ЗАРАБАТЫВАЙТЕ !!! на глобальных рынках. БЕСПЛАТНАЯ консультация - оставьте свой телефон сейчас

Числа Фибоначчи (Fibonacci Numbers) - это

числа натурального числового ряда, составляющие последовательность, в которой каждое число равно сумме двух предыдущих чисел, и обладающие множеством уникальных свойств, включая образование некоторых постоянных коэффициентов и отношений между её членами, имеющими значение во многих сферах жизни человечества

История открытия чисел Фибоначчи и их последовательности, уникальные свойства чисел Фибоначчи и их использование в математике и других отраслях знаний, связь чисел Фибоначчи с Золотым сечением, роль чисел Фибоначчи в законах мироздания, природе, искусстве, архитектуре, истории, развитии человеческой цивилизации, использование чисел Фибоначчи в экономике, техническом анализе и формировании методов биржевой торговли

Развернуть содержание

Числа Фибоначчи - это целые натуральные числа, расположенные в числовой последовательности таким образом, что каждое последующее число является суммой двух предыдущих чисел, при этом в этом числовом ряде проявляются уникальные интересные свойства, выраженные в постоянных отношениях между отдельными членами последовательности и формировании некоторых постоянных коэффициентах, имеющих громадное научное и прикладное значение.

Ряд чисел Фибоначчи и его свойства
Ряд чисел Фибоначчи и его свойства

Числа Фибоначчи - это, определение

Числа Фибоначчи - это элементы бесконечной числовой последовательности: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих.

Числа Фибоначчи образуются из суммы двух предыдущих чисел
Числа Фибоначчи образуются из суммы двух предыдущих чисел

Числа Фибоначчи - это числовая последовательность, обладающая рядом уникальных свойств, среди которых, например: сумма двух соседних чисел последовательности определяет значение следующего за ними числа (например, 1+1=2; 2+3=5 и т.д.), что порождает существование так называемых коэффициентов Фибоначчи, т.е. постоянных соотношений между числами этой последовательности.

Леонардо Фибоначчи и его числа

Числа Фибоначчи - это ряд целых чисел, особенность которого состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению, так называемого, Золотого Сечения, где отношение каждого из этих чисел к последующему члену ряда стремится к величине 0,618 и отношение каждого члена ряда к предыдущему члену стремится к 1,618 (коэффициенты Фибоначчи).

Связь чисел Фибоначчи и Золотого Сечения
Связь чисел Фибоначчи и Золотого Сечения

Числа Фибоначчи - это числа, образующие, так называемую, суммационную последовательность Фибоначчи, которая имеет огромное влияние на закономерности явлений природы, строение и многообразие живых организмов на нашей планете, всего, что нас окружает, поражая воображение своей гармонией и упорядоченностью, объясняет многие законы мироздания, движение человеческой мысли, ход истории и достижения науки.

Числа Фибоначчи в природе

Числа Фибоначчи - это такие числа, которые, выстроенные в ряд по возрастанию, образуют последовательность чисел, где каждое последующее число является суммой предыдущих двух чисел: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55…, и так до бесконечности, а соотношение между соседними числами в такой последовательности равно золотому сечению.

Соотношения чисел Фибоначчи
Соотношения чисел Фибоначчи

Числа Фибоначчи - это линейная рекуррентная последовательность натуральных чисел, где первое и второе числа равны единице, а каждое последующее число образуется как сумма двух предыдущих: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, …, и так до бесконечности, и эти числа проявляются в живых формах: например, числа левозакрученных и правозакрученных спиралей, вдоль которых располагаются семена подсолнуха. Аналогичные закономерности выявляются при изучении шишек и лепестков некоторых цветков и растений, а также наблюдаются в животном мире в строении раковин моллюсков.

Последовательность чисел Фибоначчи

Числа Фибоначчи - это натуральные целые числа, которые, выстроенные в числовую последовательность по принципу, когда каждый ее член, начиная с третьего, образуется путем сложения двух предыдущих членов, и порождают удивительные постоянные соотношения между собой, имеющие огромное прикладное значение в геометрии, природе, архитектуре, искусстве и во всей повседневной жизни человечества.

Числа Фибоначчи в жизни человека
Числа Фибоначчи в жизни человека

Числа Фибоначчи - это элементы последовательности: , 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, …, или: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, … (последовательность A000045 в OEIS), в которой первые два числа равны либо 1 и 1, либо 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел, названы в честь средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи).

Энциклопедия целочисленных последовательностей OEIS

Числа Фибоначчи - это составляющие бесконечной натуральной числовой последовательности, расположенные таким образом, что при суммировании двух соседних чисел последовательности образуется следующее число этого ряда. Числа Фибоначчи и их последовательность названы в честь выдающегося итальянского ученого средних веков Леонардо из Пизы по прозвищу Фибоначчи.

Леонардо Фибоначчи - величайший математик средневековой Европы
Леонардо Фибоначчи - величайший математик средневековой Европы

Числа Фибоначчи - это система натуральных чисел, связанных между собой определенными соотношениями и построенная по принципу вычисления каждого последующего члена этой системы, начиная с третьего, путем арифметического сложения двух предыдущих.

Система чисел Фибоначчи

Волновая теория Эллиотта и Числа Фибоначчи

Заслуга математика Фибоначчи сына купца Боначчи состоит в том, что он смог систематизировать накопленные вековые знания и преподнести их в лёгкой и удобной форме. Но пройдёт еще добрых семьсот лет, прежде чем люди применят информацию о «золотом коэффициенте» к технике волнового конструирования рыночных взаимоотношений.

Рыночные взаимоотношения
Рыночные взаимоотношения

А произойдёт это после того, как в 1939 году инженер Ральф Нельсон Ральф Эллиотт обнародует несколько статей в экономическом журнале «Financial World Magazine», касающихся ритмичности поведения биржевых индексов и ценовых потоков. Согласно предложенной джентльменом Эллиоттом модели, все царящие на рынке настроения подчинены ритмическому распределению: за взлётом следует снижение, импульс сменяет откат. Динамичность повторяется волнообразно и сменяет одна другую.

Журнал Financial World Magazine
Журнал Financial World Magazine

В 1938 году вышла в свет монография «Волновой принцип» Ральфа Нельсона Эллиотта, из которой берет основы волновая теория Эллиотта, перевернувшая фондовый рынок. Рождение теории началось в 1930 году, когда шестидесятилетнего бухгалтера коснулась тяжелая болезнь и он, лишенный физической активности, занялся изучением закономерностей функционирования рынка.

Волновые принципы Эллиотта
Волновые принципы Эллиотта

Он несколько лет наблюдал и анализировал котировки рыночных цен и в результате сделал вывод, что психология поведения рынка подчинена некоторым закономерностям. Таким образом, появилась волновая теория Эллиотта, которая разделяет массовое психологическое поведение на несколько стадий: экспансия, энтузиазм и эйфория, за которым следует успокоение, упадок и депрессия.

Котировки рыночных цен
Котировки рыночных цен

Ральф Эллиотт в начале 1930-х г.г. занялся анализом биржевых цен, особенно индекса Доу Джонса. После ряда весьма успешных предсказаний Ральф Нельсон Ральф Эллиотт опубликовал в 1939 году серию статей. В них впервые была представлена его точка зрения, что движения индекса Доу-Джонса подчиняются определенным ритмам. Согласно Эллиотту, все эти движения следуют тому же закону, что и приливы - за приливом следует отлив, за действием (акцией) следует противодействие (реакция). Эта схема не зависит от времени, поскольку структура рынка, взятого как единое целое, остается неизменной.

Волны Эллиотта
Волны Эллиотта

Ральф Нельсон Эллиотт писал: "Закон природы включает в рассмотрение важнейший элемент - ритмичность. Закон природы - это не некая система, не метод игры на рынке, а явление, характерное, видимо, для хода любой человеческой деятельности. Его применение в прогнозировании революционно".

Ритмичность в природе
Ритмичность в природе

Этот шанс предсказать движения цен побуждает легионы аналитиков трудиться денно и нощно. Вводя свой подход, Ральф Нельсон Эллиотт был очень конкретен. Он писал: "любой человеческой деятельности присущи три отличительных особенности: форма, время и отношение, - и все они подчиняются суммационной последовательности Фибоначчи".

Труд аналитика
Труд аналитика

Изучив вышеизложенную последовательность, можно предложить использование последовательности Фибоначчи при прогнозировании цены, то есть в техническом анализе. Эту мысль высказал еще в 30-е годы один из самых известных людей, внесших вклад в теорию технического анализа – Ральф Нельсон Ральф Эллиотт. С тех пор конкретная польза применения этой идеи практически во всех методах технического анализа не вызывает сомнения.

Американский финансовый аналитик Ральф Нельсон Эллиотт
Американский финансовый аналитик Ральф Нельсон Ральф Нельсон Эллиотт

Впоследствии, благодаря волновой теории Эллиотта, были установлены следующие постулаты в сфере динамики рынка: направленный курс графика цен в сторону долгосрочного тренда без учёта коррекции можно рассматривать как волновую структуру, после повышающейся тенденции следует понижающаяся и наоборот, импульс одного обновления корректируется откатом другого, велика вероятность обратимости событий.

Волновая теория Эллиотта

‌Изменения цен генерируются согласно иерархической лестнице: всегда доступно выделить подволну, входящую в более масштабное движение, и одновременно состоящую из гармоник низшего порядка. Проще говоря, постоянно прослеживается цикл в цикле.

Изменение цен согласно иерархической лестнице
Изменение цен согласно иерархической лестнице

Числа Фибоначчи являются одной из двух составляющих в профессиональной методологии Волновой Теории Эллиотта. Именно Ральф Эллиотт сделал последовательность Фибоначчи одной из основ теории технического анализа. Числа Фибоначчи делают возможным определение длины развития каждой из волн, как по цене, так и по времени.

Числовая последовательность Фибоначчи в волновой теории Эллиотта

‌Полезность использования числовой последовательности Фибоначчи в техническом анализе трудно переоценить. Не забывайте, что на двух руках по пять пальцев, два из которых состоят из двух фаланг, а восемь - из трех. Для определения различных элементов волновых форм и соотношений Фибоначчи были использованы: прошлые внутридневные; дневные; понедельные и помесячные чарты.

По пять пальцев на руках
По пять пальцев на руках

Ральф Нельсон Ральф Нельсон Эллиотт осознавал важность включения различных временных периодов, когда писал: "На быстрых рынках дневная амплитуда (range) необходима, а почасовая - полезна, если не всегда необходима. Напротив, когда дневная амплитуда становится незаметной из-за малой скорости и большой длительности волн, обращение к понедельной амплитуде проясняет дело".

Время деньги
Время деньги

Несмотря на то, что Ральф Ральф Нельсон Эллиотт, пожалуй, большую часть своего внимания сосредоточил на подсчетах волн, соотношения Фибоначчи представляются теперь более важными. Ральф Нельсон Эллиотт пытался включить теорию Фибоначчи в свои подсчеты волн и писал: "Позже я обнаружил, что основой моих открытий был Закон природы, известный строителям Великой пирамиды в Гизе, построенной, возможно, еще 5000 лет назад".

Один из Законов Природы
Один из Законов Природы

Закон природы, на который ссылается Ральф Нельсон Эллиотт, - это, должно быть, суммационная последовательность Фибоначчи с ее соотношением 1.618. Это число можно обнаружить в пропорциях пирамиды в Гизе, но не в сложных волновых формах теории Эллиотта. Наше прочтение работ Эллиотта состоит в том, что он воспользовался привлекательностью суммационной последовательности Фибоначчи как рыночного инструмента.

Рыночный инструмент
Рыночный инструмент
Волны Эллиотта и числа Фибоначчи

‌Лучший подход состоит в совместном использовании соотношений Фибоначчи с теорией Эллиотта для предварительного расчета ценовых целей. Когда соотношение 1.618 (62%) имеет приоритет перед подсчетами волн, можно ввести исчерпывающие правила трейдинга. Приоритет должен быть также и в важности ценовых целей. Большие коррекции с более длительным периодом предпочтительнее краткосрочных форм.

Коэффициенты Фибоначчи и соотношения волн

‌Большие понедельные коррекции автоматически приведут к большому числу волн на дневном чарте. В редких случаях растянутое движение будет состоять из девяти волн, все они одинакового размера. Однако, основывая решение входить только на подсчете числа волн, мы должны заранее знать их количество или предсказать движение, исходя из волновых форм Эллиотта. Никогда не известно заранее, какая волновая форма разовьется, значит, нет необходимости знать заранее и свою рыночную позицию, ни на бычьем, ни на медвежьем трендах.

Медвежий тренд
Медвежий тренд

Этот пример ставит под вопрос и другое утверждение Эллиотта: "Растяжения происходят только в новой области текущего цикла, то есть они не случаются в коррекциях". Понедельный чарт швейцарского франка требует следующей интерпретации: рынок находится на коррекции к движению от A до B и произошло растяжение, причем не в новой области, а внутри коррекции.

Уровни Фибоначчи в волновом техническом анализе

‌Основные постулаты, на которых базируется волновая теория Эллиотта, гласят, что структура рынка обладает волнообразным характером, что дает возможность спрогнозировать развитие ситуации. Волна на фондовом рынке – это движение цен в одном направлении. Ральф Нельсон Эллиотт разделил рынок на две модели – «бычий» и «медвежий». Медвежий рынок отличается отсутствием резких котировок цен и является более спокойным, а для бычьего рынка характерны динамичные движения и резкие реакции.

Медвежий рынок
Медвежий рынок

Развивалась волновая теория Эллиотта, основываясь на том, что колебания рыночных цен состоят из пяти волн, которые идут в направлении одного тренда, и трех волн, движущихся в обратном направлении. Таким образом, волновая теория Эллиотта описывает полный цикл рынка 8 волнами, из которых при бычьем рынке 5 волн отвечают за рост и 3 волны за падение, а при медвежьем наоборот (5 волн – падение, 3 волны – рост).

Волновой цикл финансового рынка
Волновой цикл финансового рынка

При этом волновая теория Эллиотта отмечает, что повышающаяся волна всегда сменяется понижающей, и, наоборот, понижающая волна – повышающейся. Другими словами одна волна корректируется второй. Волны Эллиотта разделяются на «импульсные», которые придают рынку значительную динамику и идущие в направлении основной тенденции, и «корректирующие», которые движутся в противоположном направлении относительно импульсных волн.

Динамика финансового рынка
Динамика финансового рынка

В своей основе волновая теория Эллиотта базируется на принципе вложенности волн, который говорит о том, что любая волна является частью более длинной и также дробится на более короткие. Другими словами любая волна представляет собой подволну более сильной волны. При этом, если подволна является волной импульса, то она состоит из 5 меньших волн, а если волной корректировки, то из трех.

