теории тригонометрических рядов привели к созданию современной теории меры, теории множеств, теории функций.

Ученый Жан Лерон Д’Аламбер
Ученый Жан Лерон Д’Аламбер

При изучении конкретных дифференциальных уравнений, возникающих в процессе решения физических задач, часто создавались методы, обладающие большой общностью и применявшиеся без строгого математического обоснования к широкому кругу математических проблем. Такими методами являются, например, метод Фурье, метод Ритца, метод Галёркина, методы теории возмущений и другие. Эффективность применения этих методов явилась одной из причин попыток их строгого математического обоснования. Это приводило к созданию новых математических теорий, новых направлений исследований. Так возникла теория интеграла Фурье, теория разложения по собственным функциям и, далее, спектральная теория операторов и другие теории.

Разрывной метод Галёркина
Разрывной метод Галёркина

В первый период развития теории обыкновенных дифференциальных уравнений одной из основных задач было нахождение общего решения в квадратурах, то есть через интегралы от известных функций (этим занимались Эйлер, Риккати, Лагранж, Д'Аламбер и др.). Задачи интегрирования дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами оказали большое влияние на развитие линейной алгебры. В 1841 году Лиувилль показал, что уравнение Риккати

Уравнение Рикатти
Уравнение Рикатти

не может быть в общем случае разрешено в квадратурах. Изучение непрерывных групп преобразований в связи с задачами интегрирования дифференциальных уравнений привело к созданию теории групп Ли.

Графики решения уравнения Рикатти
Графики решения уравнения Рикатти
        Качественная теория дифференциальных уравнений

Начало качественной теории дифференциальных уравнений было положено в работах знаменитого французского математика Пуанкаре. Эти исследования Пуанкаре по обыкновенным дифференциальным уравнениям привели его к созданию основ современной топологии.

Схематическое отображение гипотезы Пуанкаре
Схематическое отображение гипотезы Пуанкаре

Таким образом, дифференциальные уравнения находятся как бы на перекрестке математических дорог. С одной стороны, новые важные достижения в топологии, алгебре, функциональном анализе, теории функций и других областях математики сразу же приводят к прогрессу в теории дифференциальных уравнений и тем самым находят путь к приложениям. С другой стороны, проблемы физики, сформулированные на языке дифференциальных уравнений, вызывают к жизни новые направления в математике, приводят к необходимости совершенствования математического аппарата, дают начало новым математическим теориям, имеющим внутренние законы развития, свои собственные проблемы.

В своих "Лекциях о развитии математики в XIX столетии" Ф. Клейн писал: "Математика в наши дни напоминает оружейное производство в мирное время. Образцы восхищают знатока. Назначение этих вещей отходит на задний план."

Лекции о развитии математики Феликса Клейна
Лекции о развитии математики Феликса Клейна

Несмотря на эти слова, можно сказать, что нельзя стоять за "разоружение" математики. Вспомним, например, что древние греки изучали конические сечения задолго до того, как было открыто, что по ним движутся планеты. Действительно, созданная древними греками теория конических сечений не находила своего применения почти две тысячи лет, пока Кеплер не воспользовался ею для создания теории движения небесных тел. Исходя из теории Кеплера, Ньютон создал механику, являющуюся основой всей физики и техники.

Записи Кеплера
Записи Кеплера

Другим таким примером может служить теория групп, зародившаяся в конце XVIII века (Лагранж 1771 год) в недрах самой математики и нашедшая лишь в конце XIX века плодотворное применение сначала в кристаллографии, а позднее в теоретической физике и других естественных науках. Возвращаясь к современности, заметим, что важнейшие научно-технические задачи, такие, как овладение атомной энергией, космические полеты, были успешно решены в Союзе Советских Социалистических Республик (CCCP) также благодаря высокому теоретическому уровню развития математики в нашей стране.

Жозеф Луи Лагранж
Жозеф Луи Лагранж

Таким образом, в теории дифференциальных уравнений ясно прослеживается основная линия развития математики: от конкретного и частного через абстракцию к конкретному и частному.

Развитие математики
Развитие математики
        Дифференциальные уравнения и математическая физика

Как уже говорилось, в XVIII и XIX веках изучались в основном конкретные уравнения математической физики. Из общих результатов теории уравнений с частными производными в этот период следует отметить построение теории уравнений с частными производными первого порядка (Монж, Коши, Шарпи) и теорему Ковалевской.

Ковалевская и ее теория
Ковалевская и ее теория

Теоремы о существовании аналитического (то есть представимого в виде степенного ряда) решения для обыкновенных дифференциальных уравнений, а также для линейных систем уравнений с частными производными были доказаны ранее Коши (Cauchy, 1789 - 1857). Эти вопросы рассматривались им в нескольких статьях. Но работы Коши не были известны Вейерштрассу, который предложил С.В. Ковалевской изучить вопрос о существовании аналитических решений уравнений с частными производными в качестве докторской диссертации. (Отмечу, что Коши опубликовал 789 статей и большое число монографий; его наследие огромно, поэтому неудивительно, что некоторые его результаты могли остаться некоторое время незамеченными.) С.В. Ковалевская в своей работе опиралась на лекции Вейерштрасса, где рассматривалась задача с начальными условиями для обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследование Ковалевской придало вопросу о разрешимости задачи Коши для уравнений и систем с частными производными в определенном смысле завершающий характер. Пуанкаре высоко ценил эту работу Ковалевской. Он писал: "Ковалевская значительно упростила доказательство и придала теореме окончательную форму".

Огюстен Луи Коши
Огюстен Луи Коши

Теорема Ковалевской занимает важное место в современной теории уравнений с частными производными. Ей, пожалуй, принадлежит одно из первых мест по числу применений в различных областях теории уравнений с частными производными: теорема Хольмгрена о единственности решения задачи Коши, теоремы существования решения задачи Коши для гиперболических уравнений (Шаудер, Петровский), современная теория разрешимости линейных уравнений и многие другие результаты используют теорему Ковалевской.

Теорема Коши-Ковалевской
Теорема Коши-Ковалевской
        Теория интегральных уравнений

Важным достижением теории уравнений с частными производными явилось создание на рубеже XIX века теории интегральных уравнений Фредгольма и решение основных краевых задач для уравнения Лапласа. Можно считать, что основные итоги развития теории уравнений с частными производными XIX века подведены в учебнике Э. Гурса "Курс математического анализа", изданном в 20-е годы нашего века. Следует отметить большой вклад, который внесли в теорию дифференциальных уравнений и математическую физику труды М.В. Остроградского по вариационным методам, труды А.М. Ляпунова по теории потенциала и по теории устойчивости движения, труды В.А. Стеклова по обоснованию метода Фурье и другие.

Марка с изображением математика В.А.Стеклова
Марка с изображением математика В.А.Стеклова

Тридцатые и последующие годы нашего века были периодом бурного развития общей теории уравнений с частными производными. В работах И.Г. Петровского и С.Л. Соболева были заложены основы общей теории систем уравнений с частными производными, выделены классы систем уравнений, которые в настоящее время носят название эллиптических, гиперболических и параболических по Петровскому систем, исследованы их свойства, изучены характерные для них задачи.

Сергей Львович Соболев объясняет теорию по системам уравнений
Сергей Львович Соболев объясняет теорию по системам уравнений

В теорию уравнений с частными производными все глубже стали проникать идеи функционального анализа. Было введено понятие обобщенного решения как элемента некоторого функционального пространства. Идея обобщенного решения систематически проводилась в работах С.Л. Соболева. В связи с исследованием дифференциальных уравнений Соболевым в 30-годы была создана теория обобщенных функций, играющая исключительно важную роль в современной математике и физике. С.Л. Соболевым была построена теория вложения функциональных пространств, которые в настоящее время носят название пространств Соболева. А.Н. Тихоновым была построена теория некорректных задач.

Труды А.Н.Тихонова
Труды А.Н.Тихонова

Выдающийся вклад в современную теорию дифференциальных уравнений внесли российские математики Н.Н. Боголюбов, А.Н. Колмогоров, И.Г. Петровский, Л.С. Понтрягин, С.Л. Соболев, А.Н. Тихонов и другие.

Влияние на развитие теории уравнений с частными производными в нашей стране оказал семинар, которым в 40-е и 50-е годы руководили И.Г. Петровский, С.Л. Соболев, А.Н. Тихонов. Значительную роль в развитии теории уравнений с частными производными сыграла проблемно-обзорная статья И.Г. Петровского "О некоторых проблемах теории уравнений с частными производными", опубликованная в 1946 году в журнале "Успехи математических наук". В ней изложено состояние теории уравнений с частными производными того времени и намечены пути ее дальнейшего развития. Теперь, спустя почти 50 лет, можно сказать, что развитие теории уравнений с частными производными шло именно по тому пути, который был начертан в этой замечательной статье.

Петровский Иван Георгиевич
Петровский Иван Георгиевич

В настоящее время теория дифференциальных уравнений с частными производными представляет собой богатую, сильно разветвленную теорию. Построена теория краевых задач для эллиптических операторов на основе недавно созданного нового аппарата - теории псевдодифференциальных операторов, решена проблема индекса, изучены смешанные задачи для гиперболических уравнений. Важную роль в современных исследованиях гиперболических уравнений играют интегральные операторы Фурье, которые обобщают оператор преобразования Фурье на тот случай, когда фазовая функция в показателе экспоненты, вообще говоря, нелинейно зависит от независимых переменных и частот. С помощью интегральных операторов Фурье изучен вопрос о распространении особенностей решений дифференциальных уравнений, ведущий начало от классических работ Гюйгенса. В последние десятилетия найдены условия корректной постановки краевых задач, исследованы вопросы гладкости решений для эллиптических и параболических систем. Изучены нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка и широкие классы нелинейных уравнений первого порядка, исследована для них задача Коши, построена теория разрывных решений. Глубокому изучению были подвергнуты система Навье-Стокса, система уравнений пограничного слоя, уравнения теории упругости, уравнения фильтрации и многие другие важные уравнения математической физики.

Дискретное преобразование Фурье
Дискретное преобразование Фурье

Интересным примером привлечения идей и средств из других областей математики является решение в последние годы задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриса с помощью обратной задачи теории рассеяния. На основе возникшего при этом метода найдены новые классы интегрируемых нелинейных уравнений и систем. При этом существенную роль сыграло применение методов алгебраической геометрии, позволившее, в частности, проинтегрировать уравнения Янга-Миллса, играющие важную роль в квантовой теории поля.

Теория Янга-Миллса
Теория Янга-Миллса
        Теория дифференциальных операторов

В последние десятилетия возник и интенсивно развивается новый раздел теории уравнений с частными производными - теория усреднения дифференциальных операторов. Эта теория возникла под влиянием задач физики, механики сплошной среды и техники, в частности, связанных с изучением композитов (сильно неоднородных материалов, широко используемых в настоящее время в инженерной технике), пористых сред, перфорированных материалов. Такие задачи приводят к уравнениям с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами или в областях со сложной границей. Численное решение такого рода задач крайне затруднительно. Необходим асимптотический анализ задачи, что и приводит к задачам усреднения.

Дифференциальная рента как усреднение оператора
Дифференциальная рента как усреднение оператора

Много работ в последние годы посвящено изучению поведения решений эволюционных уравнений (то есть уравнений, описывающих процессы, развивающиеся во времени) при неограниченном возрастании времени и возникающих при этом так называемых аттракторов. Продолжает привлекать внимание исследователей вопрос о характере гладкости решений краевых задач в областях с негладкой границей, большое число работ в последние годы посвящено изучению конкретных нелинейных задач математической физики.

За последние полтора - два десятка лет сильно изменилось лицо качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Одним из важных достижений является открытие предельных режимов, которые получили название аттракторов.

Аттрактор Лоренца
Аттрактор Лоренца

Оказалось, что наряду со стационарными и периодическими предельными режимами возможны предельные режимы совершенно иной природы, а именно такие, в которых каждая отдельная траектория неустойчива, а само явление выхода на данный предельный режим структурно устойчиво. Открытие и подробное изучение для систем обыкновенных дифференциальных уравнений таких предельных режимов, называемых аттракторами, потребовало привлечения средств дифференциальной геометрии и топологии, функционального анализа и теории вероятностей. В настоящее время происходит интенсивное внедрение этих математических понятий в приложения. Так, например, явления, происходящие при переходе ламинарного течения в турбулентное при повышении чисел Рейнольдса, описываются аттрактором. Изучение аттракторов предпринято также и для уравнений с частными производными.

Число Рейнольдса
Число Рейнольдса
        Изучение устойчивости систем дифференциальных уравнений

Другим важным достижением теории обыкновенных дифференциальных уравнений явилось изучение структурной устойчивости систем. При использовании любой математической модели возникает вопрос о корректности применения математических результатов к реальной действительности. Если результат сильно чувствителен к малейшему изменению модели, то сколь угодно малые изменения модели приведут к модели с совершенно иными свойствами. Такие результаты нельзя распространять на исследуемый реальный процесс, так как при построении модели всегда проводится некоторая идеализация и параметры определяются лишь приближенно.

Структурная усточивость систем
Структурная усточивость систем

Это привело А.А. Андронова и Л.С. Понтрягина к понятию грубости системы обыкновенных дифференциальных уравнений или понятию структурной устойчивости. Это понятие оказалось очень плодотворным в случае малой размерности фазового пространства, и в этом случае вопросы структурной устойчивости были детально изучены.