Вложенность волн Эллиотта
Вложенность волн Эллиотта

Самый продолжительный волновой цикл волновая теория Эллиотта описывает как Большой Суперцикл, состоящий из восьми волн, которые в свою очередь также состоят из восьми волн, но уже меньшего цикла. Между коррекционными и импульсивными волнами имеется прямая зависимость, состоящая в том, что чем интенсивнее импульс, тем более сильной будет последующая коррекция, и наоборот.

Коррекционные волны Эллиотта

‌В основном волновая теория Эллиотта предполагает, что каждая новая волна обладает своим набором конкретных характеристик, которые выходят их массивов рыночного поведения. В связи с этим каждая волна требует внимательного анализа индивидуальных примет. При этом построение волн Эллиотта производится по существующим правилам пропорций, что позволяет точно выявить начало построения и рассчитать длительность волн. Длина волны определяется от high до low.

Соотношения Фибоначчи и теория волн Эллиотта

‌Теория Эллиотта указывает на классическое соотношение волн между собой. При этом волновая теория Эллиотта отмечает, что из-за некоторых фундаментальных и технических факторов необходимо учитывать возможность погрешности в 10%. Отношение размера волн может быть равно 0,382, 0,50, 0,618 и 1,618. При этом можно рассчитывать как высоту, так и продолжительность волны.

Соотношение волн Эллиотта
Соотношение волн Эллиотта

Числа Фибоначчи и технический анализ рынков

Комплексный технический анализ Фибоначчи – это один из наиболее популярных методов анализа рынка, который практикуется большим количеством трейдеров, в том числе и начинающими. Совмещая в себе простоту и высокий уровень эффективности, подобная методология может приносить значительную прибыль. Итак, сегодня мы познакомимся анализом Фибоначчи и рассмотрим его основные концепции.

Методическое пособие по комплексному анализу Фибоначчи
Методическое пособие по комплексному анализу Фибоначчи

Основателем данного анализа является Леонардо Фибоначчи. Проводя научный эксперимент, он установил, что последовательность чисел Фибоначчи имеет между собой особую математическую связь. В действительности, числа Фибоначчи имеют широкий спектр применения. Метод прост для восприятия, даже для тех инвесторов, которые только недавно начали осваивать сферу бинарных опционов. Несмотря на свою простоту, данный метод успешно применяется на практике, если уделить некоторое время практике и теоретическому освоению данной системы.

Бинарные опционы
Бинарные опционы

В основе лежит математическая связь между движением цены и числовой последовательностью, которую вывел Леонардо Фибоначчи. Основная идея заключается в том, что рынок во время своего движения учитывает уровни, которые образует числовой ряд. Описываемая методология превосходно подойдёт для начинающих инвесторов, ввиду того, что в подобном методе отсутствуют сложные термины и технические приёмы, которые требуют от инвестора значительно опыта и высокого уровня профессиональных навыков. Только нужно научиться определять подходящие условия, когда применение техники будет целесообразной.

Движение цен по Фибоначчи
Движение цен по Фибоначчи

Когда мы ведём числовую последовательность в порядке увеличения, то отношений каждого числа к последующему стремится к значению 0.618. При ведении последовательности в порядке убывания, отношение каждого числа к предыдущему стремится к усреднённому значению 1.618. Каждое отдельное число в последовательности имеет связь с другим числом, расположенным через одно. Если мы ведём счёт на увеличение, то получим значение 0.382, а если на убывание, то получится коэффициент 2.618. Например, возьмём число 34. Оно имеет соотношение с 13 равное 2.618, а с числом 89 это соотношение будет равнять 0.382.

Связь между числами
Связь между числами

Подобные взаимодействия чисел Фибоначчи в последовательности образуют следующие значения: 4.235; 2.618; 1,618; 0,618; 0.382; 0.236. Ещё стоит отметить число, которое является медианой данного ряда – это значение 0.5. Эти коэффициенты используются для анализа рынка.

Анализ Рынка
Анализ Рынка

Уровни, образованные данным рядом, хорошо отрабатываются ценой. Они являются своего рода уровнями поддержки и сопротивления, но в классическом техническом анализе мы строим уровни визуально, а в данном случае они преобразуются математически. Комплексный анализ Фибоначчи включает в себя большое количество инструментов, среди которых можно отметить веер, дуги, зоны, уровни, расширения и коррекции. Весь этот функционал позволяет инвесторам с большой точностью оценивать возможное развитие ситуации на рынке.

Числа Фибоначчи и технический анализ ч.1

‌Очень важно, если вы решили рассчитать последовательность по Фибоначчи, то нужно быть очень внимательным. Ошибка в расчетах может привести к тому, что вся последовательность окажется неверной. Тем не менее, сейчас в современных торговых терминалах все инструменты Фибоначчи уже идут в предустановленном виде. В том же живом графике для бинарных опционов вы без проблем сможете найти все эти инструменты.

Числа Фибоначчи и технический анализ ч.2

  Методы торговли по Фибоначчи

В 1993 году Роберт Фишер издал в «Уайли энд Санз» книгу под рабочим названием «Приложения и стратегии Фибоначчи для трейдеров», в которой описывались базовые открытия и изобретения Фибоначчи в приложении к сложным стратегиям успешной торговли. Книга приобрела и до сих пор сохраняет всеобщий успех. Прошло почти восемь лет. Чем популярнее становилась книга, тем очевиднее становилось, что в первом варианте отсутствует важная составная часть, необходимая, чтобы сделать по-настоящему результативными замечательные принципы Фибоначчи.

Роберт Фишер и его книга
Роберт Фишер и его книга

За прошедшую половину десятилетия, возросшие вычислительные, графические и чертежные возможности современных компьютерных технологий открыли новые неисследованные горизонты. Этот потенциал не должен быть упущен. Заметно прогрессировали компьютерные технологии, а вместе с ними и возможности успешно торговать на рынках, используя инструменты Фибоначчи.

Компьютерные технологии

‌Новая книга предназначена для нового трейдера по Фибоначчи. Он или она по-прежнему владеют идеями и навыками, но впервые смогут использовать компьютерные технологии, чтобы совместить эти идеи и навыки в мощных торговых стратегиях. Мы не предлагаем полностью автоматизированные системы торговли; скорее, мы пишем об отсутствующем звене, графически оформляющем торговые стратегии и тестирующем их в компьютеризированной окружающей среде. В дополнение к академическому описанию наших открытий, мы делимся нашими знаниями, предлагая читателям пакет программ WINPHI, чтобы графически применять инструменты Фибоначчи к графикам.

Комбинирование инструментов Фибоначчи с графиками
Комбинирование инструментов Фибоначчи с графиками

Числа Фибоначчи имеют широкое применение при определении длительности периода в Теории Циклов. За основу каждого доминантного цикла берется определенное количество дней, недель, месяцев, связанное с числами Фибоначчи. Например, длина Цикла (Волны) Кондратьева равна 54 годам. Отметим близость этой величины к фибоначчиевому числу 55.

Теория циклов в экономике

Один из простейших способов применения чисел Фибоначчи на практике – определение отрезков времени, через которое произойдет то или иное событие, например, изменение тренда. Аналитик отсчитывает определенное количество фибоначчиевых дней или недель (13, 21, 34, 55 и т.д.) от предыдущего сходного события.

Определение отрезков времени
Определение отрезков времени
    Уровни Фибоначчи (уровни фибо)

Использование различных инструментов в техническом анализе является просто необходимым. Причем использовать все инструменты лучше в совокупности с другими. Например, графические инструменты можно использовать в совокупности с индикаторами, и рынок будет показывать более точные входы в рынок. Одним из самых популярных графических инструментов является инструмент по имени Уровни Фибо (Фибоначчи).

Уровни Фибоначчи
Уровни Фибоначчи

Уровни Фибоначчи не только выполняют свою главную роль, но и являются универсальным инструментом в техническом анализе на международном валютном Форексе. Уровни Фибоначчи состоят из линий, которые делятся на две части, так называемые две сетки. Первая сетка начинается от 0% и заканчивается на отметке 100%. На этом отрезке находятся те уровни, которые помогают нам определить окончание волны, которая началась от отметки 0%. Вторая сетка начинается от уровня 100% и заканчивается на отметке, которую выставит трейдер, обычно это уровень 400%.

Сетка Фибоначчи и ее применение в торговле

‌С помощью этой сетки можно отследить окончание волны, которая началась после окончания волны от 0%. Все линии, содержащиеся в уровнях Фибоначчи, играют рол уровней поддержки и сопротивления. Дойдя до таких уровней, цена от них отталкивается и возвращается на несколько пунктов ниже или выше, в зависимости от действующей сделки. Правильно использование уровней Фибоначчи покажет очень прибыльные места входа в рынок и выхода из рынка. Все ваши сделки обретут логику и будут приносить вам осознанную прибыль.

Получение прибыли
Получение прибыли

С помощью уровней Фибо можно определять вероятные цели, до которых может дойти цена рынка, как правило, эти цели отрабатывают очень хорошо, практически пункт в пункт. Уровни Фибоначчи состоят из двух сеток, каждая из этих сеток содержит линии.

Настройка и использование сеток Фибоначчи

‌Первая сетка Фибоначчи называется коррекционная. Коррекционная от того что с помощью этой сетки трейдер пытается определить уровни, до которых дойдет цена, и оттолкнувшись последует сильное импульсное движение вниз. Коррекционная сетка содержит линии, которые расположены от 0 до 100%, и в этой сетке очень хорошо отрабатывают два уровня – это 50% и 38,2% именно на эти цели направлена коррекционная волна. Вторая сетка Фибоначчи является целевой и с помощью такой сетки трейдер определяет движение импульсной волны.

Целевая и коррекционная сетки Фибоначчи
Целевая и коррекционная сетки Фибоначчи

Очень хорошо по целевой сетке Фибоначчи отрабатывают уровни 161,8% и 200%, именно на этих отметках принято фиксировать прибыль. Однако есть моменты, когда цена пробивает и 200% и движется еще далеко вперед, именно поэтому необходимо понимать, в каком положении сейчас находится рынок, чтобы попасть в настоящую импульсную волну.

Уровни Фибоначчи и графические инструменты

Импульсная волна, она, как правило, самая длинная и в ней необходимо работать. Здесь и помогают целевые уровни Фибо. Принято считать, что цена движется от уровня к уровню и если она пробила один из уровней, то вероятнее всего достигнет следующего, прежде чем развернется.

Пример имульсной волны ФИБО
Пример имульсной волны ФИБО
    Сетка Фибоначчи или торговля на коррекции

Торговля на коррекции - одна из популярных трейдерских стратегий. Коррекция - это периодический краткосрочный откат цен. Для определения точек откатов цены и фиксации прибыли трейдеры используют сетку Фибоначчи, уровни которой с определенной степенью вероятности показывают величину коррекционных волн, дальнейшее направление и силу тренда.

Торговля на коррекции
Торговля на коррекции

Для построения сетки Фибоначчи используют не цены закрытия-открытия, а локальные минимумы и максимумы. В терминале МТ4 на нисходящем тренде сетка ФИБО натягивается сверху вниз.

Построение сетки Фибоначчи
Построение сетки Фибоначчи

Мы видим нисходящий тренд А-В. В точке В началась коррекция. Растягиваем сетку Фибоначчи от максимума цены в точке А до минимума - в точке В. Находим уровень по сетке Фибоначчи 38,2%. По теории - это первый значимый уровень сопротивления, обозначенный на графике фиолетовой линией, до которого может протянуться коррекционная волна, после которой тренд продолжится. В точке С и следует выставить стоп-ордер на продажу. Stop-Loss располагаем чуть выше уровня 38,2%, ограничив убыток в случае, если цена пробьет сопротивление и устремиться выше.

Продолжение дисконтного тренда
Продолжение дисконтного тренда

Как показывает график, цена, оттолкнувшись от уровня сопротивления, пошла вниз. Тренд продолжился. Так как цена не пробила сопротивление в точке С на уровне 38,2%, можно обозначить тренд, как сильный. В точке D начинается следующая волна коррекции, и сетку Фибоначчи следует растянуть от точки А до точки D, или следующего минимума цены. Можно предположить, что цена, как и в прошлый раз, достигнув уровня 38,2%, вернется вниз. Однако цены пробили этот уровень и поднялись выше.

Уровни сопротивления и поддержки

‌Следующая значимая цифра 61,8%, возле которой рост прекратился, и восстановилось движение вниз. Тот факт, что коррекция дошла до 61,8%, свидетельствует об ослаблении тенденции, вероятно, в дальнейшем стоит ожидать перехода рынка во «флэт» или смены тренда, что на самом деле и произошло.

Пример линий поддержки и сопротивления
Пример линий поддержки и сопротивления

Обратите внимание, что в момент роста цен в том месте, где была проведена линия сопротивления, продавцы попытались вернуть цены вниз, но покупатели оказались сильнее, сопротивление пробито, цена устремилась вверх. Таким образом, определился еще один значимый уровень поддержки, который можно использовать в дальнейшей торговле.

Расширение Фибоначчи для определения уровня фиксации цен
Расширение Фибоначчи для определения уровня фиксации цен
    Веерные линии Фибоначчи (Фи-веер)

Числа Фибоначчи популярны в трейдерской среде. Они подтверждают волновую теорию Эллиотта, так любимую многими биржевыми игроками, служат для определения начала и конца коррекционного движения цен. Помимо сетки Фибоначчи и порядка расстановки приказов по ее сигналам начинающие трейдеры обязаны познакомиться с другими инструментами, основанном на ряде чисел ФИБО - Фи-веере, или веере Фибоначчи.

Трейдерская среда
Трейдерская среда

Построение прямого веера Фибоначчи зачастую вызывает затруднения по причине сложности формулировок, содержащихся в описании принципа действий. На самом деле, достаточно один раз подробно рассмотреть на примере порядок вычерчивания трендовых линий веера, чтобы понять алгоритм построения.

Веер Фибоначчи

‌В точке А начинается «бычий» тренд. Рост цен продолжается до точки В, и далее мы видим начало коррекции. В этот момент следует строить веер Фибоначчи для определения продолжительности коррекционного движения. Из точки А в точку В натягиваем сетку ФИБО и проводим вертикальную линию из точки В, пересекающую линии сетки.

Основой Фи-веера является сетка Фибоначчи
Основой Фи-веера является сетка Фибоначчи

На графике она показана светло-зеленым цветом. Из точки А через места пересечения вертикальной линии с уровнями сетки 38,2%, 50%, 61,8% (обозначены маленькими красными кружочками) чертим лучи веера. Эти линии станут предполагаемыми областями окончания коррекционных движений, своеобразными уровнями поддержки/сопротивления цен.