Памятник Льву Семеновичу Понтрягину
Памятник Льву Семеновичу Понтрягину

В 1965 году Смейл показал, что при большой размерности фазового пространства существуют системы, в некоторой окрестности которых нет ни одной структурно устойчивой системы, то есть такой, что при малом изменении векторного поля она остается в определенном смысле эквивалентной первоначальной. Этот результат имеет фундаментальное значение для качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, так как показывает неразрешимость задачи топологической классификации систем обыкновенных дифференциальных уравнений, и может быть сравним по своему значению с теоремой Лиувилля о неразрешимости дифференциальных уравнений в квадратурах.

Схематическое отображение теоремы Лиувилля
Схематическое отображение теоремы Лиувилля

К важным достижениям можно отнести построение А.Н. Колмогоровым теории возмущений гамильтоновых систем, обоснование метода усреднения для многочастичных систем, развитие теории бифуркаций, теории возмущений, теории релаксационных колебаний, дальнейшее глубокое изучение показателей Ляпунова, создание теории оптимального управления процессами, описываемыми дифференциальными уравнениями.

Таким образом, теория дифференциальных уравнений в настоящее время представляет собой исключительно богатый содержанием, быстро развивающийся раздел математики, тесно связанный с другими областями математики и с ее приложениями.

Гамильтоновы системы
Гамильтоновы системы

Бурбаки, говоря об архитектуре математики, так характеризует ее современное состояние:

"Дать в настоящее время общее представление о математической науке - значит заниматься таким делом, которое, как кажется, с самого начала наталкивается на почти непреодолимые трудности благодаря обширности и разнообразию рассматриваемого материала. Статьи по чистой математике, публикуемые во всем мире в среднем в течение одного года, составляют многие тысячи страниц. Не все они, конечно, имеют одинаковую ценность; тем не менее, после очистки от неизбежных отбросов оказывается, что каждый год математическая наука обогащается массой новых результатов, приобретает все более разнообразное содержание и постоянно дает ответвления в виде теорий, которые беспрестанно видоизменяются, перестраиваются, сопоставляются и комбинируются друг с другом. Ни один математик не в состоянии проследить это развитие во всех подробностях, даже если он посвятит этому всю свою деятельность. Многие из математиков устраиваются в каком-либо закоулке математической науки, откуда они не стремятся выйти и не только почти полностью игнорируют все то, что не касается предмета их исследований, но не в силах даже понять язык и терминологию своих собратьев, специальность которых далека от них". (Н. Бурбаки, "Очерки по истории математики", М.: ИЛ, 1963 г.)

Н.Бурбаки Осерки по истрии математики
Н.Бурбаки Осерки по истрии математики

Однако нельзя, как мне кажется, отрицать значение для математических исследований даже тех, кто находится "в закоулке" математической науки. Основное русло математики, как и большой реки, питают прежде всего небольшие ручейки. Крупные открытия, прорыв фронта исследований очень часто обеспечиваются и подготавливаются кропотливым трудом очень многих исследователей. Все сказанное относится не только ко всей математике, но и к одному из самых обширных ее разделов - теории дифференциальных уравнений, которая в настоящее время представляет собой трудно обозримую совокупность фактов, идей и методов, очень полезных для приложений и стимулирующих теоретические исследования во всех других разделах математики.

В большом количестве разделов математики  уделается внимание дифференциалам
В большом количестве разделов математики уделается внимание дифференциалам

Многие разделы теории дифференциальных уравнений так разрослись, что стали самостоятельными науками. Можно сказать, что большая часть путей, связывающих абстрактные математические теории и естественнонаучные приложения, проходит через дифференциальные уравнения. Все это обеспечивает теории дифференциальных уравнений почетное место в современной науке.

Понятие дифференциала в дифференциальных уравнениях

    Дифференциальные уравнения первого порядка

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка - это класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка
        Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка
Простейше дифференциальное уравнение первого порядка вида
Простейше дифференциальное уравнение первого порядка вида

Запишем несколько примеров таких ДУ 

Несколько примеров простейших дифференциальных уравнений первого порядка вида
Несколько примеров простейших дифференциальных уравнений первого порядка вида

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения

можно разрешить относительно производной, произведя деление обеих частей равенства на f(x). В этом случае приходим к уравнению

Делим обе части уравнения на f(x)
Делим обе части уравнения на f(x)

которое будет эквивалентно исходному при f(x) не равном 0. Примерами таких ОДУ являются 

Примеры ОДУ
Примеры ОДУ

Если существуют значения аргумента x, при которых функции f(x) и g(x)одновременно обращаются в ноль, то появляются дополнительные решения. Дополнительными решениями уравнения

Простейшее дифференциальное уравнение
Простейшее дифференциальное уравнение

при данных x являются любые функции, определенные для этих значений аргумента. В качестве примеров таких дифференциальных уравнений можно привести 

Пример простейших ДУ первого порядка
Пример простейших ДУ первого порядка
Линейные ДУ первого порядка
        Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными
Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными

Дифференциальные уравнения

Вид уравнения с разделенными переменными
Вид уравнения с разделенными переменными

называют уравнениями с разделенными переменными.

Название этого вида дифференциальных уравнений достаточно показательно: выражения, содержащие переменные x и y, разделены знаком равенства, то есть, находятся по разные стороны от него.

Общее решение дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно найти, проинтегрировав обе части равенства:

Интегрируем обе части неравенства
Интегрируем обе части неравенства

В качестве примеров ОДУ с разделенными переменными приведем

Пример ОДУ с разделенными переменными
Пример ОДУ с разделенными переменными

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными приводятся к ОДУ с разделенными переменными делением обеих частей уравнения на произведение f2(y) ⋅ g1(x). То есть, получим

Эквивалентное преобразование приводящее к ОДУ с разделенными переменными
Эквивалентное преобразование приводящее к ОДУ с разделенными переменными

Такое преобразование будет эквивалентным, если одновременно

Условие для эквивалентного преобразования приводящее к ОДУ с разделенными переменными
Условие для эквивалентного преобразования приводящее к ОДУ с разделенными переменными

Иначе могут потеряться некоторые решения.

Примерами ОДУ с разделяющимися переменными являются

Пример ОДУ с разделяющимися переменными
Пример ОДУ с разделяющимися переменными

Некоторые дифференциальные уравнения можно свести к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замены переменных.

Дифференциальные уравнения

ДУ, которое легко приводится к форме ОДУ с раделяющимися переменными
ДУ, которое легко приводится к форме ОДУ с раделяющимися переменными

приводятся к ОДУ с разделяющимися переменными подстановкой z = ax+by. К примеру, уравнение

ДУ, взятое для примера
ДУ, взятое для примера

с помощью подстановки z = 2x+3y приобретает вид

Преобразование ДУ, взятого в качестве примера
Преобразование ДУ, взятого в качестве примера

ОДУ

ОДУ, в которых функция двух переменных представлена в виде частного
ОДУ, в которых функция двух переменных представлена в виде частного

преобразуются к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замен

Преобразующие замены для заданных ОДУ
Преобразующие замены для заданных ОДУ

Например, дифференциальное уравнение

Линейное ДУ с использованием частного
Линейное ДУ с использованием частного

после замены принимает вид

Вид, который приобретает ДУ с использованием  частного
Вид, который приобретает ДУ с использованием частного

Некоторые дифференциальные уравнения следует немного преобразовать, чтобы можно провести замену. К примеру, достаточно разделить на x2 или y2 числитель и знаменатель правой части дифференциального уравнения

Данное ДУ следует преобразовать
Данное ДУ следует преобразовать

чтобы оно соответствовало случаям

Одна из форм преобразование ДУ
Одна из форм преобразование ДУ

или соответственно.

Дифференциальные уравнения

ДиффУр двух переменных с использованием  нескольких  чисел
ДиффУр двух переменных с использованием нескольких чисел

преобразуются к только что рассмотренным ОДУ

Один из видов преобразования ОДУ
Один из видов преобразования ОДУ

если ввести новые переменные

Условия для преобразования ОДУ
Условия для преобразования ОДУ

Например, дифференциальное уравнение

ДУ для примера
ДУ для примера

после введения новых переменных

Новые переменные для введения
Новые переменные для введения

преобразуется к виду

Преобразуем ДУ введением новых переменных
Преобразуем ДУ введением новых переменных

Проводим деление на u числителя и знаменателя правой части полученного уравнения и принимаем

Значение переменной z
Значение переменной z

В результате приходим к уравнению с разделяющимися переменными

Полученное уравнение с разделяющимися переменными
Полученное уравнение с разделяющимися переменными
ДУ с разделяющимися переменными
        Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Форма линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка
Форма линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка

В качестве примеров линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка можно привести

Примеры ЛНДУ
Примеры ЛНДУ

Для решения ЛНДУ используют метод вариации произвольной постоянной. Также существует метод, основанный на представлении искомой функции y в виде произведения: y(x) = u(x)v(x).

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
        Дифференциальное уравнение Бернулли
Дифференциальное уравнение Бернулли
Дифференциальное уравнение Бернулли
Метод Иоганна Бернулли решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Примерами дифференциальных уравнений Бернулли являются, например,

Примеры дифференциальных уравнений Бернулли
Примеры дифференциальных уравнений Бернулли

Дифференциальное уравнение Бернулли сводится к линейному дифференциальному уравнению первого порядка подстановкой

Подстановка для дифференциальных уравнений Бернулли
Подстановка для дифференциальных уравнений Бернулли
Советский учебный фильм об уравнении Бернулли

Можно также пользоваться методом, основанным на представлении функции y как y(x) = u(x)v(x).

Пример решения уравнения Бернулли
        Уравнения в полных дифференциалах
Форма уравнения в полных дифференциалах
Форма уравнения в полных дифференциалах
Уравнения в полных дифференциалах

Если для любых значений x и y выполняется

Условия для уравнения в полных дифференциалах
Условия для уравнения в полных дифференциалах

то этого условия необходимо и достаточно, чтобы выражение P(x, y)dx+Q(x, y)dyпредставляло собой полный дифференциал некоторой функции U(x, y) = 0, то есть, dU(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy. Таким образом, задача сводится к восстановлению функции U(x, y) = 0 по ее полному дифференциалу.

Решение уравнений в полных дифференциалах

К примеру, левая часть дифференциального уравнения

ДУ в полных жифференциалах
ДУ в полных жифференциалах

представляет собой полный дифференциал функции

Полный дифференциал функции равен нулю
Полный дифференциал функции равен нулю
ДУ в полных дифференциалах

    Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальные уравнения второго порядка бывают следующих видов: ЛОДУ и ЛНДУ с постоянными коэффициентами и ЛОДУ и ЛНДУ с переменными коэффициентами. 

Решение дифференциальных уравнений второго порядка
Решение дифференциальных уравнений второго порядка
        Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

ЛОДУ с постоянными коэффициентами является очень распространенным видом дифференциальных уравнений. Их решение не представляет особой сложности. Сначала отыскиваются корни характеристического уравнения

Характеристическое уравнения
Характеристическое уравнения

При различных p и q возможны три случая: корни характеристического уравнения могут быть действительными и различающимися

Различающиеся корни дифференциального уравнения
Различающиеся корни дифференциального уравнения

действительными и совпадающими

Совпадающие корни дифференциального уравнения
Совпадающие корни дифференциального уравнения

или комплексно сопряженными

Комплексно сопряженные корни дифференциального уравнения
Комплексно сопряженные корни дифференциального уравнения

В зависимости от значений корней характеристического уравнения, записывается общее решение дифференциального уравнения как

Решение ДУ для различающихся корней
Решение ДУ для различающихся корней

или

Решение ДУ для совпадающих корней
Решение ДУ для совпадающих корней

или

Решение ДУ для комплексно сопряженных корней
Решение ДУ для комплексно сопряженных корней

соответственно.

Для примера рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

ЛОДУ с постоянными коэффициентами
ЛОДУ с постоянными коэффициентами

Корнями его характеристического уравнения

Характеристическое уравнение ЛОДУ с постоянными коэффициентами
Характеристическое уравнение ЛОДУ с постоянными коэффициентами

являются k 1 = -3 и k 2 = 0. Корни действительные и различные, следовательно, общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами имеет вид

Общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами
Общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами
О линейных дифферециальных уравнениях с постоянными коэффициентами, квазимногочленах и их свойствах
        Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Общее решение ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y ищется в виде суммы общего решения соответствующего ЛОДУ

Общее решение ЛОДУ
Общее решение ЛОДУ

и частного решения

Частное решение ЛНДУ
Частное решение ЛНДУ

исходного неоднородного уравнения, то есть,

Исходное неоднородное уравнение
Исходное неоднородное уравнение

Частное решение определяется либо методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x), стоящей в правой части исходного уравнения, либо методом вариации произвольных постоянных.

В качестве примеров ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами приведем

Примеры ЛНДУ второго порядка
Примеры ЛНДУ второго порядка
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
        Линейные однородные и неоднородные уравнения второго порядка
Форма линейного однородного дтифференциального уравнения второго порядка
Форма линейного однородного дтифференциального уравнения второго порядка
Форма линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка
Форма линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка

Частным случаем дифференциальных уравнений этого вида являются ЛОДУ и ЛНДУ с постоянными коэффициентами.

Общее решение ЛОДУ

Заданное ЛОДУ
Заданное ЛОДУ

на некотором отрезке

Некоторый отрезок
Некоторый отрезок

представляется линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y 1 и y 2 этого уравнения, то есть

Общее решение ЛОДУравнений с постоянными коэффициентами
Общее решение ЛОДУравнений с постоянными коэффициентами

Главная сложность заключается именно в нахождении линейно независимых частных решений дифференциального уравнения этого типа. Обычно, частные решения выбираются из следующих систем линейно независимых функций:

Системы линейно независимых функций
Системы линейно независимых функций

Однако, далеко не всегда частные решения представляются в таком виде.