Как правильно построить веер Фибоначчи

‌Еще не зная о том, как будут развиваться события, логично предположить, что цена, оттолкнувшись от линии Фи-веера 38,3%, продолжит рост. На деле цены провалились чуть ниже и коснулись линии 50%, коррекция закончилась, тренд продолжился. Однако можно уже говорить о некотором ослаблении тенденции. Остановка коррекции на уровне 38,2% сигнализировала бы о достаточно сильном тренде.

Бычий возрастающий тренд
Бычий возрастающий тренд

Далее мы видим следующую коррекционную волну, которая оттолкнулась от уровня 61,8%. Тренд слабеет, существует вероятность смены направления движения цен. Постановка лимитного ордера на продажу чуть ниже вектора 61,8 откроет короткую позицию. Короткий Stop-Loss ставится чуть выше последних максимумов цен в области нулевой линии сетки ФИБО. Получается великолепное соотношение риск/прибыль.

Stop loss - это определенный уровень допустимого убытка
Stop loss - это определенный уровень допустимого убытка

Однако профессионалы предостерегают от прямого использования веера Фибоначчи для определения точек откатов. Во-первых, существует погрешность построения векторов веера, во-вторых, присутствует субъективность трактовки сигналов. Кроме линии веера трейдер должен оценить еще несколько уровней, определенных при помощи других инструментов технического анализа. Совокупность нескольких показателей дает наиболее точный сигнал к открытию позиции.

Построение коррекционного веера Фибоначчи
Построение коррекционного веера Фибоначчи

Чтобы построить веер Фибоначчи, выбираем точку (или точки) прошлых экстремумов и строим вертикальную линию из вершины второго из них, а горизонтальную – из вершины первого. Получившийся таким образом вертикальный отрезок делим на соответствующие фибоначчиевым коэффициентам части. После этого рисуем лучи, исходящие из первой точки и проходящие через избранные только что. Пересечения верных линий и дуг будут служить сигналами для выявления поворотных точек тренда, причем как по цене, так и по времени.

Веер Фибоначчи  на нисходящем тренде
Веер Фибоначчи на нисходящем тренде

Но современные торговые терминалы позволяют строить веер Фибоначчи, не прибегая к тактике пересечения лучами веера уровней сетки? В торговую платформу уже включен инструмент технического анализа, который так и называется - «Веер Фибоначчи». Вы просто тянете трендовую линию от начала в конец тренда, а программа сама чертит лучи веера. Это очень полезная функция для рисования коррекционного Фи-веера.

Установка и настройка торгового терминала

‌Существует следующее правило: если коррекционная волна пробила уровень 23,6% и приближается к отметке 50%, прямой веер перестает работать и требуется построение коррекционного веера. Цена пробила уровень Фибо 23,6%, приблизилась к следующей линии, затем пробила и ее и двинулась в область 61,8%. Построенный прямой Фи-веер уже не показывает областей откатов. Нужно строить коррекционные лучи.

Коррекционный веер Фибоначчи
Коррекционный веер Фибоначчи

Начало трендовой линии веера остается в точке А, а конец из точки В переносится в точку С - вершину первой коррекционной волны. На графике мы четко видим, как коррекционный луч 61,8% превратился в мощный уровень поддержки.

Пример коррекционной волны
Пример коррекционной волны

Какие можно сделать выводы из разобранных примеров? Если на первом графике мы видим классическую картину отработки коррекционных движений, то на втором веер не дал четких сигналов. Как правило, чтобы грамотно трактовать сигналы Фи-веера, необходимо учитывать и существующее положение на мировых финансовых рынках, и данные других индикаторов.

Мировые финансовые рынки
Мировые финансовые рынки

Таким образом, сложность использования веера Фибоначчи заключается в сочетании технического анализа с фундаментальными данными и понимании их показателей.

Пример построения веера Фибоначчи

‌Начинающие трейдеры не придают значения важности фундаментального анализа в современных условиях финансового кризиса, предпочитая использовать в торговой стратегии в основном инструменты теханализа, тогда как на валютном рынке Forex в настоящий момент первостепенное значение имеют финансовые новости.

Фундаментальный анализ рынка
Фундаментальный анализ рынка
    Дуги Фибоначчи

Один из способов применения числа Фибоначчи в торговле – построение дуг. Центр для такой дуги выбирается в точке важного потолка (top) или дна (bottom). Радиус дуг вычисляется с помощью умножения коэффициентов Фибоначчи на величину предыдущего значительного спада или подъема цен.

Дуги Фибоначчи
Дуги Фибоначчи

Выбираемые при этой коэффициенты имеют значения 38.2%, 50%, 61.8%. В соответствии со своим расположением дуги будут играть роль сопротивления или поддержки. Для того чтобы получить представление не только об уровнях, но и времени возникновения тех или иных ценовых движений, дуги обычно используют вместе с веерными или скоростными линиями. Принцип их построения похож на описанный только что.

Дуги Фибоначчи в техническом анализе

‌Дуги Фибоначчи строятся аналогично веерным линиям. Первоначально между двумя ключевыми точками на графике цены - важным максимумом и минимумом - поводится линия АВ. Центром дуг Фибоначчи является второй экстремум цены, а сами дуги проводятся через три точки, пересекающие линию АВ на уровнях Фибоначчи 61.8%, 50% и 38.2%. На продолжении этой линии можно строить дополнительные дуги на уровнях Фибоначчи 138.2%, 161.8%, 261.8% и 423.6%. Последнее число является третьей степенью одного из основных чисел Фибоначчи 1.618034. Здесь стоит напомнить, что главными числами Фибоначчи, соответствующими золотому сечению, являются 38.2%, 61.8% и 161.8%.

Дуги Фибоначчи на бычьем рынке фондового индекса Nikkei-225
Дуги Фибоначчи на бычьем рынке фондового индекса Nikkei-225

На бычьем тренде рекомендуется строить линию АВ от максимальной цены к минимальной (сверху-вниз), а на медвежьем - от минимальной к максимальной цене (снизу-вверх). При этом первые дуги обычно показывают уровни поддержки, а вторые - уровни сопротивления.

Дуги Фибоначчи на медвежьем рынке фондового индекса Nikkei-225
Дуги Фибоначчи на медвежьем рынке фондового индекса Nikkei-225
    Временные зоны (периоды) Фибоначчи

Периоды Фибоначчи представляют собой целый ряд вертикальных линий, соответствующих числовому ряду Фибоначчи. Эти линии символизируют ключевые моменты в динамике курса. Это может быть либо разворот тренда, либо его ускорение, либо просто временное сильное движение.

Динамика курсов Евро и Рубля
Динамика курсов евро и Рубля

При построении периодов Фибоначчи используется правило числового ряда Фибоначчи, где расстояние между указанными вертикальными линиями является суммой предыдущих двух расстояний (аналогично числам Фибоначчи, где 5+8=13,8+13=21 и т.д.). При анализе периодов Фибоначчи обычно первые три линии игнорируются.

Временные периоды Фибоначчи

Для того чтобы построить период Фибоначчи, необходимо отметить на графике один из ключевых по вашему мнению моментов (на наших рисунках такие моменты отмечены жирной сплошной линией). Дальнейшее построение периодов Фибоначчи произойдет автоматически для тех, у кого в распоряжении есть программа, позволяющая строить периоды Фибоначчи. У кого такой программы нет, построение периодов Фибоначчи затруднительно.

Анализ временных периодов Фибоначчи
Анализ временных периодов Фибоначчи

На рисунке представлен недельный график японской японской иены к доллару Соединенных Штатов, где сплошной жирной линией отмечено начало построения периодов Фибоначчи. Пунктирными линиями отмечены первые три периода Фибоначчи, для анализа игнорирующиеся. Кружками отмечены места появления хороших сигналов индикатора о развороте рынка. Во всех прочих случаях периоды Фибоначчи не совпали со значительными движениями курса, но в целом давали хотя бы краткосрочные сигналы.

Построение временных зон Фибоначчи
Построение временных зон Фибоначчи

На следующем рисунке построены две группы периодов Фибоначчи. Жирными сплошными линиями отмечены места начала указанных групп периодов. Менее жирные сплошные линии - это места совпадения периодов из двух групп. Тонкие сплошные линии построены по периоду одной группы. Кружками отмечены места совпадения ключевых моментов в динамике курса с периодами Фибоначчи.

Две группы зон Фибоначчи
Две группы зон Фибоначчи

В целом можно отметить, что периоды Фибоначчи хорошо сигнализируют о возможности ключевого момента, начиная с третьего периода, иногда со второго периода. Индикатор «временные зоны Фибоначчи» - неоднозначный торговый инструмент. До сих пор ведется полемика относительно надежности временных зон. Нет единого мнения: одни трейдеры уверены в его эффективности, другие называют индикатор мусором. Поэтому решение о его использовании каждый принимает сам для себя.

Коэффициенты Фибоначчи во временных структурах

‌«Временные зоны Фибоначчи» - индикатор теханализа, позволяющий вычислить моменты на тренде, где возможны существенные ценовые колебания или изменение тенденции рынка в целом. Данный инструмент базируется на вертикальных линиях, которые соответствуют последовательности Фибоначчи (1,2,3,5,8 и т.д.). Вблизи линий индикатора временных зон возможны ценовые скачки.

График временных зон Фибоначчи
График временных зон Фибоначчи

Индикатор временных зон позволяет трейдерам определить текущую, а также спрогнозировать будущую ситуацию на рынке. Рядом с линиями, как говорилось выше, цена актива подвержена колебаниям или изменению своего направления.

Торговая стратегия и линии Фибоначчи

‌Несмотря на относительную точность составленного прогноза с применением линий временных зон, рекомендуется использовать и другие индикаторы Forex для подтверждения правильности проведенного анализа. Например: Дуги Фибоначчи или Вилы Эндрюса.

Вилы Эндрюса
Вилы Эндрюса

Трейдер, работающий с временными зонами, должен понимать, что если цена возле линий остается стабильной, это значит, что тренд продолжится, для определения тренда, кстати, подойдёт канал Фибоначчи.

Трендовые линии
Трендовые линии

Также многие профессионалы используют в своей работе «методику скопления». В чем ее суть? На трендовую линию наносится несколько «временных зон Фибоначчи». После чего трейдеры сосредотачивают свое внимание на анализе тех участков графика, где наблюдается большое скопление вертикальных линий.

Построение трендовых линий
    Канал Фибоначчи

«Канал Фибоначчи» - инструмент технического анализа, представленный параллельными линиями: двумя основными и несколькими вспомогательными, определяющими уровни поддержки и сопротивления. Вспомогательные линии размещены на следующих уровнях Фибоначчи: 61,8%, 161,8%, 200%, 261,8.

Канал Фибоначчи
Канал Фибоначчи

Линии Канала выступают поддержкой и сопротивлением в зависимости от состояния на рынке. Цена может, как пробить определенный канал, так и отскочить от линий, что его формируют. Исходя из этого, трейдер делает ставки.

Линии поддержки и сопротивления

Основной Канал определяется максимальными и минимальными значениями тренда на выбранном таймфрейме, второстепенные - строятся параллельно для анализа графика стоимости, после его выхода за пределы основного Канала. Индикатор Фибоначчи работает аналогично уровням ценовой коррекции. Опытные рыночные игроки советуют применять Канал вместе с сигналами других инструментов теханализа Форекс.

Определения таймфреймов Форекс
Определения тайм фреймов Форекс

История чисел Фибоначчи

Древняя история богата выдающимися математиками. Многие достижения древней математической науки до сих пор вызывают восхищение остротой ума их авторов, а имена Евклида, Архимеда, Герона известны каждому образованному человеку. Иначе обстоит дело с математикой средневековья. Математика в эту эпоху развивалась чрезвычайно медленно, и крупных математиков тогда было очень мало.

Древняя наука Математика
Древняя наука Математика

Тем больший интерес представляет для нас выдающийся итальянский математик Леонардо из Пизы (ок. 1170 - после 1228), более известный под прозвищем Фибоначчи, который был, безусловно, самым значительным математиком средневековья. Роль его научных трудов в развитии математики и распространении в Европе математических знаний трудно переоценить.

История жизни Леонардо Фибоначчи

‌Элементы числовой последовательности, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел называются числами Фибоначчи, назваными по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи). Последовательность чисел Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии, где она применялась в метрических науках (просодии, другими словами – стихосложении), намного раньше, чем она стала известна в Европе.

Древняя Индия
Древняя Индия

Эти удивительные числа были открыты итальянским математиком средневековья Леонардо Пизанским, более известным под именем Фибоначчи. Путешествуя по Востоку, он познакомился с достижениями арабской математики, способствовал передаче их на Запад. В одном из своих трудов под названием «Книга вычислений» он представил Европе одно из величайших открытий всех времён и народов – десятичную систему счисления.

Древняя арабская математика
Древняя арабская математика

Отец Фибоначчи по торговым делам часто бывал в Алжире и других странах Востока, и Леонардо сопровождал его в торговых экспедициях. В тех краях Фибоначчи впервые познакомился с книгами арабских математиков и стал изучать их у арабских учителей. Здесь он изучил арифметические методы, которые были широко известны среди ученых исламского мира, но были по большей части недоступны на Западе.

Влияние арабского мира на развитие Европы

‌Благодаря общению с западными купцами он освоил также математические техники, принятые в Европе. Позже Фибоначчи много путешествовал по Востоку, совмещая математические занятия с торговлей. Путешествуя по миру Леонардо, посетил Египет, Сирию, Византию и Сицилию. Леонардо изучал труды математиков стран ислама (таких как Аль-Хорезми и Абу Камил).

Средневековый персидский математик Аль-Хорезми
Средневековый персидский математик Аль-Хорезми

По арабским переводам Леонардо Фибоначчи ознакомился также с достижениями античных и индийских математиков. На основе усвоенных им знаний Фибоначчи написал ряд математических трактатов, представляющих собой выдающееся явление средневековой западноевропейской науки.

Древнеиндийские математики
Древнеиндийские математики

В 1200 году Леонардо Фибоначчи вернулся в Пизу и принялся за написание своего первого труда «Книги абака». В то время в Европе о позиционной системе счисления и арабских цифрах знали очень немногие. В своей книге Фибоначчи всячески поддерживал индийские приёмы вычисления и методы. В этом же научном труде он пытался проанализировать и связать с повседневной жизнью различные последовательности чисел.

Позиционные системы счисления

‌Необходимо заметить, что период с 11-го по 12-й века были временем блестящего расцвета арабской культуры, но вкупе с тем и началом ее упадка. В конце 11-го столетия, то есть к началу Крестовых походов, арабы были, бесспорно, наиболее просвещенным народом в мире, превосходя в этом отношении своих христианских противников.