Примером ЛОДУ является

Пример ЛОДУ
Пример ЛОДУ

Общее решение ЛНДУ

ЛНДУ
ЛНДУ

ищется в виде

Вид для поиска решений ЛНДУ
Вид для поиска решений ЛНДУ

где

Общее решение соответствующего ЛОДУ
Общее решение соответствующего ЛОДУ

- общее решение соответствующего ЛОДУ, а

Частное решение исходного ДУ
Частное решение исходного ДУ

- частное решение исходного дифференциального уравнения. 

В качестве примера ЛНДУ можно привести

Пример ЛНДУ
Пример ЛНДУ
Лекция по ДУ второго порядка с переменными коэффициентами

    Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка
        Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Порядок дифференциального уравнения

ДУ не содержит искомой функции
ДУ не содержит искомой функции

которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1 порядка, может быть понижен до n-k заменой

Замена для ДУ, допускающего понижение порядка
Замена для ДУ, допускающего понижение порядка

В этом случае

Остальные переменные при данной замене
Остальные переменные при данной замене

и исходное дифференциальное уравнение сведется к

Производим замену переменных
Производим замену переменных

После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене и определить неизвестную функцию y.

Например, дифференциальное уравнение

ДУ для примера с понижением порядка
ДУ для примера с понижением порядка

после замены станет уравнением с разделяющимися переменными

После замены получаем ДУ с разделяющимися переменными
После замены получаем ДУ с разделяющимися переменными

и его порядок с третьего понизится до первого.

Если дифференциальное уравнение не содержит аргумента x, то есть, имеет вид

ДУ с понижением порядка без аргумента х
ДУ с понижением порядка без аргумента х

то его порядок может быть снижен на единицу заменой

Замена для ДУ, допускающего понижение порядка без аргумента х
Замена для ДУ, допускающего понижение порядка без аргумента х

где p(y(x)) будет сложной функцией.

К примеру, дифференциальное уравнение

Пример ДУ с понижением порядка
Пример ДУ с понижением порядка

заменой

Замена для примера ДУ с понижением порядка
Замена для примера ДУ с понижением порядка

приводится к уравнению с разделяющимися переменными

Полученное ДУ из примера с понижением порядка
Полученное ДУ из примера с понижением порядка
Видеоурок о ДУ с понижением порядка часть 1
Видеоурок о ДУ с понижением порядка часть 2
        Линейные однородные и неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами
Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами
Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами

Чтобы определить общее решение таких видов дифференциальных уравнений, во-первых, требуется найти корни характеристического уравнения

Характеристическое уравнение для ЛОДУ и ЛНДК с постоянными коэффициентами
Характеристическое уравнение для ЛОДУ и ЛНДК с постоянными коэффициентами

Далее, отталкиваясь от значений корней характеристического уравнения, общее решение ЛОДУ записывается в стандартной форме, а общее решение неоднородного уравнения представляется суммой

Общее решение неоднородного уравнения
Общее решение неоднородного уравнения

- частное решение неоднородного дифференциального уравнения. Частное решение можно определить методом вариации произвольных постоянных.

В качестве примера ЛНДУ с постоянными коэффициентами приведем

Пример ЛНДУ с постоянными коэффициентами
Пример ЛНДУ с постоянными коэффициентами
Лекция о дифференциальных уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами
        Линейные однородные и неоднородные уравнения высших порядков
Линейное однородное дифференциальное уравнение высшего порядка
Линейное однородное дифференциальное уравнение высшего порядка
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение высшего порядка
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение высшего порядка

Общее решение ЛНДУ высших порядков ищется в виде

Вид общего решения
Вид общего решения

общее решение соответствующего ЛОДУ, а - частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

у0 представляет собой линейную комбинацию линейно независимых функций

Линейная комбинация линейно независимых функций
Линейная комбинация линейно независимых функций

каждая из которых является частным решением ЛОДУ, то есть, обращает равенство

Тождественное равенство
Тождественное равенство

в тождество. Частные решения

Частные решения ЛНДУ
Частные решения ЛНДУ

обычно подбираются из известных систем линейно независимых функций. Подобрать их далеко не всегда просто и возможно, в этом и заключается основная проблема.

Когда общее решение линейного однородного дифференциального уравнения найдено, частное решение соответствующего неоднородного уравнения можно определить методом вариации произвольных постоянных.

Метод вариации произвольных постоянных
Метод вариации произвольных постоянных
Линейные ДУ высших порядков

    Системы дифференциальных уравнений

Разберем решение простейших систем дифференциальных уравнений вида

Простейшая система ДУ
Простейшая система ДУ

некоторые действительные числа. Сначала покажем метод интегрирования системы уравнений, далее подробно опишем решение примера.

Решением такой системы является пара функций x(t) и y(t), обращающая в тождества оба уравнения системы.

Системы линейных дифференциальных уравнений

Опишем метод интегрирования систем дифференциальных уравнений.

Исключим неизвестную функцию x(t) из первого уравнения системы. Для этого выразим x из второго уравнения системы

Выражение х из второго уравнения системы
Выражение х из второго уравнения системы

продифференцируем по t второе уравнение системы и разрешим его относительно:

Уравнение системы продифференицрованное по t
Уравнение системы продифференицрованное по t

Подставляем полученные результаты в первое уравнение системы, тем самым неизвестная функция x(t) будет исключена:

Исключение из первого уравнения системы x(t)
Исключение из первого уравнения системы x(t)

Так мы пришли к линейному неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами. Находим его решение y(t). Подставив это решение во второе уравнение системы, находим x(t). На этом решение системы дифференциальных уравнений закончено.

Практикум по системам дифференциальных уравнений

    Важнейшие дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения – это важный математический аппарат в естествознании. Они применяются в физике и астрономии, аэродинамике и теории упругости, химии и экономике, биологии и медицине.

Существует несколько выделенных дифференциальных уравнений, о которых следует рассказать обособленно.

Основные понятия по дифференциальным уравнениям
        Уравнения в полных дифференциалах

Если в уравнении

ДУ первого порядка, записанное в симметричной форме
ДУ первого порядка, записанное в симметричной форме

левая часть представляет собой полный дифференциал, то есть

Левая часть ДУ представлена в виде полного дифференциала
Левая часть ДУ представлена в виде полного дифференциала

то такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах (частный случай так называемого пфаффова уравнения).

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Интегральные кривые определяются уравнением

Интегральные кривые уравнения в полных дифференциалах
Интегральные кривые уравнения в полных дифференциалах

при всевозможных значениях произвольной постоянной С.

Если в области

Область для выполнения условия
Область для выполнения условия

выполнено условие

Условие для первого общего решения уравнения
Условие для первого общего решения уравнения

то общее решение уравнения определяется из уравнения

Уравнение для определения общего решения в ДУ в полных дифференциалах
Уравнение для определения общего решения в ДУ в полных дифференциалах

как неявная функция

Общее решение в виде неявной функции
Общее решение в виде неявной функции

Через каждую точку области проходит единственная интегральная кривая уравнения

Интегральная кривая, проходящая через каждую точку области
Интегральная кривая, проходящая через каждую точку области

Если рассматриваемая область односвязна, а производные

Производные для рассматриваемой области
Производные для рассматриваемой области

также непрерывны в заданной области, то для того, чтобы заданной уравнение было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнения условия

Признак уравнения в полных дифференциалах
Признак уравнения в полных дифференциалах
Видеоурок по уравнениям в полных дифференциалах
Примеры решений уравнений в полных дифференциалах
        Второй закон Ньютона (классическая механика)

Второй закон Ньютона - это дифференциальный закон механического движения, описывающий зависимость ускорения тела от равнодействующей всех приложенных к телу сил и массы тела. Один из трёх законов Ньютона.

Объектом, о котором идёт речь во втором законе Ньютона, является материальная точка, обладающая неотъемлемым свойством - инертностью, величина которой характеризуется массой. В классической (ньютоновской) механике масса материальной точки полагается постоянной во времени и не зависящей от каких-либо особенностей её движения и взаимодействия с другими телами.

Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона в его наиболее распространённой формулировке утверждает: в инерциальных системах ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению иобратно пропорционально массе материальной точки.

В приведённой формулировке второй закон Ньютона справедлив только для скоростей, много меньших скорости света, и винерциальных системах отсчёта.

Второй закон Ньютона
Второй закон Ньютона

Формулировка второго закона Ньютона с использованием понятия импульса:

В инерциальных системах отсчёта производная импульса материальной точки по времени равна действующей на неё силе:г

Производная импульса материальной точки по времени равна действующей на нее силе
Производная импульса материальной точки по времени равна действующей на нее силе

Рассмотрим составляющие данной формулы.

Количество движения точки
Количество движения точки

- импульс (количество движения) точки, а t - время.

При такой формулировке, как и ранее, полагают, что масса материальной точки неизменна во времени.

Иногда в рамках классической механики предпринимались попытки распространить сферу применения уравнения

Уравнение второго закона Ньютона
Уравнение второго закона Ньютона

и на случай тел переменной массы. Однако, вместе с таким расширительным толкованием уравнения приходилось существенным образом модифицировать принятые ранее определения и изменять смысл таких фундаментальных понятий, как материальная точка, импульс и сила.

Уравнения, соответствующие данному закону, называются уравнениями движения материальной точки.

Второй закон Ньютона при движении в поле сил тяжести
        Закон радиоактивного распада

Закон радиоактивного распада - это физический закон, описывающий зависимость интенсивности радиоактивного распада от времени и количества радиоактивных атомов в образце. Открыт Фредериком Содди и Эрнестом Резерфордом, каждый из которых впоследствии был награжден Нобелевской премией. Они обнаружили егоэкспериментальным путём и опубликовали в 1903 году в работах «Сравнительное изучение радиоактивности радия и тория» и «Радиоактивное превращение», сформулировав следующим образом:

Во всех случаях, когда отделяли один из радиоактивных продуктов и исследовали его активность независимо от радиоактивности вещества, из которого он образовался, было обнаружено, что активность при всех исследованиях уменьшается со временем по закону геометрической прогрессии.

Закон радиактивного распада

Из чего с помощью теоремы Бернулли учёные сделали вывод:

Скорость превращения всё время пропорциональна количеству систем, еще не подвергнувшихся превращению.

Существует несколько формулировок закона, например, в виде дифференциального уравнения:

Закон радиактивного распада
Закон радиактивного распада

которое означает, что число распадов −dN, произошедшее за короткий интервал времени dt, пропорционально числуатомов N в образце.

Радиактивные превращения
        Уравнение Ван дер Поля (теория колебаний)

Осциллятор Ван дер Поля - это осциллятор с нелинейным затуханием, подчиняющийся уравнению

Уравнение, которому подчиняется осциллятор с нелинейным затуханием
Уравнение, которому подчиняется осциллятор с нелинейным затуханием

где - x координата точки, зависящая от времени t; 

Коэффициент мю
Коэффициент мю

- некий коэффициент, характеризующий нелинейность и силу затухания колебаний.

Изменение формы предельного цикла при изменении коэффициента трения
Изменение формы предельного цикла при изменении коэффициента трения

С помощью теоремы Льенара можно доказать, что система имеет предельный цикл. Из данной теоремы следует, что

Вывод из теоремы Льенара
Вывод из теоремы Льенара

Отсюда можно вывести уравнения осциллятора Ван дер Поля для двумерного случая:

Уравнения осцилляторв Ван дер Поля для двумерного случая
Уравнения осцилляторв Ван дер Поля для двумерного случая

.Можно также совершить другую замену и получить

Осциллятор Ван дер Поля при другой замене
Осциллятор Ван дер Поля при другой замене

У осциллятора Ван дер Поля существуют два интересных режима:

Два режима осциллятора Ван дер Поля
Два режима осциллятора Ван дер Поля

Когда коэффициент трения равен нулю, то есть осциллятор рассчитывается без затухания, то указанные выше уравнения преобразуются к виду

Уравнение Ван дер Поля при нулевом коэффициенте трения
Уравнение Ван дер Поля при нулевом коэффициенте трения

Это уравнение гармонического осциллятора.

Фазовый портрет осциллятора
Фазовый портрет осциллятора

При положительном коэффициента трения система имеет некие предельные циклы. Чем дальше коэффициент трения от нуля, тем колебания осциллятора менее похожи на гармонические.

Хаотичное поведение осциллятора при воздействии внешней гармонической вынуждающей силы. Вынужденные колебания осциллятора Ван дер Поля как с потерями энергии, так и без оных рассчитываются по формуле

Уравнение вынужденных колебаний Ван дер Поля
Уравнение вынужденных колебаний Ван дер Поля

где А - амплитуда внешнего гармонического сигнала, а омега - его угловая частота.

        Уравнение Эйлера - Лагранжа (классическая лагранжева механика)

Уравнения Эйлера - Лагранжа (в физике также уравнения Лагранжа - Эйлера или уравнения Лагранжа) являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся стационарные точки и экстремумы функционалов. В частности, эти уравнения широко используются в задачах оптимизации, и, совместно с принципом стационарности действия, используются для вычисления траекторий в механике. В теоретической физике вообще это (классические) уравнения движения в контексте получения их из написанного явно выражения для действия (лагранжиана).

Лагранжиан похож на КЭД
Лагранжиан похож на КЭД

Использование уравнений Эйлера - Лагранжа для нахождения экстремума функционала в некотором смысле аналогично использованию теоремы дифференциального исчисления, утверждающей, что лишь в точке, где первая производная функции обращается в нуль, гладкая функция может иметь экстремум (в случае векторного аргумента приравнивается нулю градиент функции, то есть производная по векторному аргументу). Точнее говоря, это прямое обобщение соответствующей формулы на случай функционалов — функций бесконечномерного аргумента.

Решение уравнений Эйлера-Лагранжа

Уравнения были получены Леонардом Эйлером и Жозефом-Луи Лагранжем в 1750-х годах.

Леонард Эйлер, занимавшийся изучением экстремумов функционала
Леонард Эйлер, занимавшийся изучением экстремумов функционала

Пусть задан функционал

Заданный функционал
Заданный функционал

с подынтегральной функцией

Подынтегральная функция, обладающая непрерывнфми первыми частными производными
Подынтегральная функция, обладающая непрерывнфми первыми частными производными

обладающей непрерывными первыми частными производными и называемой функцией Лагранжа или лагранжианом, где обозначена первая производная f по x. Если этот функционал достигает экстремума на некоторой функции , то для неё должно выполняться обыкновенное дифференциальное уравнение

Уравнение Эйлера-Лагранжа
Уравнение Эйлера-Лагранжа

которое называется уравнением Эйлера - Лагранжа.

Дифференциальное уравнение Эйлера
        Уравнения Гамильтона (классическая гамильтонова механика)

Уравнения Гамильтона (также называемые каноническими уравнениями) в физике и математике - это система дифференциальных уравнений:

Уравнения Гамильтона
Уравнения Гамильтона

где точкой над p и q обозначена производная по времени. Система состоит из 2N дифференциальных уравнений первого порядка (j = 1, 2, …, N) для динамической системы, описываемой N (обобщёнными) координатами, являющихся уравнениями движения (одной из форм таких уравнений, наравне с уравнениями Лагранжа, являющейся обобщением ньютоновских уравнений движения) системы, где  

Гамильтониан или функция Гамильтона
Гамильтониан или функция Гамильтона

- так называемая функция Гамильтона, также иногда именуемая гамильтонианом, t - время,  q - (обобщенные) координаты, и р - обобщенные импульсы, определяющие состояние системы (точку фазового пространства).

Уравнения Гамильтона широко используются в гамильтоновой механике и других областях теоретической физики и математики.

Доклад об уравнениях Гамильтона
        Волновое уравнение

 Волновое уравнение в математике - это линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика, преимущественно линейная: звук в газах, жидкостях и твёрдых телах) и электромагнетизме (электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн. Является одним из основных уравнений математической физики.

Волновое уравнение

В многомерном случае однородное волновое уравнение записывается в виде

Однородное волновое уравнение в многомерном случае
Однородное волновое уравнение в многомерном случае

где

Оператор Лапласа
Оператор Лапласа

- оператор Лапласа,  

Неизвестная функция
Неизвестная функция

- неизвестная функция,

Время
Время

- время,  

Пространственная переменная
Пространственная переменная

- пространственная переменная,  

Фазовая скорость
Фазовая скорость

- фазовая скорость.

В одномерном случае уравнение называется также уравнением колебания струны или уравнением продольных колебаний стержня и записывается в виде

Уравнение продольных колебаний стержня
Уравнение продольных колебаний стержня
Репортаж про волновое уравнение
        Уравнения Максвелла (электромагнетизм)

 Уравнения Максвелла - это система уравнений в дифференциальной или интегральной форме, описывающих электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и сплошных средах. Вместе с выражением для силы Лоренца, задающим меру воздействия электромагнитного поля на заряженные частицы, образуют полную систему уравнений классической электродинамики, называемую иногда уравнениями Максвелла - Лоренца.

Дифференциальные и интегральные формы уравнения Максвелла

Уравнения, сформулированные Джеймсом Клерком Максвеллом на основе накопленных к середине XIX века экспериментальных результатов, сыграли ключевую роль в развитии представлений теоретической физики и оказали сильное, зачастую решающее, влияние не только на все области физики, непосредственно связанные с электромагнетизмом, но и на многие возникшие впоследствии фундаментальные теории, предмет которых не сводился к электромагнетизму (одним из ярчайших примеров здесь может служить специальная теория относительности).

Физик Джеймс Клерк Максвелл, занимавшийся изучение электромагнетизма
Физик Джеймс Клерк Максвелл, занимавшийся изучение электромагнетизма

Уравнения Максвелла представляют собой в векторной записи систему из четырёх уравнений, сводящуюся в компонентном представлении к восьми (два векторных уравнения содержат по три компоненты каждое плюс два скалярных) линейным дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка для 12 компонент четырёх векторных функций:

Четыре векторные функции, которые представляют собой систему уравнений Максвелла
Четыре векторные функции, которые представляют собой систему уравнений Максвелла
Расшифровка четырех векторных функций, которые представляют собой систему уравнений Максвелла
Расшифровка четырех векторных функций, которые представляют собой систему уравнений Максвелла

Введённые обозначения:

Плотность стороннего электрического заряда
Плотность стороннего электрического заряда

- плотность стороннего электрического заряда (в единицах СИ — Кл/м³);

Плотность электрического тока
Плотность электрического тока

- плотность электрического тока (плотность тока проводимости) (в единицах СИ — А/м²); в простейшем случае - случае тока, порождаемого одним типом носителей заряда, она выражается просто как

Выражение плотности элктрического тока
Выражение плотности элктрического тока

где u - (средняя) скорость движения этих носителей в окрестности данной точки,  p - плотность заряда этого типа носителей; в общем случае это выражение надо усреднить по разным типам носителей;  

Скорость света в вакууме
Скорость света в вакууме

- скорость света в вакууме (299 792 458 м/с);  

Напряженность электрического поля
Напряженность электрического поля

- напряжённость электрического поля (в единицах СИ — В/м);  

Напряженность магнитного поля
Напряженность магнитного поля

- напряжённость магнитного поля (в единицах СИ — А/м);  

Электрическая индукция
Электрическая индукция

- электрическая индукция (в единицах СИ — Кл/м²);  

Магнитная индукция
Магнитная индукция

- магнитная индукция (в единицах СИ — Тл = Вб/м² = кг•с−2•А−1);  

Дифференциальный оператор набла
Дифференциальный оператор набла

- дифференциальный оператор набла, при этом:

Ротор вектора
Ротор вектора

означает ротор вектора,

Дивергенция вектора
Дивергенция вектора

означает дивергенцию вектора.

Уравнения Максвелла

Приведённые выше уравнения Максвелла не составляют ещё полной системы уравнений электромагнитного поля, поскольку они не содержат свойств среды, в которой возбуждено электромагнитное поле. Соотношения, связывающие величины E, B, D, H и j, и учитывающие индивидуальные свойства среды, называются материальными уравнениями.

Байки об уравнениях Максвелла
        Уравнение Лапласа

Уравнение Лапласа - это дифференциальное уравнение в частных производных. В трёхмерном пространстве уравнение Лапласа записывается так:

Уравнение Лапласса в трехмерном пространстве
Уравнение Лапласса в трехмерном пространстве

и является частным случаем уравнения Гельмгольца.

Уравнение рассматривают также в двумерном и одномерном пространстве. В двумерном пространстве уравнение Лапласа записывается:

Уравнение Лапласса в двумерном пространстве
Уравнение Лапласса в двумерном пространстве

Также и в n-мерном пространстве. В этом случае нулю приравнивается сумма n вторых производных.

С помощью дифференциального оператора

Оператор Лапласса
Оператор Лапласса

- (оператора Лапласа) - это уравнение записывается (для любой размерности) одинаково как

Уравнение Лапласса с помощью дифференциального оператора
Уравнение Лапласса с помощью дифференциального оператора

В этом случае размерность пространства указывается явно (или подразумевается).

Уравнение Лапласа относится к эллиптическому виду. Функции, являющиеся решениями уравнения Лапласа, называются гармоническими функциями. Неоднородное уравнение Лапласа называется уравнением Пуассона.

Применение преобразований Лапласса к решению ДУ

Замечание: всё сказанное выше относится к декартовым координатам в плоском пространстве (какова бы ни была его размерность). При использовании других координат представление оператора Лапласа меняется, и, соответственно, меняется запись уравнения Лапласа. Эти уравнения также называются уравнением Лапласа, однако для устранения неоднозначности терминологии при этом обычно явно добавляется указание системы координат (и, при желании полной ясности, размерности), например: "двумерное уравнение Лапласа в полярных координатах".

Метод Лапласса для решения дифференциальных уравнений
        Уравнение Пуассона

 Уравнение Пуассона - это эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое описывает электростатическое поле, стационарное поле температуры, поле давления, поле потенциала скорости в гидродинамике. Оно названо в честь знаменитого французского физика и математика Симеона Дени Пуассона.

Метематик и физик Симеон Дени Пуассон, занимавшийся преобразованием ДУ
Метематик и физик Симеон Дени Пуассон, занимавшийся преобразованием ДУ
Задача для уравнений Лапласса и Пуассона

Это уравнение имеет вид:

Уравнение Пуассона
Уравнение Пуассона

где f - это вещественная или комплексная функция на некотором многообразии.

Использование уравнения Пуассона

В трёхмерной декартовой системе координат уравнение принимает форму:

Уравнение Пуассона в трехмерной системе координат
Уравнение Пуассона в трехмерной системе координат

В декартовой системе координат уравнение Пуассона принимает вид:

Уравнение Пуассона в декартовой системе координат
Уравнение Пуассона в декартовой системе координат

Если f стремится к нулю, то уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа (уравнение Лапласа - частный случай уравнения Пуассона):

Уравнение Лапласса как частный случай уравнения Пуассона
Уравнение Лапласса как частный случай уравнения Пуассона

Уравнение Пуассона может быть решено с использованием функции Грина. Есть различные методы для получения численных решений. Например, используется итерационный алгоритм - «релаксационный метод». 

Формула Пуассона
        Уравнение Шредингера (квантовая механика)

Уравнение Шрёдингера - это линейное дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее изменение в пространстве (в общем случае, в конфигурационном пространстве) и во времени чистого состояния, задаваемого волновой функцией, в гамильтоновых квантовых системах. Играет в квантовой механике такую же важную роль, как уравнения Гамильтона или уравнение второго закона Ньютона вклассической механике или уравнения Максвелла для электромагнитных волн. Сформулировано Эрвином Шрёдингером в 1925 году, опубликовано в 1926 году. Уравнение Шрёдингера не выводится, а постулируется методом аналогии с классической оптикой, на основе обобщения экспериментальных данных.

Пример задачи на уравнение Шредингера

Уравнение Шрёдингера предназначено для частиц без спина, движущихся со скоростями много меньшими скорости света. В случае быстрых частиц и частиц со спином используются его обобщения (уравнение Клейна - Гордона, уравнение Паули, уравнение Дирака и др.)

Уравнение Шредингера
Уравнение Шредингера

В начале XX века учёные пришли к выводу, что между предсказаниями классической теории и экспериментальными данными об атомной структуре существует ряд расхождений. Открытие уравнения Шрёдингера последовало за революционным предположением де Бройля, что не только свету, но и вообще любым телам (в том числе и любым микрочастицам) присущи волновые свойства.

Лекция по уравнению Шредингера

Исторически окончательной формулировке уравнения Шрёдингера предшествовал длительный период развития физики. Оно является одним из важнейших уравнений физики, объясняющих физические явления. Квантовая теория, однако, не требует полного отказа от законов Ньютона, а лишь определяет границы применимости классической физики. Следовательно, уравнение Шрёдингера должно согласовываться с законами Ньютона в предельном случае.

Основы квантовой механики
Основы квантовой механики

Cредние значения механических величин для волнового пакета, который можно описать уравнением Шредингера, удовлетворяют классическим уравнениям Гамильтона (теорема Эренфеста).

Уравнение Шрёдингера инвариантно относительно преобразований Галилея. Из этого факта вытекает ряд важных следствий: существование ряда операторов квантовой механики, связанных с преобразованиями Галилея, невозможность описания состояний со спектром масс или нестабильные элементарные частицы в нерелятивистской квантовой механике (теорема Баргмана), существование квантовомеханических инвариантов, порождаемых преобразованием Галилея.

Изображение атома гелия
Изображение атома гелия

Уравнение Шрёдингера является более сложным по сравнению с уравнениями Гамильтона классической механики. Уравнения Гамильтона являются системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, а уравнение Шрёдингера является дифференциальным уравнением в частных производных.

Что "Кот Шредингера" может рассказать о квантовой механике?

Уравнение Шрёдингера линейно, то есть если волновые функции и удовлетворяют уравнению Шрёдингера, то ему удовлетворяет любая их линейная комбинация , где и - комплексные числа. Вследствие этого линейная суперпозиция волновых функций не нарушается уравнением Шрёдингера и необходима операция измерения для редукции волновой функции. Линейность оператора Шрёдингера является следствием и обобщением принципа суперпозиции, который важен для корректной формулировки понятия операции измерения.

Определение уравнения Шредингера
Определение уравнения Шредингера

Уравнение Шрёдингера, как и уравнения Гамильтона, является уравнением первого порядка по времени. Оно является математическим выражением принципа статистического детерминизма в квантовой механике - данное состояние системы определяет её последующее состояние не однозначно, а лишь с определённой вероятностью, задаваемой при помощи волновой функции.

Лекция по квантовой физике и уравнению Шредингера

Уравнение Шрёдингера сходно с уравнениями теплопроводности и диффузии классической физики тем, что оно является уравнением первого порядка по времени и отличается от них наличием мнимого коэффициента

Мнимый коэффициент для уравнение Шрёдингера
Мнимый коэффициент для уравнение Шрёдингера

Благодаря ему оно может иметь и периодические решения.

Для всех квантовых систем, занимающих ограниченные области пространства, решения уравнения Шрёдингера существуют только для счётного множества значений энергии и представляют собой счётное множество волновых функций, члены которого нумеруются набором квантовых чисел n.