Крестовые походы средневековья
Крестовые походы средневековья

Еще до Крестовых походов арабское воздействие проникло на Запад. Тем не менее, наибольшее проникновение арабской культуры и науки на Запад началось после Крестовых походов, которые обессилили арабский народ, но с другой стороны усилили арабское воздействие на христианский Запад. Не только хлопок и сахар Палестины, перец и черное дерево Египта, самоцветные камни и пряности Индии ищет и ценит христианский Запад в арабском мире.

История крестовых походов

‌Леонардо начинает разбираться в том культурном и научном наследстве "великого античного Востока", хранителем которого стала арабская культура. Открывшийся мир не мог не ослеплять своими красками и научными достижениями - и все обширнее становится в западном обществе спрос на арабские географические карты, учебники алгебры и астрономии, арабское зодчество.

История арабской культуры и науки

‌В век Фибоначчи Возрождение было ещё далеко, однако история даровала Италии краткий промежуток времени, который вполне можно было назвать репетицией надвигающейся эпохи Ренессанса. Этой репетицией руководил Фридрих II, император (с 1220 года) Священной Римской Империи. Воспитанный в традициях южной Италии Фридрих был внутренне глубоко далёк от европейского рыцарства.

Император Священной Римской Империи Фридрих Второй
Император Священной Римской империи Фридрих Второй

Столь любимые его дедом рыцарские турниры Фридрих II совсем не признавал. Вместо этого он культивировал гораздо менее кровавые математические соревнования, на которых противники обменивались не ударами, а задачами. На таких турнирах и заблистал талант Леонардо Фибоначчи. Этому способствовало хорошее образование, которое дал сыну купец Боначчи, взявший его с собой на Восток и приставивший к нему арабских учителей.

Замок Кастель дель Монте - место проведения математических состязаний
Замок Кастель дель Монте - место проведения математических состязаний

Впоследствии Фибоначчи пользовался неизменным покровительством Фридриха II. Это покровительство стимулировало выпуск научных трактатов Фибоначчи: обширнейшей "Книге абака", написанной в 1202 году, но дошедшей до нас во втором своем варианте, который относится к 1228 г.; "Практики геометрии"(1220 г.); "Книги квадратов"(1225 г.). В Книге Абака Фибоначчи и провёл тщательное изучение и исследование свойств чисел, названных впоследствии его именем.

Математические труды Фибоначчи

‌По этим книгам, превосходящим по своему уровню арабские и средневековые европейские сочинения, учили математику, чуть ли не до времён Декарта (XVII век). Как указано в документе 1240 года, восхищённые граждане Пизы говорили, что он был рассудительный и эрудированный человек. Его работы после долгих лет только сейчас переводятся с латинского языка на английский. Для тех, кто интересуется - книга, названная Леонардо Пизанский и новая математика Средних веков Жозефа Гиза (Joseph and Frances Gies) является прекрасным трактатом по веку Фибоначчи и его работам, включая теорию чисел Фибоначчи.

Великий европейский ученый Рене Декарт
Великий европейский ученый Рене Декарт

Наибольший интерес представляет сочинение Фибоначчи “Книга абака” (Liber Abaci). Эта книга представляет собой объемный труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший значительную роль в развитии математики в Западной Европе в течение нескольких следующих столетий. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились с индусскими (арабскими) цифрами. В ней Фибоначчи впервые в Европе привел отрицательные числа, которые рассматривал, как "долг", дал приемы извлечения кубических корней, исследовал знаменитые "числа Фибоначчи".

Страница Книги абака Леонардо Фибоначчи
Страница Книги Абака Леонардо Фибоначчи

Эта книга представляет собой объёмный труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший значительную роль в развитии математики в Западной Европе в течение нескольких следующих столетий. Работа написана на латыни и считается первым сочинением такого рода, автор которого был христианином.

Развитие математики в Европе
Развитие математики в Европе

“Liber Abaci”, или трактат по арифметике (а именно так можно истолковать название, поскольку под “абаком“ Леонардо понимал не счетную доску, а арифметику), отличалась полнотой охвата и глубиной изложения. В ней подробно разъяснялись не только азы науки о числах и действиях над ними, но и основы учения об уравнениях, т.е. алгебры. Кроме, того в “Liber Abaci” имелось большое количество задач практического содержания, иллюстрировавших различные приёмы решения, как арифметические - тройное правило, правило товарищества, метод ложного положения и др., так и алгебраические, приводящие к одному или нескольким уравнениям.

Книга Абака Фибоначчи
Книга Абака Фибоначчи

Свой трактат Леонардо приобщил к достижениям индийских и арабских математиков европейских ученых и оказал существенное влияние на дальнейшее развитие алгебры и теории чисел. “Liber Abaci” была востребована математиками эпохи Возрождения и Нового времени, сумевшими оценить её по достоинству, ведь книга отличалась не только богатством и разнообразием рассмотренных в ней примеров и методов, но и строгостью, доказательностью изложения.

Эпоха Возрождения

‌На протяжении нескольких столетий по труду Фибоначчи ученые знакомились с двумя важнейшими разделами математики - арифметикой и алгеброй и черпали из него задачи и оригинальные методы решения, благодаря чему уже в XV-XVI вв., те разошлись по многочисленным итальянским, французским, немецким, английским, а позже и русским рукописям, печатным книгам и учебникам.

Знаменитые европейские математики
Знаменитые европейские математики

В Книге Абака Фибоначчи приводит и иллюстрирует свою знаменитую последовательность чисел как решение математической задачи - нахождение формулы размножения кроликов. Из приведенной задачи становиться ясно, что Фибоначчи вывел особый ряд чисел с необыкновенными свойствами. В приведенном Фибоначчи случае, первые два члена полученной последовательности равны 1, следующие же члены равны сумме двух предыдущих.

Кролики Фибоначчи
Кролики Фибоначчи

  Задача Фибоначчи о размножении кроликов

Знаменитая числовая последовательность Фибоначчи была получена им при решении знаменитой "задачи о размножении кроликов", изложенной в Книге Абака. Формулировка и решение этой задачи считается основным вкладом Фибоначчи в развитие комбинаторики.

Задача о размножении кроликов
Задача о размножении кроликов

Именно с помощью этой задачи Леонардо Фибоначчи предвосхитил метод рекуррентных соотношений, который считается одним из мощных методов решения комбинаторных задач. Рекуррентная формула, полученная Фибоначчи при решении этой задачи, считается первой исследованной в истории математики рекуррентной зависимостью.

Методы рекуррентных соотношений

‌Существо своей "задачи о размножении кроликов" Фибоначчи сформулировал предельно просто:

"Пусть в огороженном месте имеется пара кроликов (самка и самец) в первый день января. Эта пара кроликов производит новую пару кроликов в первый день февраля и затем в первый день каждого следующего месяца. Каждая новорожденная пара кроликов становится зрелой уже через месяц и затем через месяц дает жизнь новой паре кроликов. Возникает вопрос: "Сколько пар кроликов будет в огороженном месте через год, то есть через 12 месяцев с начала размножения?".

Демонстрация задачи о размножении кроликов
Демонстрация задачи о размножении кроликов

Для решения этой задачи, которая наглядно демонстрируется с помощью рисунка, обозначим через A пару зрелых кроликов, а через B - пару новорожденных кроликов. Тогда процесс "размножения" может быть описан с помощью двух "переходов", которые описывают ежемесячные превращения кроликов в процессе размножения.

Превращения кроликов в процессе размножения
Превращения кроликов в процессе размножения

Заметим, что первый переход моделирует ежемесячное превращение каждой зрелой пары кроликов А в две пары, а именно в ту же самую пару зрелых кроликов А и новорожденную пару кроликов В. Второй переход моделирует процесс "созревания" кроликов, когда новорожденная пара кроликов В через месяц превращается в зрелую пару А. Тогда, если мы начнем в первом месяце со зрелой пары А, тогда процесс размножения кроликов может быть представлен с помощью Таблицы:

Таблица размножения кроликов в задаче Фибоначчи
Таблица размножения кроликов в задаче Фибоначчи

Заметим, что в столбцах А и В таблицы указаны количества зрелых и новорожденных пар кроликов в каждом месяце года, а в таблице А+В - суммарное количество кроликов. Изучая последовательности А-, В- и (А+В)-чисел, можно установить следующую закономерность в этих числовых последовательностях: каждый член последовательности равен сумме двух предыдущих. Если теперь обозначить n-й член последовательности, удовлетворяющей этому правилу через Fn, тогда указанное выше общее правило может быть записано в виде следующей математической формулы:

Формула рекуррентной последовательности размножения кроликов
Формула рекуррентной последовательности размножения кроликов

Такая формула называется рекуррентной формулой. Заметим, что конкретные значения числовой последовательности, порождаемой рекуррентной формулой, зависят от начальных значений последовательности F1 и F2. Например, мы имеем F1 = F2 = 1 для A-чисел и для этого случая рекуррентная формула "генерирует" следующую числовую последовательность: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ..., и т.д.

Рекуррентный способ задания числовой последовательности
Рекуррентный способ задания числовой последовательности

Для В-чисел мы имеем: F1 = 0 и F2 = 1; тогда соответствующая числовая последовательность для этого случая будет иметь вид: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... . Наконец, для (А + В)-последовательности мы имеем: F1 = 1 и F2 = 2; тогда соответствующая числовая последовательность для этого случая будет иметь вид: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... . Эта последовательность представляет собой ряд Чисел Фибоначчи, которые обладают удивительными математическими свойствами.

Образование числовой последовательности в задаче о кроликах
Образование числовой последовательности в задаче о кроликах

Даже одной этой задачи хватило бы Фибоначчи, чтобы оставить след в истории науки. Именно в связи с ней сегодня чаще всего и упоминается имя ученого. Решая задачу о размножении кроликов, Леонардо описал бесконечную числовую последовательность, любой член которой, начиная с третьего, выражается через предыдущие члены.

Уравнение для решения задачи о кроликах
Уравнение для решения задачи о кроликах

Для математиков она является, прежде всего, классическим примером рекуррентной последовательности, элементы которой, числа Фибоначчи, обладают многими весьма интересными и нашедшими неожиданные применения свойствами. Из них широко известно следующее: предел отношения an+1 к an при неограниченном возрастании n устремляется к знаменитому числу Ф ≈ 1,618, выражающему божественную пропорцию.

Способы вычисления рекуррентных последовательностей

‌Что же касается ответа в задаче о кроликах, то (в соответствии с указанными в тексте условиями) он совпадает с 13-м членом построенной Леонардо последовательности 1, 2, 3, 5, 8, ... – числом 377. Здесь каждое число, начиная со второго, показывают, сколько всего пар кроликов будет насчитываться к началу очередного месяца.

Ответ на задачу о размножении кроликов
Ответ на задачу о размножении кроликов

Заметим, что Фибоначчи рассматривал свою задачу для взрослой пары кроликов (на это указывают слова «рождаются кролики со второго месяца»). Если же решать ее для новорожденной пары, получится последовательность; в таком случае ровно через год количество животных увеличится до 233 пар особей.

Задача Фибоначчи о взрослых кроликах
Задача Фибоначчи о взрослых кроликах

Спустя полтора столетия индийский математик Нарайана рассматривал похожую задачу: «найти число коров и телок, происходящих от одной коровы в течение 20 лет, при условии, что корова в начале каждого года приносит телку, а телка, достигнув трех лет, дает такое же потомство в начале года». Если решать задачу, составляя рекуррентное соотношение, придем к последовательности 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, ... .

Задача о размножении коров
Задача о размножении коров

  Исторические результаты деятельности Фибоначчи

Прижизненных портретов Фибоначчи не сохранилось, а существующие являются современными представлениями о нём. Леонардо Пизанский не оставил практически никаких автобиографических сведений; единственным исключением является второй абзац «Книги абака», где Фибоначчи излагает причины, побудившие его написать книгу, в которой он исследовал и раскрыл для Европы, многие древние научные достижения, включая и пресловутые числа Фибоначчи.

Портрет Леонардо Фибоначчи
Портрет Леонардо Фибоначчи

“Отец мой, родом из Пизы, служил синдиком на таможне в Бужи, в Африке, куда он меня взял с собою для изучения искусства считать. Удивительное искусство считать при помощи только девяти индусских знаков мне понравилось, что я непременно захотел познакомиться с тем, что известно об этом искусстве в Египте, Греции, Сирии, Сицилии и Провансе. Объехав все эти страны, я убедился, что индусская система счисления есть самая совершенная…Изучив основательно эту систему и всё к ней относящееся, прибавив свои собственные исследования и почерпнутое из “Начал” Евклида, я решился написать это сочинение”.

Евклид и его «Начала»

‌Фибоначчи в своей книге пишет: «Когда отцу моему была назначена должность таможенного чиновника, заведовавшего в Беджайе делами стекавшихся к нему пизанских торговцев, он призвал меня к себе, малого отрока, и предложил взять несколько уроков счётного искусства, сулившего немало благ и выгод для моего будущего.

Средневековые таможенные чиновники
Средневековые таможенные чиновники

Наученный благодаря мастерству учителей основам индийского счёта, я приобрёл большую любовь к оному искусству, а к тому же узнал, что всевозможными познаниями, касающимися заинтересовавшего меня предмета, владеют египтяне, сирийцы, греки, сицилийцы и провансальцы, развившие свои методы. Позже, во время торговых путешествий по всем этим краям, я посвятил много труда подробному изучению их методов, и, кроме того, научился искусству спора.

Система индийского счета

Однако по сравнению с методом индийцев, все их построения, включая подход алгорисмиков и учение Пифагора, кажутся почти заблуждениями, а потому я решил, изучив как можно внимательнее индийский метод, изложить его в пятнадцати главах, настолько понятно, насколько смогу, с добавлениями от собственного разума и с кое-какими полезными замечаниями из геометрии Евклида, вставленными по ходу сочинения.

Древнегреческий ученый Эвклид
Древнегреческий ученый Эвклид

Дабы пытливый читатель мог изучить индийский счёт наиболее вдумчивым образом, я сопроводил почти каждое утверждение убедительным доказательством; рассчитываю, что латинский народ отныне не будет лишён самых точных сведений об искусстве вычислений.

Искусство вычислений
Искусство вычислений

Если же, паче чаяния, я пропустил что-то более или менее важное, а может быть, необходимое, то молю о прощении, ибо нет среди людей никого, кто был бы безгрешен или обладал способностью всё предвидеть». Однако точный смысл этого абзаца нельзя считать полностью известным, потому что его текст, как и весь латинский текст книги, дошёл до нас с ошибками, внесёнными переписчиками.