Уравнение Шрёдингера можно получить из принципа наименьшего действия, рассматривая как уравнение Эйлера

Уравнение Эйлера некоторой вариационной задачи
Уравнение Эйлера некоторой вариационной задачи

некоторой вариационной задачи, в которой плотность лагранжиана имеет вид:

Формула плотности лагранжиана
Формула плотности лагранжиана
        Уравнение диффузии

Уравнение диффузии представляет собой частный вид дифференциального уравнения в частных производных. Бывает нестационарным и стационарным.

В смысле интерпретации при решении уравнения диффузии речь идет о нахождении зависимости концентрации вещества (или иных объектов) от пространственных координат и времени, причем задан коэффициент (в общем случае также зависящий от пространственных координат и времени), характеризующий проницаемость среды для диффузии. При решении уравнения теплопроводности речь идет о нахождении зависимости температуры среды от пространственных координат и времени, причем задана теплоемкость и теплопроводность среды (также в общем случае неоднородной).

Уравнение диффузии и другие уравнения теплопроводности

Физически в том и другом случае предполагается отсутствие или пренебрежимость макроскопических потоков вещества. Таковы физические рамки применимости этих уравнений. Также, представляя непрерывный предел указанных задач (то есть не более, чем некоторое приближение), уравнение диффузии и теплопроводности в общем не описывают статистических флуктуаций и процессов, близких по масштабу к длине и времени свободного пробега, также весьма сильно отклоняясь от предполагаемого точного решения задачи в том, что касается корреляций на расстояниях, сравнимых (и больших) с расстояниями, проходимыми звуком (или свободными от сопротивления среды частицами при их характерных скоростях) в данной среде за рассматриваемое время.

Описание простой диффузии
Описание простой диффузии

Это в подавляющей части случаев сразу же означает и то, что уравнения диффузии и теплопроводности по области применимости далеки от тех областей, где становятся существенными квантовые эффекты или конечность скорости света, то есть в подавляющей части случаев не только по своему выводу, но и принципиально, ограничиваются областью классической ньютоновской физики.

Диффузия с системе координат
Диффузия с системе координат

Ближайшим формальным, а во многом и содержательным, аналогом уравнения диффузии является уравнение Шрёдингера, отличающееся от уравнения диффузии множителем мнимая единица перед производной по времени. Многие теоремы о решении уравнения Шрёдингера и даже некоторые виды формальной записи его решений прямо аналогичны соответствующим теоремам об уравнении диффузии и его решениях, однако качественно их решения различаются очень сильно.

Уравнение обычно записывается так:

Общий вид уравнения диффузии
Общий вид уравнения диффузии

Если коэффициент диффузии зависит от плотности - уравнение нелинейно, в противном случае - линейно.

Если D симметричный положительно оператор, уравнение описывает анизотропную диффузию:

Уравнение анизотропной диффузии
Уравнение анизотропной диффузии

Если D постоянное, то уравнение сводится к линейному дифференциальному уравнению:

Уравнение диффузии приведенное к линейному дифференциальному уравнению
Уравнение диффузии приведенное к линейному дифференциальному уравнению

также называемому уравнением теплопроводности.

        Уравнение теплопроводности

 Уравнение теплопроводности - это дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, которое описывает распространение тепла в заданной области пространства во времени.

Решение уравнения теплопроводности

Для функции

Функция трех пространственных переменных
Функция трех пространственных переменных

трёх пространственных переменных x, y, z и времени t, уравнение теплопроводности имеет вид

Уравнение теплопроводности
Уравнение теплопроводности

где f(x,y,z) - функция тепловых источников.

Для произвольной системы координат:

Уравнение теплопроводности для произвольной системы координат
Уравнение теплопроводности для произвольной системы координат

где альфа - положительная константа, а

Оператор Лапласса для уравнения теплопроводности
Оператор Лапласса для уравнения теплопроводности

- оператор Лапласа. При решении физической задачи теплопроводности функция u(x,y,z,t) задает температуру, а коэффициент альфа равен коэффициенту температуропроводности.

Численное решение уравнения теплопроводности
        Уравнение Кортевега-де Фриза

Уравнение Кортевега - де Фриза (уравнение КдФ, также встречается написание де Вриза и де Фриса, англ. Korteweg–de Vries equation) - нелинейное уравнение в частных производных третьего порядка, играющее важную роль в теориинелинейных волн, в основном гидродинамического происхождения. Впервые было получено Жозефом Буссинеском в 1877 году, но подробный анализ был проведён уже Дидериком Кортевегом и Густавом де Фризом в 1895 году.

Разрушение решений уравнения Кортевега де Фриза

Уравнение имеет вид:

Уравнение Кортевега де Фриза
Уравнение Кортевега де Фриза
        Уравнения Навье-Стокса (течения вязкой жидкости)

Уравнения Навье - Стокса - это система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая движение вязкой ньютоновской жидкости. Уравнения Навье - Стокса являются одними из важнейших в гидродинамике и применяются в математическом моделировании многих природных явлений и технических задач. Названы по имени французского физика Анри Навье и британского математика Джорджа Стокса.

Уравнения Навье-Стокса

В случае несжимаемой жидкости система состоит из двух уравнений: уравнения движения, уравнения неразрывности.

В гидродинамике обычно уравнением Навье - Стокса называют только одно векторное уравнение движения. Впервые уравнение Навье — Стокса было получено Навье (1827, несжимаемая жидкость) и Пуассоном (1831, сжимаемая жидкость), которые исходили из модельных представлений о молекулярных силах. Позже феноменологический вывод уравнения был дан Сен-Венаном и Стоксом.

Учебник по уравнениям Навье-Стокса
Учебник по уравнениям Навье-Стокса

В векторном виде для несжимаемой жидкости они записываются следующим образом:

Уравнения Навье-Стокса в векторном виде для несжимаемой жидкости
Уравнения Навье-Стокса в векторном виде для несжимаемой жидкости

где  

Коэффициент кинематической вязкости
Коэффициент кинематической вязкости

- коэффициент кинематической вязкости,  

Символ плотности
Символ плотности

- плотность,  

Символ давления
Символ давления

- давление,  

Векторное поле скоростей
Векторное поле скоростей

- векторное поле скоростей,  

Векторное поле массовых сил
Векторное поле массовых сил

- векторное поле массовых сил. Обычно в систему уравнений Навье - Стокса добавляют краевые и начальные условия, например:

Краевые и начальные условия системы уравнений Навье-Стокса
Краевые и начальные условия системы уравнений Навье-Стокса

Иногда в систему уравнений Навье - Стокса дополнительно включают уравнение теплопроводности и уравнение состояния.

Гладкое решение уравнения Навье-Стокса

При учёте сжимаемости уравнения Навье - Стокса принимают следующий вид:

Уравнения Навье-Стокса в векторном виде для несжимаемой жидкости
Уравнения Навье-Стокса в векторном виде для несжимаемой жидкости
        Уравнение Эйлера (невязкие течения газовых сред)

 Уравнение Эйлера - это одно из основных уравнений гидродинамики идеальной жидкости. Названо в честь Л. Эйлера, получившего это уравнение в 1752 году (опубликовано в 1757 году). По своей сути является уравнением движения жидкости.

Дифференциальное уравнение Эйлера

Рассмотрим движение идеальной жидкости. Выделим внутри неё некоторый объём V. Согласно второму закону Ньютона, ускорение центра масс этого объёма пропорционально полной силе, действующей на него. В случае идеальной жидкости эта сила сводится к давлению окружающей объём жидкости и, возможно, воздействию внешних силовых полей. Предположим, что это поле представляет собой силы инерции или гравитации, так что эта сила пропорциональна напряжённости поля и массе элемента объёма. Тогда

Уравнение движения идеальной жидкости
Уравнение движения идеальной жидкости

где S - поверхность выделенного объёма, g - напряжённость поля. Переходя, согласно формуле Гаусса - Остроградского, от поверхностного интеграла к объёмному и учитывая, что

Дифференциал массы
Дифференциал массы

получим:

Полученный объемный интеграл
Полученный объемный интеграл

В силу произвольности объёма V подынтегральные функции должны быть равны в любой точке:

Решение подынтегральных функций в любой точке
Решение подынтегральных функций в любой точке

Выражая полную производную через конвективную производную и частную производную:

Выражает полную производную
Выражает полную производную

получаем уравнение Эйлера для движения идеальной жидкости в поле тяжести:

Уравнение Эйлера для движения идеальной жидкости в поле тяжести
Уравнение Эйлера для движения идеальной жидкости в поле тяжести
        Уравнение Линя-Рейсснера-Цяня (трансзвуковые нестационарные течения)

К классическим модельным уравнениям газовой динамики принадлежит уравнение Линя-Рейснера-Цзяня, полученное для описания нестационарных трансзвуковых течений в случае малых низкочастотных возмущений. Несмотря на длительную историю изучения различных трансзвуковых течений с помощью этого уравнения до конца остаются невыясненными несколько важных моментов. К ним относится динамика образования местных сверхзвуковых зон, структура замыкающих ударных волн, течения между перфорированными пластинами, а также сложные явления отрыва потока и бафтинга. Современное состояние численных методов и бурное развитие вычислительной техники позволяют в настоящее время рассмотреть указанные проблемные задачи на новом уровне. В данной работе описывается созданная для этого вычислительная база и с помощью ее дается решение ряда важных задач трансзвуковой газовой динамики.

Трансзвуковые течения
Трансзвуковые течения

Уравнение Линя-Рейснера-Цзяня есть частный случай уравнения Кадомцева-Петвиашвили, которое в свою очередь принадлежит к группе уравнений, представляющих собой длинноволновое приближение уравнений Навье-Стокса для обширного класса гидро- и газодинамических течений. К ним принадлежат уравнения Захарова-Кузнецова, Богоявленского, Шриры и описывают они ионно-магнитные волны в плазме, волновые возмущения в пристенных струях, приповерхностные гравитационные волны в океане.

Изучение поведения волн с одной из сред
Изучение поведения волн с одной из сред

Эта группа уравнений интенсивно исследуется в настоящее время в связи с их важностью в области механики нелинейных волновых процессов. В большей степени повышенный интерес к ним объясняется существованием у них особого рода решений в виде уединенной волны, сочетающей в себе линейные и нелинейные свойства. Они называются солитонами.

Групповой солитон, или уединенная волна
Групповой солитон, или уединенная волна
        Уравнения Лямэ (теория упругости)

Ламе уравнение (Лямэ, Ламэ) - это линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка в комплексной области

Уравнение Ламэ
Уравнение Ламэ

где

Эллиптическая функция Вейерштрасса
Эллиптическая функция Вейерштрасса

- Вейерштрасса эллиптическая функция, А и В - константы. Это уравнение было впервые изучено Г. Ламе; оно возникает при разделении переменных в уравнении Лапласа в эллиптических координатах. Уравнение называют формой Вейерштрасса для Лямэ-уравнения. Существует такая замена независимой переменной в уравнении, в результате которой получается форма Якоб и для уравнения Лямэ:

Форма Якоб для уравнения Лямэ
Форма Якоб для уравнения Лямэ

Имеются также многочисленные алгебраические формы уравнения Ляме, переход к которым осуществляется различными преобразованиями независимой переменной уравнения, например:

Одна из алгебраических форм уравнения Ляме
Одна из алгебраических форм уравнения Ляме

Для практич. приложений форма Якоби является наиболее подходящей. Особенно важен случай, когда в уравнении Ляме В=n(n+1), где n - натуральное число. В этом случае решения уравнения мероморфны во всей плоскости и их свойства довольно хорошо изучены. Среди решений уравнения при В=n(n+1) первостепенное значение имеют Ламе функции.

Задача Ламе
Задача Ламе

Применение понятия дифференциала в реальной жизни

  Методы математического анализа нашли применение во всех разделах математики. Неизмеримо расширилась область приложений математики к вопросам естествознания и техники. «Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение».

Применение дифференциала функций

    Дифференциал автомобильный и его назначение

Под автомобильным дифференциалом понимают механическое устройство, которое передает вращение с одного источника на два независимых приобретателя таким образом, что угловые скорости вращения источника и обоих потребителей могут быть разными относительно друг друга и их соотношение может быть непостоянным.

Принцип работы автомобильного дифференциала
Принцип работы автомобильного дифференциала

Также в технике встречаются суммирующие дифференциальные передачи, когда, например, два источника крутящего момента (мотора) работают на общий вал нагрузки, при этом суммирующая дифференциальная передача перераспределяет нагрузку между источниками, в зависимости от их мощности.

Внутреннее устройство автомобильного дифференциала
Внутреннее устройство автомобильного дифференциала

В моделях автомобилей и картах ведущие колёса находятся на одной общей оси. Это нормально, когда автомобиль едет по прямой. Однако в повороте внутреннее колесо проходит меньший путь, чем внешнее, поэтому такая конструкция приводит к пробуксовке внутреннего колеса, что негативно сказывается на управляемости автомобиля, особенно при движении на больших скоростях. Для того чтобы ведущие колёса вращались несинхронно, и применяется дифференциал.

Работа автомобильного дифференциала
Работа автомобильного дифференциала

Назначение дифференциала:

- передаёт крутящий момент с двигателя на ведущие колёса;

- служит дополнительной понижающей передачей;

- позволяет колёсам вращаться с разными угловыми скоростями (из-за этого дифференциал и получил своё название).

Дифференциал предназначен для передачи, изменения и распределения крутящего момента между двумя потребителями и обеспечения, при необходимости, их вращения с разными угловыми скоростями.

Устройство дифференциала
Устройство дифференциала

Дифференциал служит для распределения подводимого к нему вращающего момента между выходными валами и обеспечивает возможность их вращения с неодинаковыми угловыми скоростями.

При движении колесного ТС на повороте внутреннее колесо каждой оси проходит меньшее расстояние, чем ее наружное колесо, а колеса одной оси проходят разные пути по сравнению с колесами других осей.