Средневековый монах-переписчик
Средневековый монах-переписчик

Загадочные свойства чисел Фибоначчи, владели мыслью и чувствами многих выдающихся мыслителей прошлого, и продолжают волновать умы современников наших не ради самих математических свойств, а потому, что неотделимо от ценности объектов искусства и в то же время обнаруживает себя как признак структурного единства объектов природы.

Загадочные числа Фибоначчи

‌Скульптура, архитектура, музыка, астрономия, биология, психология, техника – вот те сферы, где, так или иначе, обнаруживает свою жизнь золотое сечение. Современные исследователи находят его при описании строения растений, пропорций тел животных, птиц, человека, в статистике популяций, в строении глаза и строении космоса и т. д.

Строение Космоса
Строение Космоса

Сегодня сущность гармонии невозможно выявить ни в биологии, ни в искусстве, ни в абстрактно-математических построениях, если рассматривать их раздельно, – здесь можно лишь наблюдать и осмысливать ее проявления, в чем нам помогает знаменитая последовательность чисел Фибоначчи. "Философия, – говорил Галилео Галилей, – написана в той величественной книге, которая постоянно открыта у нас перед глазами (я имею в виду Вселенную), но которую невозможно понять, если не научиться предварительно ее языку и не узнать те письмена, которыми она начертана".

Сущность гармонии в музыкальном искусстве

‌"Божественная пропорция – бесценное сокровище, одно из двух сокровищ геометрии", – развивает эту же мысль Кеплер. Действительно, гармония может быть расшифрована лишь на ее собственном языке, отображенном фундаментальными принципами естествознания, которые открыл для всего человечества Леонардо Пизанский при помощи своих знаменитых чисел Фибоначчи.

Божественные пропорции
Божественные пропорции

Сущность и свойства чисел Фибоначчи

Числа Фибоначчи – это элементы этой числовой последовательности, обозначаемой в Энциклопедии целочисленных последовательностей OEIS (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences), как последовательность A000045, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название возникло от имени Леонардо Фибоначчи. Иногда число 0 не рассматривается как член последовательности.

Энциклопедия целочисленных последовательностей OEIS
Энциклопедия целочисленных последовательностей OEIS

Эта закономерность в математике интересовала ещё одного ученого средневековья - Фому Аквинского. Движимый желанием «алгеброй гармонию измерить», учёный сделал вывод о прямой связи математики и красоты. Эстетические чувства, возникающие при созерцании гармоничных, пропорционально созданных природой объектов, Фома Аквинский объяснял тем же принципом суммационной последовательности.

Средневековый ученый Фома Аквинский
Средневековый ученый Фома Аквинский

Важно отметить, что Фибоначчи как бы напомнил свою последовательность человечеству. Она была известна еще древним грекам и египтянам. И действительно, с тех пор в природе, архитектуре, изобразительном искусстве, математике, физике, астрономии, биологии и многих других областях были найдены закономерности, описываемые коэффициентами Фибоначчи.

Закономерности Фибоначчи в окружающем мире

‌Просто удивительно, сколько постоянных можно вычислить при помощи последовательности Фибоначчи, и как ее члены проявляются в огромном количестве сочетаний. Однако не будет преувеличением сказать, что это не просто игра с числами, а самое важное математическое выражение природных явлений из всех когда-либо открытых.

Игра с числами
Игра с числами

Ряд Фибоначчи используют широко: с его помощью представляют архитектонику и живых существ, и рукотворных сооружений, и строение Галактик. Эти факты – свидетельства независимости числового ряда от условий его проявления, что является одним из признаков его универсальности.

Архитектоника

Асимптотический характер последовательности, ее колебания возле иррационального числа Ф, имеющие свойство затухать, станут понятнее, если рассмотреть соотношения первых членов этой последовательности. В примере ниже мы рассмотрим числа Фибоначчи, приведем отношение второго к первому члену, третьего ко второму и так далее. Двигаясь дальше по последовательности Фибоначчи, каждый ее новый член разделит следующий, все более и более приближаясь к недостижимому числу Фи.

Затухающие колебания
Затухающие колебания

Впоследствии мы увидим, что некоторые числа Фибоначчи, составляющие его суммационную последовательность, видны в динамике цен на различные товары; среди методов технического анализа Forex используются уровни Фибоначчи. Колебания отношений возле 1.618 на ту или иную величину могут быть обнаружены в Волновой Теории волн Эллиотта, в ней они фигурируют в Правиле чередования. Подсознательно каждый человек ищет пресловутую Божественную пропорцию, которая необходима для удовлетворения стремления к комфорту.

Стремление к комфорту
Стремление к комфорту

Числа Фибоначчи, точнее числовая последовательность, которую они образуют, в окружающем мире повсеместно проявляют свои математические, физические, нумерологические, фрактальные (самоподобные), онтологические (философские), и даже теологические, теософские и магические сущности и свойства.

Разнообразные сущности чисел Фибоначчи

  Математическая сущность чисел Фибоначчи

Числа Фибоначчи, или Последовательность Фибоначчи, представляют собой числовую последовательность, обладающую рядом математических свойств. Например, сумма двух соседних чисел последовательности дает значение следующего за ними числа (например, 1+1=2; 2+3=5 и т.д.), что свидетельствует о существовании, так называемых, коэффициентов Фибоначчи, т.е. постоянных соотношений между членами последовательности.

Соотношения между числами
Соотношения между числами

Более формально, последовательность чисел Фибоначчи задается линейным рекуррентным соотношением: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946... .

Рекуррентная последовательность чисел Фибоначчи
Рекуррентная последовательность чисел Фибоначчи

Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для отрицательных номеров n как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую тому же рекуррентному соотношению. Члены с такими номерами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»:

Формула для отрицательных номеров чисел Фибоначчи
Формула для отрицательных номеров чисел Фибоначчи

Последовательность Фибоначчи асимптотически (приближаясь все медленнее и медленнее) стремится к некоторому постоянному соотношению. Однако, это соотношение иррационально, то есть представляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробной части. Его невозможно выразить точно.

Бесконечные последовательности чисел

‌Последовательность Фибоначчи обладает весьма любопытными особенностями, не последняя из которых - почти постоянная взаимосвязь между числами.

Взаимосвязь между числами
Взаимосвязь между числами

Если какой-либо член последовательности Фибоначчи разделить на предшествующий ему (например, 13:8), результатом будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1.61803398875... и через раз, то превосходящая, то не достигающая его. Но, даже затратив на это Вечность, невозможно узнать соотношение точно, до последней десятичной цифры. Краткости ради, мы будем приводить его в виде 1,618.

Иррациональные числа

‌Отношение каждого числа к последующему более и более стремится к 0,618 при увеличении порядкового номера. Отношение же каждого числа к предыдущему стремится к 1.618 (обратному к 0.618). Обратите внимание, как значение соотношений колеблется вокруг этой величины 0,618, причем размах флуктуаций постепенно сужается; а также на величины: 1,00; 0,5; 0,67.

Флуктуации
Флуктуации

Особые названия этому соотношению начали давать еще до того, как Лука Пачиоли (средневековый математик) назвал его Божественной пропорцией. Среди его современных названий есть такие, как Золотое сечение, Золотое среднее и отношение вертящихся квадратов. Kеплеp назвал это соотношение одним из "сокровищ геометрии". В алгебре общепринято его обозначение греческой буквой фи Ф=1,618.

Число Фи
Число Фи

Последовательность Фибоначчи содержит и другие любопытные соотношения или коэффициенты, но те, которые мы только что привели - самые важные и известные. Как мы уже подчеркивали выше, на самом деле Фибоначчи не является первооткрывателем своей последовательности. Дело в том, что коэффициент 1,618 или 0,618 был известен еще древнегреческим и древнеегипетским математикам, которые называли его "золотым коэффициентом" или "золотым сечением".

Золотой коэффициент
Золотой коэффициент

Только это отношение – 0,618 : 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. Греческая буква «фи», первая буква имени Фидиас (Phidias), введённая для обозначения золотого сечения Марком Баром в начале 20 в. Фидиас (Phidias) – древнегреческий скульптор (490–430 BC), создал статуи Парфенона, которые своими пропорциями воплощают золотое сечение.

Древнегреческий скульптор Фидиас (Фидий)
Древнегреческий скульптор Фидиас (Фидий)

Его следы мы находим в музыке, изобразительном искусстве, архитектуре и биологии. Греки использовали принцип "золотого сечения" при строительстве Парфенона, египтяне – Великой пирамиды в Гизе. Свойства "золотого коэффициента" были хорошо известны Пифагору, Платону и Леонардо да Винчи.

Золотой коэффициент в музыке

‌Средневековый математик Лука Пачиоли (Fra Luca Bartolomeo de Pacioli) назвал это соотношение Божественной пропорцией. Кеплером суммационная последовательность названа "одним из сокровищ геометрии". В современной науке суммационная последовательность Фибоначчи имеет несколько названий, не менее поэтичных: Отношение вертящихся квадратов, Золотое среднее, Золотое сечение. В математике его обозначают греческой буквой фи.

Средневековый математик Лука Пачиоли (Пачоли)
Средневековый математик Лука Пачиоли (Пачоли)

При делении каждого числа на следующее за ним, через одно, получается число 0.382; наоборот – соответственно 2.618. Подбирая таким образом соотношения, получаем основной набор некоторых постоянных коэффициентов, называемых фибоначчиевыми коэффициентами: … 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236.

Коэффициенты Фибоначчи
Коэффициенты Фибоначчи

Операции над числами Фибоначчи довольно давно являются предметом математических исследований. Хорошо известна формула Люка, по которой можно рассчитать значение любого члена ряда Фибоначчи, исходя из номера члена в ряду и значения золотого числа, равного 1,618033… . Естественно, что сделать это для члена ряда с большим номером (например, с № 25) можно только с помощью современной быстродействующей ЭВМ, так как потребуется возвести иррациональное число в 26-ю степень.

Быстродействующая ЭВМ
Быстродействующая ЭВМ

Линейные преобразования применяют и для золотой пропорции, результатом которых может быть вычисление целого натурального числа через возведение в степень иррациональных чисел золотого сечения.

Линейные преобразования
Линейные преобразования
    Основные свойства чисел Фибоначчи

Числа Фибоначчи обладают целым рядом интересных и важных свойств, а также математических соотношений. Рассмотрим некоторые из них:

Сумма n первых чисел Фибоначчи может быть вычислена по следующей формуле:

Формула суммы чисел Фибоначчи
Формула суммы чисел Фибоначчи

Сумма чисел Фибоначчи с нечётными номерами вычисляется по следующей формуле:

Формула суммы чисел Фибоначчи с нечетными номерами
Формула суммы чисел Фибоначчи с нечетными номерами

Сумма чисел Фибоначчи с чётными номерами вычисляется по следующей формуле:

Формула суммы чисел Фибоначчи с четными номерами
Формула суммы чисел Фибоначчи с четными номерами

Сумма квадратов первых n чисел Фибоначчи вычисляется по следующей формуле:

Формула суммы квадратов чисел Фибоначчи
Формула суммы квадратов чисел Фибоначчи

Приведенные формулы можно доказать при помощи сложения очевидных равенств. Рассмотрим несколько свойств чисел Фибоначчи, которые можно доказать, используя метод математической индукции.

Формулы некоторых свойств чисел Фибоначчи
Формулы некоторых свойств чисел Фибоначчи

Рассмотрим свойства чисел Фибоначчи, связанные с делимостью. Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, т. е номеров чисел в последовательности Фибоначчи:

Формула наибольшего общего делителя чисел Фибоначчи
Формула наибольшего общего делителя чисел Фибоначчи

Следствия из этого свойства чисел Фибоначчи:

- Fn делится на Fm тогда и только тогда, когда n делится на m (за исключением m= 2);

- Fn делится на F3 = 2 (то есть является чётным) только при n = 3k;

- Fn делится на F4 = 3 только при n = 4k;

- Fn делится на F5 = 5 только при n = 5k;

- Fn делится на 7, если его номер делится на 8;

- Fn делится на 16, если его номер делится на 12.

Общие делители чисел

‌Fn является простым числом только для простых n (исключение n = 4). Два соседних числа ряда Фибоначчи являются взаимно простыми.

Взаимно простые числа

‌И ещё несколько любопытных свойств чисел Фибоначчи:

- произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи;

Произведение двух чисел
Произведение двух чисел

- в 1964 году Дж. Кон доказал, что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи с индексами 1, 2, 12:

Точные квадраты среди чисел Фибоначчи
Точные квадраты среди чисел Фибоначчи

- суммы биномиальных коэффициентов на диагоналях треугольника Паскаля являются числами Фибоначчи.

Треугольник Паскаля и числа Фибоначчи
Треугольник Паскаля и числа Фибоначчи

До сих пор мы определяли числа Фибоначчи рекуррентно, то есть по их номеру. Оказывается, что любое число Фибоначчи можно определить и непосредственно, как некоторую функцию его номера. Формула n-го члена последовательности Фибоначчи долгое время была неизвестна. Только в ХIХ веке её вывел французский математик, астроном и механик Жак Филиппа Мари Бине.

Формула Бине для вычисления чисел Фибоначчи
Формула Бине для вычисления чисел Фибоначчи

Числа Фибоначчи обладают особыми свойствами и в геометрии. Разделим отрезок AB единичной длины на две части так, чтобы большая из его частей являлась средним пропорциональным между меньшей его частью и всем отрезком.

Пропорциональное деление отрезка прямой
Пропорциональное деление отрезка прямой

Обозначим для этого искомую длину большей части отрезка через x. Очевидно, длина его меньшей части при этом будет равна 1–x, и условие задачи даёт пропорцию:

Формула пропорционального деления отрезка
Формула пропорционального деления отрезка

Положительным корнем этого уравнения является:

Положительный корень формулы деления отрезка
Положительный корень формулы деления отрезка

так что каждое из отношений в данной пропорции равно:

Формула отношений в пропорции деления отрезка
Формула отношений в пропорции деления отрезка

Такое деление (точкой C1) называют делением в среднем и крайнем отношении. Его часто называют также золотым делением, или золотым сечением. Если взять отрицательный корень уравнения, то делящая точка C2 окажется вне отрезка AB (такого рода деление в геометрии называется внешним делением). Легко показать, что и здесь мы имеем дело с золотым сечением:

Формула внешнего деления отрезка
Формула внешнего деления отрезка

  Фрактальная сущность чисел Фибоначчи

Наряду с математическими свойствами чисел Фибоначчи, многими философами и математиками рассматривается и фрактальная сущность чисел Фибоначчи. Фрактал (лат. fractus – дроблёный, сломанный, разбитый) – математическое множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей).