Неодинаковые пути проходят колеса ТС при движении по неровностям на прямолинейных участках и на повороте, а также в случае прямолинейного движения по ровной дороге при разных радиусах качения колес, например при неодинаковом давлении воздуха в шинах и износе шин или неравномерном распределении груза на ТС.

Устройство автомобильного дифференциала
Устройство автомобильного дифференциала

Если бы все колеса вращались с одинаковой скоростью, это неизбежно приводило бы к их проскальзыванию и пробуксовыванию относительно опорной поверхности, следствием чего явились бы повышенный износ шин, увеличение нагрузок в механизмах трансмиссии, затраты мощности двигателя на работу скольжения и буксования, повышение расхода топлива, а также трудность поворота транспортной машины. Таким образом, колеса ТС должны иметь возможность вращаться с неодинаковыми угловыми скоростями относительно друг друга. У неведущих колес это обеспечивается тем, что они установлены свободно на своих осях и каждое из них вращается независимо друг от друга. У ведущих колес это обеспечивается установкой в их приводе дифференциалов.

Автомобильный дифференциал

Активный дифференциал - это дифференциал (как правило задний) с дополнительными редукторами, которые включаются по команде электроники в крутом повороте и увеличивают тягу на внешнем колесе, тем самым доворачивая автомобиль и увеличивая скорость прохождения поворота. Управляющая активным дифференциалом электроника собирает информацию с датчиков скорости автомобиля, скорости каждого из колёс, включенной передачи, угла поворота руля, разворачивающей силы, поперечных ускорений, и пр.

Классические автомобильные дифференциалы
Классические автомобильные дифференциалы

Активный дифференциал используется следующими автопроизводителями:

- Honda - Super Handling All-Wheel-Drive (SH-AWD);

Символика компании Хонда
Символика компании Хонда

- Mitsubishi Lancer Evo - Active Yaw Control system (активная система контроля разворачивающего момента);

Символика производителя Митсубиси
Символика производителя Митсубиси

- Audi - quattro V с активным спорт-дифференциалом используется на Audi S4 2008-...Ricardo Cross-Axle Torque-Vectoring system - работает на передних и задних колёсах (якобы должна использоваться на новых Audi A4 and A5). Система Vector Drive от немецкого производителя трансмиссий ZF*.

Символика производителя Ауди
Символика производителя Ауди

    Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Если функция y=f(x) является дифференцируемой в точке x0, то при изменении аргумента ее приращение в этой точке выражается формулой

Приращение функции в точке х0
Приращение функции в точке х0

где первое слагаемое представляет собой дифференциал функции, а второе слагаемое является величиной более высокого порядка малости по отношению к изменению х.

Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Дифференциал функции обозначается символом dy и связан с производной в точке x0 соотношением

Соотношение дифференциала функции с производной
Соотношение дифференциала функции с производной

Таким образом, приращение функции Δy можно записать как

Форма записи приращения функции
Форма записи приращения функции

При достаточно малых приращениях аргумента x можно пренебречь "нелинейной" добавкой. В таком случае справедливо приближенное равенство

Приращение функции в приближенном равенстве
Приращение функции в приближенном равенстве

Заметим, что абсолютная погрешность данного приближения, то есть разность

Абсолютная погрешновть данного приближения
Абсолютная погрешновть данного приближения

стремится к нулю:

Абсолютная погрешность данного приближения стремится к нулю
Абсолютная погрешность данного приближения стремится к нулю

Более того, относительная погрешность также стремится к нулю:

Относительная погрешность данного приближения стремится к нулю
Относительная погрешность данного приближения стремится к нулю

поскольку

Нелинейная добавка
Нелинейная добавка

соответствует члену второго и более высокого порядка малости по отношению к изменению x.

Таким образом, для приближенных расчетов можно использовать следующую формулу:

Формула, которую можно использовать для приближенных вычислений
Формула, которую можно использовать для приближенных вычислений
Использование дифференциала функции для приближенных вычислений

    Методика "Личностный дифференциал"

Методика личностного дифференциала (ЛД) разработана на базе современного русского языка и отражает сформировавшиеся в нашей культуре представления о структуре личности. Методика ЛД адаптирована сотрудниками психоневрологического института им. В. М. Бехтерева. Целью ее разработки являлось создание компактного и валидного инструмента изучения определенных свойств личности, ее самосознания, межличностных отношений, который мог бы быть применен в клинико-психологической и психодиагностической работе, а также в социально-психологической практике.

Психоневрологический институт им. В. М. Бехтерева
Психоневрологический институт им. В. М. Бехтерева
        Процедура отбора шкал "Личностного дифференциала"

Личностный Дифференциал сформирован путем репрезентативной выборки слов современного русского языка, описывающих черты личности, с последующим изучением внутренней факторной структуры своеобразной «модели личности», существующей в культуре и развивающейся у каждого человека в результате усвоения социального и языкового опыта. Из толкового словаря русского языка Ожегова были отобраны 120 слов, обозначающих черты личности. Из этого исходного набора отобраны черты, в наибольшей степени характеризующие полюса 3-х классических факторов семантического дифференциала: оценки, силы и активности.

Модель личности
Модель личности

Случайным образом исходный набор черт был разбит на 6 списков по 20 черт. Применялись три параллельных метода классификации черт внутри каждого из этих списков.

Оценка испытуемыми (по 100-балльной шкале) вероятности того, что человек, обладающий свойствами личности А, обладает и свойствами личности В. В результате усреднения вероятностей индивидуальных оценок получены обобщенные показатели представлений о сопряженности черт личности, составляющих так называемую имплицитную структуру личности, свойственную для всей выборки в целом.Корреляции между самооценками по чертам личности. Испытуемые заполняли 6 бланков самооценок, каждый из которых был составлен из 20 черт личности и требовал оценить их наличие у испытуемого по 5-балльной шкале.120 черт личности оценивались по 3 шкалам (7-балльным), представляющим факторы семантического дифференциала, оценки усреднялись.В ЛД отобрана 21 личностная черта. В нескольких случаях исходный список не содержал одного из членов требуемой антонимичной пары и был дополнен. Шкалы ЛД заполнялись испытуемыми с инструкцией оценить самих себя по отобранным чертам личности.

100-балльная шкала оценки
100-балльная шкала оценки
        Процедура проведения методики "Личностного дифференциала"

В предложенном бланке представлены наиболее распространенные качества человека. Положительные значения этих качеств обозначены знаком «+», а отрицательные - «-». Их степень оценивается по семибалльной шкале. Порядок работы с методикой очень прост и заключается в следующем: выбор знака того или иного качества;определение степени его проявления по баллам:3 — проявляется очень сильно и очень часто;2 — выражено достаточно заметно и часто встречается;1 — проявляется иногда и слабо;0 — трудно сказать, есть и то, и другое.На основе выбранных знаков и степени выраженности качества обведите соответствующую цифру в таблице. Помните, что положительные и отрицательные качества людей, приведенные в таблице, постоянно меняются местами. Поэтому будьте внимательны в своих оценках.

В бланке опрашиваемый отмечает свои качества
В бланке опрашиваемый отмечает свои качества

Обработка результатов производится с помощью ключа - бланка. Подсчитываются значения О (оценки), С (силы), А (активности). Их максимальные значения могут колебаться от +21 до -21. По нашей версии их количественные уровни могут иметь следующие значения:

17-21 - высокий уровень;8-16 - средний уровень;7 и менее - низкий уровень.

Ключ к методике Личностного Дифференциала
Ключ к методике Личностного Дифференциала
        Интерпретация результатов "Личностного дифференциала"

При применении ЛД для исследования самооценок значения фактора Оценки (О) свидетельствуют об уровне самоуважения. «Высокие значения» этого фактора говорят о том, что испытуемый принимает себя как личность, склонен осознавать себя носителем позитивных, социально желательных характеристик, в определенном смысле удовлетворен собой. «Низкие значения» фактора (О) указывают на критическое отношение человека к самому себе, его неудовлетворенность собственным поведением, уровнем принятия самого себя. Особо низкие значения этого фактора в самооценках свидетельствуют о возможных невротических или иных проблемах, связанных с ощущением малой ценности своей личности.

В факторе Оценки рассматриваются черты Самоуважения опрашиваемого
В факторе Оценки рассматриваются черты Самоуважения опрашиваемого

При использовании Личностного Дифференциала для измерения взаимных оценок фактор (О) интерпретируется как свидетельство уровня привлекательности, симпатии, которым обладает один человек в восприятии другого. При этом положительные (+) значения этого фактора соответствуют предпочтению, оказываемому объекту оценки, отрицательные (–) – его отвержению.

Фактор О отражает восприятие личности одного человека в глазах других
Фактор О отражает восприятие личности одного человека в глазах других

Фактор Силы (С) в самооценках свидетельствует о развитии волевых сторон личности, как они осознаются самим испытуемым. Его «высокие значения» говорят об уверенности в себе, независимости, склонности рассчитывать на собственные силы в трудных ситуациях. «Низкие значения» свидетельствуют о недостаточном самоконтроле, неспособности держаться принятой линии поведения, зависимости от внешних обстоятельств и оценок. Особо низкие оценки свидетельствуют и указывают на астенизацию и тревожность. Во взаимных оценках фактор (С) выявляет отношения доминирования – подчинения, как они воспринимаются субъектом оценки.

Фактор Силы отражает волевые стороны личности
Фактор Силы отражает волевые стороны личности

Фактор Активности (А) в самооценках интерпретируется как свидетельство экстравертированности личности. «Положительные» (+) значения указывают на высокую активность, общительность, импульсивность; «отрицательные» (–) – на интровертированность, определенную пассивность, спокойные эмоциональные реакции. Во взаимных оценках отражается восприятие людьми личностных особенностей друг друга.

ФакторАктивность показывает экстравертированность личности
ФакторАктивность показывает экстравертированность личности

При интерпретации данных, полученных с помощью ЛД, всегда следует помнить о том, что в них отражаются субъективные, эмоционально-смысловые представления человека о самом себе и других людях, его отношения, которые могут лишь частично соответствовать реальному положению дел, но часто сами по себе имеют первостепенное значение.

Эмоции человека могут отражать лишь частично его  внутреннее состояние
Эмоции человека могут отражать лишь частично его внутреннее состояние
        Использование метода "Личностного дифференциала"

ЛД может использоваться во всех тех случаях, когда необходимо получить информацию о субъективных аспектах отношений испытуемого к себе или к другим людям. В этом отношении ЛД сопоставим с двумя категориями психодиагностических методов – с личностными опросниками и социометрическими шкалами. От личностных опросников он отличается краткостью и прямотой, направленностью на данные самосознания. Некоторые традиционные, получаемые с помощью опросников характеристики личности, могут быть получены и с помощью ЛД. Уровень самоуважения, доминантности - тревожности и экстраверсии - интроверсии является достаточно важным показателем в таких клинических задачах, как диагностика неврозов, пограничных состояний, дифференциальная диагностика, исследование динамики состояния в процессе реабилитации, контроль эффективности психотерапии и т. д. Краткость метода позволяет использовать его не только самостоятельно, но и в комплексе с иными диагностическими процедурами.

Пример личностного опросника
Пример личностного опросника

От социометрических методов ЛД отличается многомерностью характеристик отношений и большей их обобщенностью. Как метод получения взаимных оценок ЛД можно рекомендовать к применению в двух областях: в групповой и семейной психотерапии.

В групповой психотерапии ЛД может быть использован для исследования таких сторон личности и группового процесса в целом, как повышение уровня принятия членами группы друг друга, сближение реальных и ожидаемых оценок, уменьшение зависимости от психотерапевта и т. д.

Методика Личностного Дифференциала широко распространена в групповой психотерапии
Методика Личностного Дифференциала широко распространена в групповой психотерапии

В семейной психотерапии может оказаться полезной та возможность сопоставления разных точек зрения на членов семьи (например, ребенка), между собой, которую представляет ЛД, а также возможность дифференцированной оценки эмоциональной привлекательности, статуса доминирования-подчинения и уровня активности членов семьи (например, супругов). Полезным может оказаться варьирование предметов оценки (например, «каким должен быть отец», «идеальная жена», «моя жена думает, что я...») с последующим вычислением расстояния между идеальным и реальным, ожидаемым и реальным и т. д. ЛД может помочь в определении действительной природы недовольства супружескими взаимоотношениями (недостаточная эмоциональная привлекательность, избегание ответственности и т. д.), уяснить роль ребенка в семейном конфликте.

Методика ЛД также применима в семейной психодиагностике
Методика ЛД также применима в семейной психодиагностике

    Методика "Глубинный семантический дифференциал бренда"

Семантический дифференциал - это метод измерения установок респондентов с помощью выявления смысла употребляемых понятий, слов, отражающих их эмоциональное состояние. Это способ изучения психологического восприятия людьми каких-либо объектов через символы, понятия, знаки. Он дает возможность определить различия в восприятии респондентом рассматриваемых объектов.

Различные символы могут возвать различное восприятие
Различные символы могут возвать различное восприятие

Современный потребительский рынок характеризуется как высококонцентрированный, с конкурентной борьбой, ценовыми войнами и стратегиями захвата новых ниш. Ритейл ежедневно предлагает для своих посетителей огромный перечень ассортиментных единиц продукции, тем самым размывая границы потребительских предпочтений. В условиях повышенной конкуренции одним из действенных инструментов для успешного ведения бизнеса является маркетинг.

Эмоции влияют на решение потребителя
Эмоции влияют на решение потребителя

Классические экономические учения базируются на принципах рациональности потребительских решений в силу врожденного эгоизма и поиска максимальной выгоды от совершения той или иной покупки. В действительности данные постулаты отходят на второй план, поскольку современный потребитель – это индивид с набором эмоциональных характеристик, заставляющих его делать иррациональные поступки. Он устроен таким образом, что лучше всего запоминает пережитое на эмоциональном уровне. Одно из ключевых направлений современной концепции брэндинга – работа с эмоциями и влияние на них. Эмоции – это стимулы. Эмоциональное состояние и психографические характеристики целевой аудитории есть те самые ниточки, которые требуют максимального изучения.

Эмоции человека и есть те самые ниточки, которые влияют на решение покупки
Эмоции человека и есть те самые ниточки, которые влияют на решение покупки

Основной тенденцией последних лет является достижения максимальной вовлеченности потребителей в бренд, создание иллюзии единства с продуктом. Большинство крупных компаний тратят значительные денежные средства для изучения своей целевой аудитории и разработки оптимального набора потребительских характеристик для своих продуктов.

Риск невостребованности продукции и потери лояльности со стороны потребителей, заставляет постоянно держать руку на пульсе рыночных взаимоотношений «производитель–покупатель». Большинство существующих методик маркетинговых исследований потребителей в системе маркетинга предприятий не в состоянии измерять психографические характеристики и эмоциональные акценты.

Внутренние причины риска невостребованности продукции
Внутренние причины риска невостребованности продукции

Развитие и изучение измерительных инструментов методики «Семантический дифференциал» нашло свое отражение в работах таких известных исследователей, как Нистратов А.А., Петренко В.Ф., Шмелев А.Г., Дридзе Т.М., Толстова Ю.Н., Дудченко О.Н., Похилько В.Н., Апресян Ю., Эткинд А.М., Клименко А.П. и др.

Виктор Петренко широко занимался изучением метода Семантического дифференциала
Виктор Петренко широко занимался изучением метода Семантического дифференциала

В ходе шестилетнего опыта организации и проведения маркетинговых исследований различных отраслей рынка и изучения современных тенденций развития молодых дисциплин (экономическая психология и нейромаркетинг) автором была изучена и эмпирически верифицирована социологическая методика «Семантический дифференциал», которая была предложена в 1957 году американским психологом Ч. Осгудом в работе «Измерение значения». Фундаментально, данная методика предназначалась для анализа субъективных оттенков значений слов. Но в процессе эволюции метод нашел свое широкое применение во многих гуманитарных дисциплинах.

Американский психолог Чарлз Осгуд первым предложил методику Семантического Дифференциала
Американский психолог Чарлз Осгуд первым предложил методику Семантического Дифференциала

Классическая методика строилась на принципах изучения подсознательного отношения респондента к объекту, экстраполируя набор своих индивидуальных психографических характеристик объекту исследования, с последующим построением семантического пространства и определения значимости биполярных шкал. Наибольший успех данной методики был, достигнут в клинической психологии, посредством которой удавалось оценить сознательность пациентов и устанавливать правильный диагноз.

В семантическом подходе индивид представляется как носитель субъективного опыта, обладающего индивидуальной системой смыслов.

Описание семантического подхода
Описание семантического подхода

Таким образом, в психосемантическом подходе реализуется не «объектная», а «субъектная» парадигма анализа данных, при которой исследование личности возможно без привлечения групповых данных. Такой подход позволяет представлять субъекта как пространство внутриличностных смыслов и индивидуальных значений. В соответствии с семантической парадигмой в ходе исследовательских работ анализируется индивидуальность, описанная собственным языком посредством личностной системы конструктов.

Пример личностной системы конструктов
Пример личностной системы конструктов

По аналогии с клинической психологией была рассмотрена возможность применения данной методики в маркетинговых исследованиях для изучения бессознательного отношения респондентов к исследуемым объектам. В ходе проделанной работы был разработан расширенный метод «Глубинный семантический дифференциал бренда, на основе традиционной методики Ч. Осгуда», который в отличие от классической методики строился не на выделении коннотативных признаков, а на более предметных денотативных. Расчетный алгоритм позволяет получить наглядную проективную карту ценности бренда, выявить лояльных потребителей и оценить потенциал рынка, а также максимально точно рассчитать валидность полученных данных.

Схематическое отображение ценности бренда
Схематическое отображение ценности бренда

Алгоритм методики «Глубинный семантический дифференциал бренда»:

- минимальный объем выборки – 120 человек. Но при проведении опрашивается 136 чел, с учетом 13% на выбраковку анкет. Такое количество респондентов обусловлено заданными параметрами допустимой ошибки – 5% при вероятности 80%. Это значит, что результаты 80 из 100 исследований должны попасть в доверительный интервал ± 5%. Кроме того, опытным путем установлено, что объем выборки в 120 человек имеет показатель дисперсии, не превышающий более чем на 10% дисперсию на выборке 600 респондентов.

Объем выборки и вероятность допустимой ошибки
Объем выборки и вероятность допустимой ошибки

- анкета опроса строится с помощью набора биполярных шкал, задаваемых парой прилагательных – антонимов или другими аналогическими признаками.

Принцип действия семантического дифференциала
Принцип действия семантического дифференциала

В ходе исследования респонденту необходимо выразить свое отношение к продукту с помощью 37 дихотомических пар (характеристик), отражающих определенные свойства образа бренда.

Прилагательные, используемые для тестирования образа, разбиты на группы:

- эмпатия (Чувственный – Бесчувственный);

Определение эмпатии
Определение эмпатии

- эмпатия с оценочными свойствами (Душевный – Формальный);

Эмпатия - пониманиэ эмоционального состояния другого человека
Эмпатия - пониманиэ эмоционального состояния другого человека

- описание человека с переносом на элементы образа (Гармоничный – Неуклюжий);

Треугольник человеческих состояний, берущихся за основу в описание человека
Треугольник человеческих состояний, берущихся за основу в описание человека

- прилагательные, характеризующие образ, дизайнерские (Яркий – Блеклый).

Эпитеты, характеризующие образ Бабы Яги
Эпитеты, характеризующие образ Бабы Яги

Каждая пара характеристик оценивается респондентом по десятибалльной шкале, где «5» означает нейтральную оценку «0» и «10» – полное совпадение с одним из граничных значений шкалы.

Методика «Глубинный семантический дифференциал бренда» позволяет решать следующие задачи:

- сформировать доверие к результатам проведенного исследования путем сопоставления прямых оценок респондентов (прямое ранжирование) и индексов, рассчитанных исходя из профиля каждого образца, построенного респондентами по 37 дихотомическим парам;

Уровень доверия рекламы медикаментов
Уровень доверия рекламы медикаментов

- выявить, за счет корректировки, каких свойств образа продукта можно расширить лояльную целевую аудиторию либо увеличить лояльность уже имеющейся (в зависимости от стратегии предприятия);

Образы продукты требуется изменить под вдиянием целевой аудитории
Образы продукты требуется изменить под вдиянием целевой аудитории

- после проведения расчетов и проектирования семантического пространства проводится расчет сознательных оценок респондентов к образу тестируемых образцов с помощью прямого ранжирования.

Прямое ранжирование предложенных вариантов
Прямое ранжирование предложенных вариантов

Прямое ранжирование позволяет определить лояльность респондентов к образу тестируемых образцов на основании сознательных оценок.

Образец, получивший максимальную среднюю оценку, является лидером. Но средние оценки не выражают степень лояльности потребителей, поэтому производится расчет дельт тестируемого образца от лидера. Дельты рассчитываются по оценкам каждого респондента, группируются все одинаковые значения, подсчитывается их общее количество, и определяются доли респондентов с различным уровнем лояльности.

Образец лидер отличается от остальных форм бренда на определенную дельту
Образец лидер отличается от остальных форм бренда на определенную дельту

Степень лояльности определяется с выделением следующих групп:

- нелояльные – дельты от 9 до -2;

- условно лояльные – дельты от -1 до 0;

- лояльные – от +1 до +10;

- в том числе ядро – дельты от +2 и более.

Определение степени лояльности
Определение степени лояльности

Использование методики «Глубинный семантический дифференциал бренда» в сочетании с методикой прямого ранжирования дает возможность определить валидность результатов всего исследования. Определяется количество совпадений 1-х мест по сознательным оценкам и индексам.

Валидность менее 40% говорит о неудовлетворительном качестве заполнения анкет и ставит под сомнение результаты маркетингового исследования.

Структура валидности
Структура валидности

Применение методики «Глубинный семантический дифференциал бренда» позволяет определить эмоциональное восприятие целевой аудитории бренда и разработать максимально эффективный коммуникационный посыл и стратегию развития бренда в том или ином сегменте рынка.

Главные задачи бренд-менеджмента
Главные задачи бренд-менеджмента

    Селекционный дифференциал

Селекционный дифференциал - это разность между средней продуктивностью животных, отобранных для получения молодняка, и средней продуктивностью популяции, стада или группы животных. Селекционный дифференциал (Sd) отражает степень превосходства средних показателей признака у отбираемой для дальнейшего воспроизводства группы животных над средней величиной. На его основании рассчитывается эффект селекции и теоретический прогноз продуктивности за определенный промежуток времени.

Интенсивность отбора можно определить с помощью селекционного дифференциала (S) или интенсивности отбора (i).

Формула селекционного дифференциала
Формула селекционного дифференциала

Относительную силу воздействия внешней среды и генетического влияния на признак измеряют с помощью коэффициента наследуемости (h2). Самой простой мерой интенсивности отбора по количественным признакам служит селекционный дифференциал. Он представляет собой разность между средней величиной признака в популяции отобранных особей

Средняя величина признака популяции отобранных особей
Средняя величина признака популяции отобранных особей

и соответствующей средней его величиной в исходной популяции

Средняя величина исходной популяции
Средняя величина исходной популяции

Чем интенсивнее ведется отбор, тем выше значение селекционного дифференциала. С помощью него строгость отбора по определенному признаку в различных популяциях можно сравнить только в том случае, если изучаемые популяции имеют одинаковую изменчивость определенного признака. Чтобы получить от величины изменчивости меру интенсивности отбора, надо выразить селекционный дифференциал в единицах среднего квадратного отклонения данного признака

Формула интенсивности отбора
Формула интенсивности отбора

    Электрический дифференциал

В электротехнике известен так называемый биротативный двигатель: в одном статоре расположены два одинаковых ротора, связанных между собой не механически, а только общим электромагнитным полем. Оси роторов совпадают, а ведущие валы выходят каждый в свою сторону у левого ротора – в левую, у правого – в правую.

Схема дифференциального движителя переменного тока
Схема дифференциального движителя переменного тока

Каждый ротор биротативного двигателя приводит во вращение отдельное колесо автомобиля. Электромагнитные моменты на роторах равны по величине и противоположны по направлению, сумма угловых скоростей – величина постоянная. Ну чем не дифференциал!

Электрический дифференциал может выглядеть и иначе. Достаточно соединить последовательно два обычных электродвигателя постоянного тока – получится движитель с любым направлением вращения. Таким дифференциалом можно оснастить любой игрушечный автомобиль.

Дифференциальный движитель постоянного тока в качестве привода автомобиля
Дифференциальный движитель постоянного тока в качестве привода автомобиля

Помните удивительное приключение, когда барону Мюнхгаузену пришлось вытаскивать самого себя за волосы? Оказывается, нечто подобное может происходить в дифференциальном движителе: один из роторов разгоняет другой, а последний, в свою очередь, ускоряет вращение первого. В конце концов роторы вращаются со скоростью, превосходящей скорость вращения магнитного поля.

СХематическое отображение магнитного поля
СХематическое отображение магнитного поля

Для проведения такого опыта следует взять два вентилятора и поместить их в трубу. Лопасти обоих вентиляторов должны вращаться в одну сторону. Так как относительная скорость вращения роторов сохраняется, скорость вращения первого колеса вентилятора становится выше скорости вращения магнитного поля. Мощность в системе «дифференциальный движитель – рабочие колеса вентилятора» больше мощности, забираемой из сети электродвигателем, за счет циркулирующей мощности.

Схема циркуляции мощности в двухступенчатом вентиляторе с дифференциальным движителем
Схема циркуляции мощности в двухступенчатом вентиляторе с дифференциальным движителем

Новые и удивительные свойства приобретают вентиляторы встречного вращения с дифференциальным движителем. В них, например, не нужно устанавливать спрямляющие и направлящие аппараты. Размеры машины сокращаются вдвое. Если меняется напряжение сети, то автоматически перераспределяются скорости вращения рабочих колес до равенства моментов на них. КПД вентилятора поддерживается максимально возможным для нового режима работы.

Аэродинамические характеристики, вляющие на КПД вентилятора
Аэродинамические характеристики, вляющие на КПД вентилятора

    Дифференциальная медицинская диагностика

Дифференциальная диагностика в медицине - это способ диагностики, исключающий не подходящие по каким-либо фактам или симптомам заболевания, возможные у больного, что в конечном счёте должно свести диагноз к единственно вероятной болезни.

Критерии дифференциальной диагностики при легочных заболеваниях

Существуют компьютерные программы, которые позволяют полностью или частично провести дифференциальную диагностику. Существуют системы, предназначенные для диагностики таких заболеваний, как шизофрения, болезнь Лайма или ассоциированная пневмония. Существуют такие программы, как QMR, DiagnosisPro, и VisualDx.

DiagnosisPro программа для проведения дифференциальной диагностики
DiagnosisPro программа для проведения дифференциальной диагностики

Дифференциальная диагностика – это метод, позволяющий исключить возможные заболевания у пациента, не подходящие по каким-либо факторам и симптомам, и установить единственно верный диагноз. Дифференциальная диагностика заболеваний имеет огромное значение для назначения адекватного лечения пациента.