Процедура образования фрактальных кривых
Процедура образования фрактальных кривых

Слово «фрактал» употребляется не только в качестве математического термина. Фракталом может называться предмет, обладающий, по крайней мере, одним из указанных ниже свойств:

- является самоподобным или приближённо самоподобным;

Фрактальный кот Мандельброт
Фрактальный кот Мандельброт

- обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую;

Фрактальные и топологические размерности

‌- обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких как окружность, эллипс, график гладкой функции): если рассмотреть небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, то есть на всех шкалах можно увидеть одинаково сложную картину.

Фрактальные геометрические объекты
Фрактальные геометрические объекты

Многие объекты в природе обладают свойствами фрактала, например: побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, кровеносная система, система альвеол человека или животных. Числа Фибоначчи известны с XIII века, однако настоящий к ним интерес возник в XX веке со времени формирования теории фракталов и возрождения работ с использованием «золотого сечения».

Фрактальные объекты в природе и окружающем мире

‌Рекуррентный ряд Фибоначчи описывает непрерывный процесс изменений фрактального объекта, сами конкретные числа этого ряда соответствуют особым состояниям изменяющейся системы, гармоническим и относительно стабильным. Количественные соотношения характеристик (возможно, параметров порядка) устойчивых состояний равны числам золотой пропорции.

Стремление соотношений чисел Фибоначчи к Золотой пропорции
Стремление соотношений чисел Фибоначчи к Золотой пропорции

Таким образом, непрерывный динамический процесс фрактально организованной системы имеет особые состояния, для которых характерна стабильность и преобладание порядка над хаосом. Согласно существующим концепциям динамических фракталов и теории хаоса подобные устойчивые состояния могут рассматриваться как аттракторы, к которым стремится система в своем развитии.

Анимационные фракталы

Основное качество фракталов является следствием эволюционной природы процессов, так как любой фрактальный объект это результат истории сложной интерактивной самоорганизующейся системы. Следовательно, фрактал отражает способ функционирования такой системы, ее программу развития. Очевидно, что фрактальные свойства могут появиться при наличии устойчиво действующей программы развития интерактивной системы.

Самоорганизующаяся система
Самоорганизующаяся система

Моделью такой программы является правило итераций рациональных функций. В основе ряда чисел Фибоначчи лежит пошаговая рекуррентная схема как одна из простейших форм итераций, что нашло свое выражение в представленных уже в статье отношениях этого ряда с фрактальными свойствами. Можно ожидать, что ряд Фибоначчи будет удовлетворять и другим критериям фрактальных объектов.

Итерации рациональных функций

‌Известно, что фрактальные объекты характеризуются дробной, а не целочисленной размерностью. Это свойство с очевидностью проявляется в такой хорошо известной и уже описанной в статье характеристике ряда Фибоначчи как отношение соседних членов: каждого последующего к каждому предшествующему, равное величине золотой пропорции, иррациональному числу (1,681033…).

Дробная размерность
Дробная размерность

Следовательно, указанному фрактальному критерию ряд Фибоначчи подчиняется как целиком, так и в отдельных своих частях в случае, если число членов ряда достаточно велико (более 17), так как первые семнадцать подобных соотношений, волнообразно изменяясь, только приближаются к значению золотого сечения.

Фрактальные критерии
Фрактальные критерии

Когда идет речь о причинах наличия фрактальных свойств в реальных динамических системах, то высказывается идея об обусловленности фракталов более глобальными и длительными процессами, порождающими наблюдаемые фрактальные природные явления. Идеальный объект типа ряда Фибоначчи не подвержен никаким случайным влияниям и искать временное или иное самоподобие необходимо с помощью также идеальных процедур.

Фрактальная бесконечность

Для решения этой задачи можно привлечь представления об ассоциативности такого оператора как суммирование, так как поэтапное воздействие суммирования на операнды, представленные в нашем случае в виде конкретных чисел Фибоначчи, равнозначно преобразованию уже преобразованных идеальных объектов с сохранением природы этого идеального объекта, но находящегося в иной фазе, возможно, как мы полагаем, в ином масштабе.

Числовой фрактальный треугольник
Числовой фрактальный треугольник

Фрактальные свойства реальных природных процессов являются отражением сбоя идеальной рекуррентной программы или борьбы и смены двух (а может быть и более) идеальных программ. Чем чаще меняются программы или происходят отклонения в действии одной программы, тем сложнее выглядит процесс, тем дальше он отстоит от идеального фрактала, один из образцов которого был получен Фибоначчи около 800 лет назад.

Фракталы в анализе финансовых рынков
Фракталы в анализе финансовых рынков

  Нумерологическая, теософская и магическая сущности чисел Фибоначчи

Все встреченные нами в литературе математические операции над числами Фибоначчи и золотой пропорцией относятся к преобразованиям так называемой системы абсолютно счислимых чисел, которая не пересекается с древней числовой системой – магической, восходящей к пифагорейско-платоновской традиции.

Магическая сущность чисел Фибоначчи

‌Принципиальные отличия двух этих систем показаны в работе знаменитого немецкого математика Германа Вейля, согласно которой основные качества чисел в магической математике связаны с их теоретико-смысловыми свойствами, тогда как в естественнонаучной системе знаний – с их свойствами в виде определенных величин.

Немецкий математик Герман Клаус Гуго Вейль
Немецкий математик Герман Клаус Гуго Вейль

Современный читатель, тем более материалистически ориентированный исследователь, мало знаком с магической (архаической) математикой, лежащей в основе различных нумерологических операций, несмотря на известные теоретические работы А. Лосева. А. Лосев, анализируя античную культуру, большое внимание уделил проблемам числа и золотой пропорции, многократно возвращаясь к формулировке Прокла о том, что число – это единичность, данная как подвижный покой самотождественного различия.

Магическая математика

‌Смысл древнейшего представления о числе ускользает от нас – людей XX-XXI веков из-за его парадоксальности, сочетания в одном утверждении таких противоречивых характеристик, как подвижность и покой или самотождественность и различие. Снятие противоречий, очевидно, происходит через категорию единичности, уникальности каждого конкретного числа.

Самотождественность
Самотождественность

Представления Прокла в интерпретации А. Лосева были подхвачены М. Марутаевым, согласно которому только число – самый конкретный и одновременно абстрактный математический образ из-за его способности выражать не только количество, но и качество, что может определять единичность события или вещи (объекта).

Русский философ профессор Алексей Федорович Лосев
Русский философ профессор Алексей Федорович Лосев

Обращаясь к истории развития науки как таковой, можно отметить, что расширение и углубление знаний в какой-либо определенной области практически всегда заканчивалось дифференциацией научной области на более частные отрасли. Началом такого деления было расчленение некогда единой системы знаний на сведения материального плана в виде предмета точных и естественных наук и на сведения религиозного, магического содержания, которыми долгое время наука пренебрегала.

Точные и естественные науки
Точные и естественные науки

Однако существовавшее ранее единство можно обнаружить и по сей день, причем подчас самым неожиданным образом. В качестве примера можно привести хорошо знакомую со второго класса школы таблицу умножения, преобразованную из известной всем таблицы Пифагора.

Таблица Пифагора

‌Но гораздо менее известно, что данная таблица Пифагора является заготовкой и для составления таблицы, называемой «Ведическим квадратом». Этот квадрат использовался и поныне используется, с одной стороны, для осуществления магических практик, а, с другой, – для составления узоров ковров, картин, полотен художниками и мастерами древнего и современного Востока.

Ведический квадрат
Ведический квадрат

Принцип получения Ведического квадрата достаточно прост и для его расчетов на базе таблицы Пифагора используется издавна известный (скорее всего ранее V - VI вв. до н. э.) и весьма распространенный в нумерологии прием теософской редукции.

Философия ведического квадрата

Теософская редукция подразумевает преобразование исходного числа путем сложения всех его цифр до последнего, минимально возможного значения, пока не получится одна итоговая цифра, равная или меньшая девятки (9). Например, число 39 преобразуется следующим образом: 3 + 9 = 12, а 1+2 = 3. Полученное число 3 и будет итогом этой процедуры.

Теософская редукция
Теософская редукция

Представленный в таблице «Ведический квадрат», получаемый с помощью приема теософской редукции, как раз и позволяет осуществлять практику магии (прежде всего гадания) и создавать произведения, имеющие определенную художественную ценность за счет так называемой «игры» чисел-противоположностей.

Практика магии
Практика магии

Применение процедуры теософской редукции позволило обнаружить еще один скрытый, ранее не известный, закон самоподобия чисел Фибоначчи. Давно было известно, что каждое конкретное число Фибоначчи, формируя непрерывный ряд конкретных и дискретных чисел, строго соотносится с соседними членами через величину золотой пропорции.

Теософия

‌Помимо этого, каждое число Фибоначчи, занимающее определенное место в периоде из 24 чисел, соотносится также строго определенным образом с другим числом Фибоначчи, которое занимает такое же место в следующем, соседнем периоде (как уже указывалось выше, значение этого отношения равно 103682,0), демонстрируя тем самым принцип дискретного подобия в непрерывном ряду.

Основные принципы дискретного подобия
Основные принципы дискретного подобия

Кроме того, как уже было выше показано, применение теософской редукции позволило описать не менее важную самотождественность этих периодов, содержащих редуцированные числа в строго определенной позиционной последовательности. В ряду чисел, построенных по тому же правилу итерации, как в случае ряда Фибоначчи, но с иными исходными числами, обнаружены все те же свойства, описанные для ряда Фибоначчи.

Редуцирование чисел
Редуцирование чисел

Наконец, если произвести еще раз суммирование всех значений полученных чисел теософской редукции в 24-хчленном ряду (применить еще раз процедуру теософской редукции к уже редуцированному ряду), то мы получим один и тот же результат во всех без исключения случаях. Последняя возможная теософская редукция дает натуральное число 9.

Магическое натуральное число девять
Магическое натуральное число девять

Следовательно, весь бесконечный и возрастающий ряд больших и сверхбольших чисел в пределе редуцируется до одной и той же величины, равной 9. Таким образом, идеальный фрактал в виде ряда Фибоначчи, отображающий реальные природные процессы и являющийся частным случаем семейства таких фракталов, выражается через число 9.

Сверхбольшие числа

‌Учитывая еще одну любопытную частность, связанную с тем, что число членов в повторяющемся периоде, равное 24, само дает в виде теософской редукции число 6, графически подобное числу 9, нас заинтересовала возможная нумерологическая интерпретация обнаруженных нами фактов.

Нумерология
Нумерология

Использование измененной процедуры теософской редукции позволило также увидеть самоподобие ряда через тот же 24-х-членный период, сумма всех редуцированных чисел которого так же, как и в ряду Фибоначчи, равняется 9. Единственное и существенное отличие этого ряда с более длинной памятью от всех ранее представленных заключается в иной частотности редуцированных чисел в пределах одного периода.

Самоподобие числовых рядов
Самоподобие числовых рядов

Эмпирически установлено, что многие свойства ряда Фибоначчи и его аналогов действительно не зависят от начальных условий и частично определяются глубиной итерационной процедуры.

Итерационные процедуры

‌При соблюдении постоянства процедуры получения последующих чисел имеется дробная размерность ряда и его самоподобие. Если нарушить постоянство глубины итерационной процедуры, то мы будем иметь переход на другие конкретные отношения соседних членов и на иные последовательности чисел теософской редукции больших и сверхбольших чисел, что может быть рассмотрено как модель бифуркационного процесса.

Бифуркационные процессы

‌Конечным итогом рассмотрения этих идеальных случаев является идея о том, что независимо от начальных условий и глубины итерационной процедуры все приходит к одному и тому же концу, если последовательно использовать прием теософской редукции в отношении ряда Фибоначчи.

Глубина итерационной процедуры
Глубина итерационной процедуры

В представленном материале, полученном в результате синтеза естественнонаучных и магических подходов, оказалось большое число загадочных совпадений, а также красивой и, наверное, неслучайной математической игры, что может быть рассмотрено более подробно в русле нумерологической традиции.

Магия чисел
Магия чисел

Имеет смысл начать с того, что в нумерологии числа рассматриваются Идеи-Силы как посредники между видимым (проявленным) и невидимым планом. Соответственно, любые операции с числами подразумевают не просто увеличение или уменьшение количества единиц, а определенное взаимодействие материального и духовного (идеального) аспектов бытия.

Аспекты бытия и человеческого сознания

‌Так, согласно теории известного французского оккультиста Папюса процедура сложения трактуется как нисхождение духа в материальный план, тогда как операция вычитания, наоборот, есть восхождение в план духовный. Аналогичным образом рассматриваются операции умножения и деления. Стоит особо оговорить, что процедура теософской редукции, несмотря на то, что в ее основе лежит сложение, символизирует собой восхождение в план духовный в силу преобразования исходного, большего по значению числа до его последнего, минимально возможного значения.

Французский оккультист Жерар Анаклет Венсан Анкоосс (Папюс)
Французский оккультист Жерар Анаклет Венсан Анкоосс (Папюс)

Согласно эзотерическим учениям, всякое творение обязательно включает в себя три главных плана:

- духовный (божественный), самый высший план;

Духовный план сознания человека
Духовный план сознания человека

- астральный (витальный, ментальный), или промежуточный план;

Астральный план человеческого сознания

‌- материальный, физический и, соответственно, самый низший план.

Материальный план человеческого бытия
Материальный план человеческого бытия

Все три указанных плана соотносятся между собой посредством числа. Причем первые девять натуральных чисел во многих учениях трактуются как божественные и архетипические, числа сущности, идеи, тогда как числа двузначные и т.д. определяются как числа творения.

Архитипические числа

Если дальше продолжать мыслить теми же категориями, то достаточно нетрудно обнаружить и самый низший план творения – материальный, в качестве которого выступают непосредственно сами числа Фибоначчи. Причем, увеличение каждого последующего числа в результате сложения двух предыдущих можно трактовать как нисхождение духа в материю с нарастанием плотности последней.

Нисхождение духа в материю
Нисхождение духа в материю

Промежуточный план (астральный, витальный), вероятно, может быть обозначен как итог сложения цифр, составляющих каждое конкретное число Фибоначчи. Например, число 196418 преобразуется следующим образом: 1+9 + 6 + 4+1 + 8 = 29. При этом данное число 29 остается как итоговое, окончательная процедура теософской редукции не осуществляется. К сожалению, нам не удалось найти однозначного названия данной процедуры, хотя дальнейший анализ полученных результатов определенно свидетельствует о ее существовании.

Процедура теософской редукции
Процедура теософской редукции

Следующим этапом нашего анализа стал промежуточный (астральный, витальный) план творения, условно представленный в нашем случае неполностью редуцированными числами Фибоначчи. Данный промежуточный план творения в литературе по оккультизму именуют астральным, витальным, ментальным, жизненным, энергоинформационным планом развития системы. Он оказался одновременно самым интересным и, пожалуй, самым сложным для анализа и интерпретации полученных результатов.