Лекция по дифференциальной диагностике хромоты у собак

Значение и необходимость дифференциальной диагностики. Дифференциальная диагностика болезней – это своего рода краеугольный камень врачебной науки, который позволяет поставить правильный диагноз в довольно ограниченный период времени. Дифференциальная диагностика позволяет избежать некачественного лечения и тяжелых последствий такого лечения, а потому должна применяться во всех спорных и неоднозначных случаях.

Поставить правильный диагноз важная задача современной медицины
Поставить правильный диагноз важная задача современной медицины

Методы дифференциальной диагностики болезней сходны с общими методами медицинской диагностики. Дифференциальная диагностика включает в себя несколько этапов.

Сбор анамнеза, выявление жалоб пациента и симптоматики заболевания. Тщательно собранный и проанализированный врачом анамнез дает представление о возможных причинах заболевания, о часто повторяющихся симптомах болезни и сбоях в работе органов и систем. Но поскольку оценка пациентом собственного состояния очень субъективна, опрос является наименее достоверным диагностическим методом.

Сбор анамнеза для проведения диагностики
Сбор анамнеза для проведения диагностики

Объективный осмотр с использованием физикальных методов исследования организма пациента. Детальный осмотр позволяет выявить и определить круг симптомов заболевания более точно и подробно.

Детальный медицинский осмотр позволит выявить параметры для проведения дифференциальной диагностики
Детальный медицинский осмотр позволит выявить параметры для проведения дифференциальной диагностики

Лабораторная диагностика. Лабораторные методы часто являются решающим этапом дифференциальной диагностики заболеваний, они позволяют выявить большинство отклонений в работе органов и систем организма.

Процесс проведения лабораторной диагностики
Процесс проведения лабораторной диагностики

Инструментальные методы диагностики. Современные инструментальные исследования позволяют с высокой точностью определить локализацию болезни и степень ее тяжести. К инструментальным методам относятся:рентгенография; ЭКГ и другие методы кардиографии; энцефалография; УЗИ; МРТ и компьютерная томография; эндоскопия; манометрия.Совокупность перечисленных методов позволяет с высокой точностью поставить диагноз. Но современная наука не стоит на месте, она постоянно развивается. И на смену традиционным методам пришла новая дифференциальная диагностика болезней с помощью специально разработанных компьютерных программ. Такие программы, как QMR, VisualDx и DiagnosisPro позволяют провести полную или частичную дифференциальную диагностику заболеваний и тем самым сократить время на постановку диагноза.

Рентгенография как инструментальный метод диагностики
Рентгенография как инструментальный метод диагностики

Но пока эти программы у нас в стране не получили широкого распространения, и дифференциальная диагностика болезней в большинстве случае проводится традиционными медицинскими методами. 

Дифференциальная диагностика и лечение бронхообструктивного синдрома у детей

    Ценовой дифференциал

Ценовая дискриминация или ценовое дифференцирование - это стратегия ценообразования, где идентичные или в основном подобные товары или услуги проведены по различным ценам тем же самым поставщиком на различных рынках или территориях. Ценовое дифференцирование отличают от дифференцирования продукта более существенные различия в себестоимости для по-другому оцененных продуктов, вовлеченных в последнюю стратегию. Ценовое дифференцирование по существу полагается на изменение в готовности клиентов заплатить.

Скачки ценового дифференциала
Скачки ценового дифференциала

Термин оценка дифференциала также используется, чтобы описать практику начисления различных цен различным покупателям по тому же самому качеству и количеству продукта, но это может также относиться к комбинации ценового дифференцирования и дифференцирования продукта. Другие термины, использованные, чтобы относиться к ценовой дискриминации, включают оценку акции, предпочтительную оценку и расположенную ярусами оценку.

При ценовой дискриминации проводится оценка акций,  различение цен по группам
При ценовой дискриминации проводится оценка акций, различение цен по группам

Персонализированная оценка (или ценовое дифференцирование первой степени) - это продажа каждому клиенту по различной цене; это также называют непосредственным маркетингом. Оптимальное воплощение этого называют прекрасной ценовой дискриминацией и максимизирует цену, которую каждый клиент готов заплатить, хотя чрезвычайно трудно достигнуть на практике, потому что средство определения точной готовности к плате каждого клиента еще не было разработано.Оценка группы (или ценовое дифференцирование третьей степени) — деление рынка в сегментах и взимании той же самой цены за всех в каждом сегменте, Это - по существу эвристическое приближение, которое упрощает проблему перед лицом трудностей с персонализированной оценкой. Типичный пример - студенческие скидки.Управление версиями продукта или просто управление версиями (или ценовое дифференцирование второй степени) — предложение производственной линии, создавая немного отличающиеся продукты в целях ценового дифференцирования, т.е. вертикальную производственную линию. Другое имя, данное управлению версиями, является оценкой меню.

Ценовая дискриминация первой степени

 Цель ценовой дискриминации состоит в том, чтобы обычно захватить потребительский излишек рынка. Этот излишек возникает, потому что на рынке с единственной ценой прояснения некоторые клиенты (очень низкий ценовой сегмент эластичности) были бы готовы заплатить больше, чем цена единого рынка. Ценовая дискриминация передает часть этого излишка от потребителя производителю/маркетологу. Строго, потребительский излишек не должен существовать, например где некоторая распродажа выгодна из-за фиксированных расходов или экономии за счет роста производства. Пример - быстродействующее подключение к Интернету, разделенное двумя потребителями в единственном здании; если Вы готовы заплатить меньше чем половину стоимости, и другое согласное, чтобы составить остальных, но не оплачивать всю стоимость, то ценовая дискриминация необходима для покупки, чтобы иметь место.

Интернет за полцены при разделении трафика пополам как пример ценового дифференциала
Интернет за полцены при разделении трафика пополам как пример ценового дифференциала

Рассмотрим несколько примеров ценовой дискриминации:

- дискриминация розничной цены (при определенных обстоятельствах это - нарушение закона Робинсона-Пэтмена, (1936 федеральный американский антимонопольный устав) для изготовителей товаров, чтобы продать их продукты столь же расположенным ретейлерам по различным ценам, базируемым исключительно на объеме купленных продуктов);

Западные ретейлеры пользуются дискриминацией розничной цены
Западные ретейлеры пользуются дискриминацией розничной цены

- купоны (использование купонов в розничной продаже - попытка отличить клиентов их резервной ценой; предположение - то, что у людей, которые проходят проблему собрать купоны, есть большая ценовая чувствительность, чем те, кто не делает, таким образом купоны предоставления доступа позволяют, например, производителям блюда из хлопьев для завтрака взимать более высокие цены нечувствительным к цене клиентам, все еще получая некоторую прибыль клиентов, которые более чувствительны к цене);

Купон как пример использования ценовой дискриминации
Купон как пример использования ценовой дискриминации

- сегментация возрастной группой и студенческим статусом (у многих кинотеатров, парков развлечений, достопримечательностей и других мест есть различная плата за вход за сегмент рынка: типичные группировки - Молодой человек, Студент, Взрослый и Сеньор, у каждой из этих групп, как правило, есть много различной кривой спроса; у детей, людей, живущих на студенческой заработной плате и людях, живущих на пенсии обычно, есть намного менее совокупный чистый доход);

Рекламное объявление кинотеатра, предназначенное для студенческого сегмента
Рекламное объявление кинотеатра, предназначенное для студенческого сегмента

- скидки сотрудника (большинство людей чувствует, что дисконтные компании дают их собственным сотрудникам, вознаграждение работникам (и часто перечисляется как таковой в руководстве сотрудника), однако некоторые могли бы толковать их как форму ценовой дискриминации; другие, такие как налоговые органы могут расценить их как облагаемое налогом натуральное пособие.

Корпоративные скидки как пример ценовой дискриминации
Корпоративные скидки как пример ценовой дискриминации

    Дифференциал процентных ставок

Дифференциал процентных ставок - это разница между процентными ставками национальных банков по базовому и расчетному инструментах в валютной паре. Ситуация, когда ставки рефинансирования двух стран отличаются на два и более процента, делают возможным использование стратегии кэрри-трейда.

Дифференциал реальных процентных ставок
Дифференциал реальных процентных ставок

Все, кто следит за рынком, хорошо знают, что одними из самых сильных фундаментальных новостей, влияющих на рынок, являются новости об изменении/сохранении процентных ставок. Но не все понимают закономерности и следствия изменения ставок для курса валюты. А между тем, это регулярно повторяющаяся история, один из самых исправно работающих индикаторов движения курса. Важно понимать, что такое дифференциал процентных ставок, и какое влияние он может оказывать на валюту.

Способ использования процентного дифференциала
Способ использования процентного дифференциала

Большинство фундаментальных факторов связаны друг с другом, и процентные ставки не исключение, для того, чтобы спрогнозировать динамику валютных курсов на какую-либо перспективу, нужно видеть и уметь читать эти взаимосвязи. 

Дифференциал - это в первую очередь разница, а в данном случае - это разница между ключевыми процентными ставками Центральных банков. Процентные ставки являются важнейшим инструментом денежно-кредитной политики, например, если Европейский Центральный банк изменяет ставку рефинансирования, как это и было, то это напрямую сказывается на величине процентных ставок на кредиты, депозиты и другие инструменты денежного рынка.

Вебинар по практическому применению дифференциала процентных ставок

Так почему же все-таки процентные ставки оказывают такое сильное влияние на курс? Для того чтобы это понять, необходимо разобраться в механизмах действия решения регулятора (к примеру ЕЦБ) на валютный курс.

Представим, что у нас есть сбережения, размещенные в банке, а соседний банк, расположенный неподалеку, взял и вдруг увеличил процентную ставку. Оставаться в нашем банке - при прочих равных - уже нет смысла, и нам проще открыть второй счет в другом банке и перекинуть деньги под более высокий процент.

Для хранения своих денежных средств мы выбираем лучшую процентную ставку
Для хранения своих денежных средств мы выбираем лучшую процентную ставку

Институциональные и международные инвесторы - это можно сказать такие же люди, как и мы с вами, поэтому если один из Центральных банков повышает процентную ставку, он тем самым увеличивает доходность инструментов денежного рынка и провоцирует перелив капитала из одной страны в другую. А каким же образом можно перейти в активы другой страны? Ответ: очень просто, купить их! А покупать их нужно за деньги, соответственно возникает необходимость приобрести национальную валюту.

Международные инвесторы также следят за лучшими процентными ставками
Международные инвесторы также следят за лучшими процентными ставками

Вот и получается, что рост разницы процентных ставок приводит к росту валютного курса страны. При этом не стоит забывать о таких важных макроэкономических показателях, как уровни инфляции и безработицы, потому что рост индекса потребительских цен, как правило, свидетельствует о повышение цен на товары и услуги, а соответственно вызывает необходимость повышения ставки рефинансирования, но при этом это не будет способствовать росту заинтересованности инвесторов в увеличении вложений средств в экономику такой страны.

Рост дифференциала процентных ставок приводит к росту валютного курса страны
Рост дифференциала процентных ставок приводит к росту валютного курса страны

Источники и ссылки

    Источники текстов, картинок и видео

investments.academic.ru - Энциклопедия инвестора

ru.math.wikia.com - математическая Википедия

spbstu.ru - Санкт-Петербургский государственный Политехнический Институт

studopedia.net - лекционный материал для студентов

awdwiki.com - энциклопедия полного привода

academiaxxi.ru - математический сервер

old.creativeconomy.ru - издательство "Креативная экономика"

pm298.ru - справочник формул по прикладной математике

math24.ru - математический анализ: формулы и графики

stu.sernam.ru - научная библиотека

cnshb.ru - словари, справочники

mathprofi.ru - высшая математика просто и доступно

testent.ru - сайт для подготовки к ЕНТ Казахстан

repetitor.zp.ua - репетитор для студентов-заочников

enc-dic.com - математическая энциклопедия

ru.vlab.wikia.com - виртуальная лаборатория

vitaportal.ru - проверенная информация о здоровом образе жизни и медицине

fmi.asf.ru - сайт факультета математики, экономики и информатики филиала КемГУ

bestreferat.ru - банк рефератов

ru.knowledgr.com - новые знания

dissercat.com - библиотека диссертаций

vm.psati.ru - кафедра высшей математики ПГАТИ

univer-nn.ru - контрольные, курсовые и дипломные работы

ngpedia.ru - большая энциклопедия нефти и газа

znannya.org - украинский портал знаний

ru.solverbook.com - онлайн-сервисы для учебы

voluntary.ru - национальная социологическая энциклопедия

sernam.ru - научная библиотека

edu.dvgups.ru - Дальневосточный Государственный Институт Путей Сообщения

abc.vvsu.ru - учебные материалы ВГУЭС

azps.ru - психологические тесты, тренинги, статьи

finam.ru - инвестиционная компания, брокер

timebiology.ru - биология для всех

    Ссылки на интернет-сервисы

youtube.com - ютуб, самый крупный видеохостинг в мире

google.ru - крупнейшая поисковая система в мире

economic-definition-com-video.google.com - поиск видео в интернете черег Гугл

translate.google.ru - переводчик от поисковой системы Гугл

dic.academic.ru - Словари и Энциклопедии

    Ссылки на прикладные программы

windows.microsoft.com - сайт корпорации Майкрософт, создавшей ОС Виндовс

office.microsoft.com - сайт корпорации создавшей Майкрософт Офис

chrome.google.ru - часто используемый браузер для работы с сайтами

hyperionics.com - сайт создателей программы снимка экрана HyperSnap

    Создатель статьи

vk.com/id6108854 - профиль В Контакте

ok.ru/profile/329899729 - профиль в Одноклассниках

facebook.com/profile.php?id=100001814528831 - профиль на Фейсбуке

my.mail.ru/list/irinka_ru - профиль в Моём Мире

twitter.com/LiLiRisha - профиль в Твиттере