Энергоинформационный план развития

‌Проделанная учеными работа позволяет выразить свое согласие с этим мнением и поблагодарить за предоставленную уникальную возможность этот путь частично, в меру знаний и сил, проследить. При этом мы отдаем себе отчет в том, насколько несовершенно наше изложение полученных результатов нетрадиционного преобразования ряда Фибоначчи.

Преобразование ряда Фибоначчи
Преобразование ряда Фибоначчи

В одном из своих трудов Пагаос (Жерар Ан-косс), ссылаясь на мнение высочайших учителей, высказал мысль, что приемы теософской редукции и теософского сложения (последний нами был использован, но не вошел в данную статью – это путь, которым следует природа в своих творениях.

Путь творения

‌Некоторые процедуры и их итог не упоминаются в доступной нам нумерологической или еще какой-либо литературе, что потребовало от нас введения некоторых, пока еще «сырых» понятий. Главная проблема описания полученных нами результатов, которая в процессе работы над статьей стала очевидна, – это поиск адекватного формального языка интерпретаций эмпирических закономерностей трансформации ряда Фибоначчи.

Эмпирические закономерности научного познания
Эмпирические закономерности научного познания

Числа Фибоначчи в Книге Абака

Всемирно известная последовательность чисел Фибоначчи впервые была проанализирована и описана в самом грандиозном научном труде Леонардо Пизанского Книге Абака (Liber abaci). Книга Абака – главное научное творение Фибоначчи (Леонардо из Пизы), посвященное изложению и пропаганде десятичной арифметики. Книга вышла в 1202 г., второе переработанное издание – в 1228 г. До наших дней дошло только второе издание. Под словом «абак» Леонардо Фибоначчи подразумевал арифметические вычисления.

Арифметические вычисления
Арифметические вычисления

Книга Абака Фибоначчи состоит из 15 глав (книг) и содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени, изложенные с исключительной полнотой и глубиной.

Книга Абака из 15 глав - главный труд Фибоначчи
Книга Абака из 15 глав - главный труд Фибоначчи

Этот объемный научный труд, насчитывающий в печатном варианте 459 страниц, стал настоящей энциклопедией математических знаний того времени и сыграл важную роль в их распространении в странах Западной Европы в следующие несколько столетий. Работа написана на латыни и считается первым сочинением такого рода, автор которого был христианином.

Научное значение Книги Абака
Научное значение Книги Абака

Леонардо Фибоначчи был хорошо знаком (по арабским переводам) с достижениями древних греков и индийцев. Он систематизировал значительную их часть в своей книге. Немаловажно, что книга Фибоначчи была написана простым языком и рассчитана на тех, кто занимается практическим счётом - в первую очередь торговцев. Его изложение по ясности, полноте и глубине сразу стало выше всех античных и исламских прототипов, и долгое время, почти до времени Декарта, было непревзойдённым. Книга посвящена известному астрологу Микаелю Скотусу.

Астролог Микаель Скотус
Астролог Микаель Скотус

В энциклопедической Книге Абака Леонардо Фибоначчи, состоящей из 15 отдельных книг (глав), рассматривался весьма обширный круг вопросов:

- индусская система нумерации;

Индусская система нумерации
Индусская система нумерации

- правила действий над целыми числами;

Арифметические действия над целыми числами
Арифметические действия над целыми числами

- дроби и смешанные числа;

Арифметические операции с дробями и смешанными числами

‌- разложение чисел на простые множители;

Разложение натуральных чисел на простые множители

‌- признаки делимости натуральных чисел;

Признаки делимости натуральных чисел
Признаки делимости натуральных чисел

- учение об иррациональных величинах;

Иррациональные числа

‌- способы приближенного вычисления квадратных и кубических корней;

Квадратный корень
Квадратный корень

- математические свойства пропорции;

Пропорции и их свойства

‌- арифметическая и геометрическая прогрессии;

Геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия

- линейные уравнения и их системы;

Решение линейных уравнений

‌- отдельная глава была посвящена квадратным уравнениям и геометрическим задачам на применение теоремы Пифагора.

Основные понятия квадратных уравнений

‌Первые пять глав книги посвящены арифметике целых чисел на основе десятичной нумерации. Книга I вводит арабо-индийские цифры, сразу описывает алгоритм умножения (который в новой системе неизмеримо проще, чем в старой, римской) и показывает, как преобразовать числа из старой системы в новую. Стоит отметить, что Фибоначчи вводит как самостоятельное число и ноль (zero), название которого производит от zephirum, латинской формы «ас-сифр» (пустой).

Десятичная система счисления на основе арабо-индийских цифр
Десятичная система счисления на основе арабо-индийских цифр

Книга II содержит многочисленные практические примеры денежных расчётов. В книге III излагаются разнообразные математические задачи - например, китайская теорема об остатках, совершенные числа, прогрессии и прочее. В книге IV даются методы приближённого вычисления и геометрического построения корней и других иррациональных чисел на основе математических свойств последовательности Фибоначчи. Далее идут разнообразные приложения и решение уравнений.

Совершенные числа
Совершенные числа

В книге VI и VII Леонардо излагает действия над обыкновенными дробями. В книге VIII-X изложены приёмы решения задач коммерческой арифметики, основанные на пропорциях. В книге XI рассмотрены задачи на смешение. В книге XII приводятся задачи на суммирование рядов - арифметической и геометрической прогрессий, ряда квадратов и, впервые в истории математики, возвратного ряда, приводящего к последовательности так называемых чисел Фибоначчи.

Последовательность Фибоначчи

‌В книге XIII излагается правило двух ложных положений и ряд других задач, приводимых к линейным уравнениям. В книге XIV Леонардо на числовых примерах разъясняет способы приближённого извлечения квадратного и кубического корней. Наконец, в XV книге собран ряд задач на применение теоремы Пифагора и большое число примеров на квадратные уравнения. Леонардо впервые в Европе использовал отрицательные числа, которые рассматривал как займ.

Извлечение квадратного корня
Извлечение квадратного корня

Часть задач - на суммирование рядов. В связи с контролем вычислений по модулю приводятся признаки делимости на 2, 3, 5, 9. Изложена содержательная теория делимости, в том числе наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Именно здесь помещена задача о кроликах, приводящая к знаменитому ряду Фибоначчи.

Признаки делимости чисел

‌Многие важные задачи впервые стали известны именно из книги Леонардо; однако даже при изложении классических задач он внёс много нового. Методы решения уравнений часто оригинальные, по существу алгебраические, хотя символика отсутствует. Во многих вопросах Леонардо пошёл дальше китайцев. Фибоначчи - впервые в Европе - свободно обращается с отрицательными числами, толкуя их в индийском стиле, как займ. Самостоятельно открыл несколько численных методов (некоторые из них, впрочем, были известны арабам).

Отрицательные числа

‌«Liber abaci», или трактат по арифметике (а именно так можно истолковать название, поскольку под «абаком» Леонардо понимал не счетную доску, а арифметику), отличалась полнотой охвата и глубиной изложения. В ней подробно разъяснялись не только азы науки о числах и действиях над ними, но и основы учения об уравнениях, т.е. алгебры.

Счетная доска Абак
Счетная доска Абак

Само изложение было словесным, лишенным привычных для современного читателя символов и формул, а решение примеров и задач, носивших, как мы говорим сегодня, частный характер, сводилось к описанию действий, которые следовало применить в той или иной конкретной ситуации, и нередко сопровождалось иллюстрациями, разъяснениями или полезными комментариями автора.

Текст Книги Абака сопровождался иллюстрациями
Текст Книги Абака сопровождался иллюстрациями

В своем труде Леонардо Фибоначчи упоминал о разных нумерациях, как известных у него на родине, так и использовавшихся в странах Востока, которые он посетил, и показал преимущества индусской системы счисления. А начинался трактат так: «Девять индусских знаков суть следующие: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. С помощью этих знаков и знака 0, который называется по-арабски «сифр», можно написать какое угодно число». Арабско-индусские символы обозначения цифр стали прародителями знаменитых Чисел Фибоначчи.

Десятичная нумерация в разных странах
Десятичная нумерация в разных странах

Основную часть сведений Леонардо кропотливо собирал, путешествуя по разным странам как купец, кое-что почерпнул из трудов Евклида (а по сути - из наследия античных математиков). Особую ценность представляло подробное изложение малоизвестной тогда в Европе индусской (десятичной) системы счисления и новых методов вычисления, позволявших заметно упростить всевозможные расчеты и успешно решать большой круг задач. Именно десятичная система счисления и позволила сформировать и изучить свойства последовательности чисел Фибоначчи.

Десятичная система счисления презентация

‌Надо сказать, что отдельные случаи использования этой системы встречались и ранее. С Востока ее привозили паломники, ученые, купцы, посланники и военные. Наиболее древний европейский манускрипт, в котором упоминаются придуманные индусами цифры, относится еще к концу X века. Однако десятичная система счисления очень медленно проникала в западные страны и получила там широкое распространение лишь в эпоху Возрождения, благодаря усилиям и просветительской деятельности Фибоначчи.

Превосходство десятичной системы счисления над римской
Превосходство десятичной системы счисления над римской

Но Леонардо Пизанский был не только автором-составителем книги-энциклопедии «Liber abaci». В ней математик отразил и результаты собственных научных изысканий. В частности, в этом труде он впервые:

- сформулировал правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии, а также других рекуррентных последовательностей чисел, включая знаменитый числовой ряд Фибоначчи;

Поиск суммы арифметической прогрессии

‌- рассмотрел возвратную последовательность, в которой каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предшествующих ему чисел;

Возвратные или рекуррентные последовательности чисел
Возвратные или рекуррентные последовательности чисел

- ввел термин «частное» для обозначения результата деления;

Частное от деления
Частное от деления

- описал способ приведения дробей к общему знаменателю с помощью нахождения наименьшего общего кратного знаменателей (более рациональный, чем использовали арабские математики).

Приведение дробей к общему знаменателю

‌Кроме того, Фибоначчи самостоятельно разработал ряд алгебраических приемов решения задач, исследовал некоторые уравнения высших степеней, сводящиеся к квадратным, и первым среди европейских ученых подошел к введению отрицательных чисел и их толкованию как задолженности, что по тем временам являлось огромным достижением. В большинстве этих исследований и математических разработок были использованы удивительные свойства чисел Фибоначчи.

Квадратные уравнения
Квадратные уравнения

Золотые фигуры и числа Фибоначчи

Изучение свойств геометрических фигур привлекало внимание древнегреческих учёных ещё задолго до эпохи Фибоначчи. Пифагорейцы, выбравшие эмблемой своего союза пентаграмму - пятиконечную звезду, придавали очень большое значение задаче о делении окружности на равные части, то есть о построении правильного вписанного многоугольника. Альбрехт Дюрер (1471-1527гг.), ставший олицетворением Возрождения в Германии приводит теоретически точный способ построения правильного пятиугольника, заимствованный из великого сочинения Птолемея "Альмагест".

Средневековый немецкий живописец Альбрехт Дюрер
Средневековый немецкий живописец Альбрехт Дюрер

Интерес Дюрера к построению правильных многоугольников отражает использование их в Средние века в арабских и готических орнаментах, а после изобретения огнестрельного оружия - в планировке крепостей. Средневековые способы построения правильных многоугольников носили приближенный характер, но были (или не могли не быть) простыми: предпочтение отдавалось способам построения, не требующим даже изменять раствор циркуля.

Построение правильных многоугольников

‌Леонардо да Винчи также много писал о многоугольниках, но именно Дюрер, а не Да Винчи, передал средневековые способы построения потомкам. Дюрер, конечно, был знаком с "Началами" Евклида, но не привел в своем "Руководстве к измерению" (о построениях при помощи циркуля и линейки) предложенный Евклидом способ построения правильного пятиугольника, теоретически точный, как и все евклидовы построения.

Портрет Леонардо да Винчи
Портрет Леонардо да Винчи

Евклид не пытается разделить заданную дугу окружности на три равные части, и Дюрер знал, хотя доказательство было найдено лишь в XIX веке, что эта задача неразрешима. Предложенное Евклидом построение правильного пятиугольника включает в себя деление отрезка прямой в среднем и крайнем отношении, названное впоследствии золотым сечением и привлекавшим к себе внимание художников и архитекторов на протяжении нескольких столетий.

Деление окружности на три равные части

‌Впоследствие, в прикладной геометрии были открыты и исследованы многие геометрические фигуры и объемные тела (прямоугольники, спирали, пирамиды и т.д.), названные «золотыми», связанные напрямую с так называемой «Золотой Пропорцией» или «Золотым сечением». Все эти геометрические объекты обладали удивительными свойствами, и, как выяснилось, имели прямое отношение к числовой последовательности, названной именем Леонардо Фибоначчи.

Золотые геометрические фигуры
Золотые геометрические фигуры

  Числа Фибоначчи и Золотое сечение

Золотое сечение (золотая пропорция) – это деление некоторой величины в крайнем и среднем отношении (например, длины отрезка) на две части таким образом, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению всей величины к её большей части. Или, если использовать вычисленную величину золотого сечения, - это деление величины на две части - 62% и 38% (процентные значения округлены). Приблизительная величина золотого сечения равна 1,6180339887.

Схема Золотого сечения
Схема Золотого сечения

Другими словами, Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью 0,618..., если c принять за единицу, a = 0,382. Числа 0.618 и 0.382 являются коэффициентами последовательности Фибоначчи.

Золотая пропорция
Золотая пропорция

На этой пропорции базируются основные геометрические фигуры. Прямоугольник с таким отношением сторон стали называть золотым прямоугольником. Он также обладает интересными свойствами. Если от него отрезать квадрат, то останется вновь золотой прямоугольник. Этот процесс можно продолжать до бесконечности. В звездчатом пятиугольнике каждая из пяти линий, составляющих эту фигуру, делит другую в отношении золотого сечения, а концы звезды являются золотыми треугольниками.

Звездчатый пятиугольник или пентаграмма
Звездчатый пятиугольник или пентаграмма

Природа не пользуется золотым сечением сразу. Она его получает путем последовательных итераций и для порождения золотого сечения пользуется другим рядом, называемым последовательностью Фибоначчи.

Природа Золотого сечения

‌Но золотое сечение проявляет себя и в природе. Наше тело, лицо, сердечный ритм и почерк - все подчинено этой пропорции, вплоть до клеточного уровня. Золотое сечение может быть обнаружено в каждом человеческом существе - не важно, насколько он высок или низок - при разделении на уровне пупка. Даже биржевые курсы и алфавит иврита содержать золотое отношение Фибоначчи.

Пропорции Золотого сечения по Фибоначчи
Пропорции Золотого сечения по Фибоначчи

Золотое сечение или отношение - математическая пропорция, которая проявляется повсеместно в природе. Числа Фибоначчи могли бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого сечения.

Золотое сечение и его пропорции

‌С незапамятных времен эта пропорция или соотношение 1,6180339887…, называемое Золотым числом Фи, считается наивысшей из возможных пропорцией совершенства, гармонии, а иногда и божественности. Золотое отношение можно обнаружить во всем - произведений искусства до архитектуры и музыки. Примером этого являются собор Нотр-Дам в Париже, великие египетские пирамиды и даже музыкальные произведения Моцарта.

Золотое число Фи
Золотое число Фи

Математическая прогрессия, известная как ряд Фибоначчи, имеет особое отношение к числу Фи и Золотому сечению. Принципы этого ряда впервые изложил средневековый математик Леонардо Фибоначчи. Этот ряд использовали для описания многих явлений природы. Вот эта последовательность: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 и так далее. Для того чтобы получить каждое следующее число в этом ряду, надо сложить два предыдущих: 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13 и так далее.

Число Фи и Золотое сечение

‌У этой последовательности очень интересное соотношение с числом фи: если разделить каждый член этого ряда на предыдущий, полученные результаты будут стремиться к трансцендентному числу 1,6180339.… Вот убедитесь сами: 1/1=1, 2/1=2, 3/2=1.5, 5/3=1.66, 13/8=1.625, 21/13=1.615, 34/21=1.619, 55/34=1.617, 89/55=1.6181, чем дальше вы будете продолжать считать, тем ближе будете подходить к числу фи. Конечно, вы никогда не дойдете до него, потому что у него нет арифметического решения, но вы будете бесконечно приближаться к нему.

Бесконечное приближение к числу Фи
Бесконечное приближение к числу Фи
    История Золотого сечения

Принято считать, что понятие о золотом сечении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

История Золотого сечения
История Золотого сечения

Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамсеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

История теории Золотого сечения

Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог "Тимей" посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления. Греки же были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.

Динамические прямоугольники
Динамические прямоугольники

Знаменитый Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

Античный циркуль золотого сечения
Античный циркуль золотого сечения

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в "Началах" Евклида. Во 2-й книге "Начал" дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам "Начал" Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

Основатели теории Золотого сечения
Основатели теории Золотого сечения

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что в итальянских художниках большой эмпирический опыт, но недостаток знаний. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем.

Ученый и художник Леонардо да Винчи

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли "Божественная пропорция" с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи.

Титульная страница книги Пачоли Божественная пропорция
Титульная страница книги Пачоли Божественная пропорция

Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее "божественную суть" как выражение божественного триединства: бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок - бога отца, а весь отрезок - бога духа святого).

Божественная сущность Золотой пропорции

‌Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

Сечения стереометрических тел
Сечения стереометрических тел

В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет: "Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать".

Страница из Трактата о пропорциях Альбрехта Дюрера
Страница из Трактата о пропорциях Альбрехта Дюрера

Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица - ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.

Пропорциональный циркуль Дюрера
Пропорциональный циркуль Дюрера

Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд). Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m(φ), рядом откладываем отрезок M. На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов.

Построение шкалы отрезков золотой пропорции
Построение шкалы отрезков золотой пропорции

В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы "вместе с водой выплеснули и ребенка". Вновь "открыто" золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 году немецкий исследователь золотого сечения профессор Адольф Цейзинг опубликовал свой труд "Эстетические исследования".

Немецкий поэт и философ профессор Адольф Цейзинг
Немецкий поэт и философ профессор Адольф Цейзинг

С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях "математической эстетикой".

Математические эстетические исследования профессора Цейзинга
Математические эстетические исследования профессора Цейзинга

Один из исторических способов деления отрезка прямой в Золотой пропорции приведен на следующем чертеже. Из точки В восстанавливается перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Деление отрезка прямой в Золотой пропорции
Деление отрезка прямой в Золотой пропорции

Именно эти отрезки использовал Евклид при построении правильного пятиугольника, т.к. каждая из сторон пятиугольной звезды делится другими именно в такой пропорции. Таким образом, звездчатый пятиугольник также обладает «золотым сечением». Интересно, что внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и это отношение будет сохраняться. Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком.

Построение правильного пятиугольника и пентаграммы

‌В настоящее время существует гипотеза, что пентаграмма – первичное понятие, а «золотое сечение» вторично. Пентаграмму никто не изобретал, ее только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют пятилепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды. Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Поэтому естественно предположить, что геометрический образ этих объектов – пентаграмма – стала известна раньше, чем «золотая» пропорция.

Пятилепестковые цветы льна
Пятилепестковые цветы льна

В нумерологии и магии прямая пентаграмма, с одним лучом кверху, символизирует человека (в неё вписываются голова, руки, ноги), обратная, с двумя лучами кверху — дьявола (Козёл Мендеса, похожий на голову с козлиной бородой, ушами и рогами).

Козел Мендеса
Козел Мендеса

Некоторые исследователи считают Козла Мендеса совершенно другим символом, извращенной формой пентаграммы. Аналогичным образом, различают также «мужскую» и «женскую» пентаграммы (женская — с двумя лучами кверху). Иногда (особенно в Алхимии) пентаграмма упоминается как защитный знак, так как вызванный демон не мог переступить её линий.

Мужская и женская пентаграммы
Мужская и женская пентаграммы

  Числа Фибоначчи и Золотой прямоугольник

Числа и коэффициенты последовательности Фибоначчи, золотое число Фи и золотое сечение очень широко используются в геометрии и имеют тесную связь с другими геометрическими фигурами, называемыми «золотыми». Для начала рассмотрим геометрические характеристики, так называемого, «золотого прямоугольника», который имеет следующее геометрическое определение. Прямоугольник называется «золотым», если в нем отношение большей стороны к меньшей равно золотой пропорции.

Определение Золотого прямоугольника
Определение Золотого прямоугольника

Любой отрезок может быть разделен таким образом, что соотношение между его меньшей и большей частями будет равно отношению между большей частью и всем отрезком. Это отношение всегда равно 0.618. Если использовать это соотношение при построении прямоугольной фигуры – мы получим Золотой прямоугольник.

Отношение сторон равно золотой пропорции
Отношение сторон равно золотой пропорции

Стороны Золотого прямоугольника находятся в пропорции 1,618 к 1. Чтобы построить Золотой прямоугольник, начните с квадрата со сторонами в 2 единицы и проведите линию от середины одной из его сторон к одному из углов у противоположной стороны, как показано на рисунке. Треугольник EDB – прямоугольный. Пифагор в свое время доказал, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов. В этом случае, длина гипотенузы ЕВ тогда равна корню квадратному из 5.

Первый этап построения золотого прямоугольника
Первый этап построения золотого прямоугольника

Следующий шаг в построении Золотого прямоугольника заключается в продолжении линии CD до точки G так, чтобы EG равнялась корню квадратному из 5, или 2.236 единиц длины. После завершения построения, стороны прямоугольника будут соотноситься как Золотая пропорция, поэтому и прямоугольник AFGC, и BFGD являются Золотыми прямоугольниками.

Второй этап построения золотого прямоугольника
Второй этап построения золотого прямоугольника

Чтобы выполнить эти же построения Золотого прямоугольника с помощью циркуля и линейки, нужно выполнить следующие простейшие операции: начертить квадрат и разделить его на два равных прямоугольника, в одном из прямоугольников провести диагональ АВ, циркулем провести окружность радиуса АВ с центром в точке А, продолжить основание квадрата до пересечения с дугой и провести под прямым углом вторую сторону искомого прямоугольника.

Построение Золотого прямоугольника с помощью циркуля
Построение Золотого прямоугольника с помощью циркуля

Золотой прямоугольник широко использовался в архитектуре и искусстве. Произведения в изобразительном искусстве значительно улучшены с использованием знания Золотого прямоугольника. Притягательность его ценности и употребления были особенно сильны в древнем Египте и Греции и во времена Ренессанса, т.е. во всех важных периодах цивилизации.

Эпоха итальянского Ренессанса

Леонардо да Винчи (Leonardo da Vinci) придавал огромное значение Золотой пропорции. Он также находил ее приятной в своих соотношениях и говорил: «Если предмет не имеет правильного облика, он не работает». Многие из его картин обладают правильным обликом, потому что он использовал Золотое сечение для того, чтобы усилить их привлекательность.

Изображение правильного облика предметов
Изображение правильного облика предметов

В то время как золотая пропорция в художественных и геометрических формах использовалась сознательно и продумано художниками и архитекторами по своим собственным причинам, она, очевидно, действительно оказывает влияние на обозревателей таких форм. Экспериментаторы определили, что люди находят соотношение 0,618 или коэффициент Фибоначчи эстетически приятным.

Эстетически приятные формы
Эстетически приятные формы

Например, людей просили выбрать один прямоугольник из группы прямоугольников различных типов, и средний выбор в основном был близок к форме Золотого прямоугольника. Когда просили пересечь одну полоску другой так, как им больше нравится, люди в основном применяли одну полоску для деления другой в соотношении фи. Окна, рамы картин, здания, книги и кладбищенские кресты часто приблизительно соответствуют Золотому прямоугольнику.

Рама картины
Рама картины

Можно ли считать, что прямоугольник с отношением сторон, равным φ, выглядит изящнее, чем прямоугольники с отношением сторон, скажем, 2:1, 3:2 или 5:7? Чтобы ответить на этот вопрос, были проведены специальные эксперименты. Результаты их не вполне убедительны, но все же свидетельствуют о некотором предпочтении, отдаваемом золотому сечению. Впрочем, может ли прямоугольник сам по себе быть захватывающе прекрасным или отталкивающе безобразным?

Примеры использования золотого прямоугольника
Примеры использования золотого прямоугольника

Золотой прямоугольник также обладает многими удивительными и необычными свойствами. Отрезав от золотого прямоугольника квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника, мы снова получим золотой прямоугольник меньших размеров. Этот процесс можно продолжать до бесконечности. Продолжая отрезать квадраты, мы будем получать все меньшие и меньшие золотые прямоугольники. Причем располагаться они будут по логарифмической спирали, имеющей важное значение в математических моделях природных объектов (например, раковинах улиток).

Свойства золотого прямоугольника
Свойства золотого прямоугольника

  Числа Фибоначчи и Золотой треугольник

Золотой треугольник – это равнобедренный треугольник, в котором две боковые (равные) стороны (а) находятся в золотой пропорции с основанием (в).

Соотношение сторон золотого треугольника
Соотношение сторон золотого треугольника

Золотые треугольники можно обнаружить в развёртках некоторых звёздчатых форм додекаэдра и икосаэдра. Также, тот же треугольник обнаруживается в вершинах пентаграммы. Угол при вершине равен 36 градусов. Исходя из того, что сумма углов треугольника равна 180 град., получаем, что углы при основании равны 72 град.

Формула угла при вершине золотого треугольника
Формула угла при вершине золотого треугольника

Золотой треугольник можно найти также в десятиугольнике, если соединить две смежные вершины с центром. Полученный треугольник будет золотым, поскольку: 180*(10-2)/10=144 град. является внутренним углом десятиугольника, и деление его отрезком, соединяющим вершину с центром, даст половину, 144/2=72. Золотой треугольник также замечателен уникальным соотношением углов 2:2:1.

Золотой треугольник
Золотой треугольник

Чтобы построить золотой треугольник, проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины. Через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ. На перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем на линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.

Построение золотого треугольника
Построение золотого треугольника

Тесно связан с золотым треугольником, так называемый, золотой гномон – тупоугольный равнобедренный треугольник, в котором отношение длины равных (коротких) сторон к длине третьей стороны (основанию) является обратным к золотому отношению. Золотой гномон является уникальным треугольником с пропорцией углов 1:1:3. Его острые углы составляют 36°, то же значение, что и у угла при вершине золотого треугольника.

Золотой гномон
Золотой гномон

Расстояние AX и BX равны φ, что видно на рисунке. «Золотой треугольник имеет отношение основания к стороне, равное золотому отношению φ, в то время как золотой гномон имеет отношение боковой стороны к основанию, равное тому же золотому отношению»

Свойства гномонов
Свойства гномонов

Золотой треугольник может быть разрезан на золотой треугольник и золотой гномон. То же самое верно для золотого гномона. Золотой гномон и золотой треугольник с их равными сторонами (сторона гномона равна стороне треугольника) также являются тупым и острым треугольниками Робинсона.

Треугольники Робинсона
Треугольники Робинсона

Эти равнобедренные треугольники могут быть использованы для получения мозаик Пенроуза. Плитки Пенроуза состоят из «змеев» и «дротиков». «Змей» представляет собой золотой треугольник, а «дротик» состоит из двух гномонов.

Мозаика Пенроуза
Мозаика Пенроуза

Спираль Фибоначчи и Золотая спираль

Согласно Математической Энциклопедии, спиралями называются плоские кривые, которые "обычно обходят вокруг одной (или нескольких точек), приближаясь или удаляясь от нее”. Это толкование термина не является строго формализуемым определением. Если какая-то известная кривая содержит в названии эпитет "спираль", то к этому следует относиться как к исторически сложившемуся названию.

Спирали
Спирали

Один из вариантов строгого определения, предполагающий монотонность полярного уравнения кривой, не универсален: выбрав другой полюс, мы можем нарушить имеющуюся монотонность, и только из-за этого кривая "перестанет быть спиралью", при том, что сама она не изменилась. У спирали Котеса полярное уравнение немонотонно, а спираль Корню имеет два полюса и поэтому не описывается целиком в полярных координатах.

Двухполюсная спираль Корню

‌Строгим, однозначным и весьма плодотворным является, например, определение spiral arc в монографии, требующее выпуклости кривой, а также монотонности и непрерывности её кривизны как функции длины дуги кривой. Спиралью в этом смысле является четвертинка эллипса (между двумя соседними вершинами).

Четвертинка эллипса
Четвертинка эллипса

Интерес к выпуклым кривым с монотонной кривизной был во многом связан с теоремой о четырёх вершинах овала, утверждающей (в терминах обсуждаемого определения), что простая замкнутая кривая состоит как минимум из четырёх спиральных дуг. При этом из-за требования выпуклости ни одна из "традиционных спиралей" не вписывается в это определение "целиком": вписывается только небольшая дуга кривой (например, логарифмической спирали).

Теорема о четырех вершинах овала
Теорема о четырех вершинах овала

Более общее определение, не требующее знакопостоянства и непрерывности кривизны, а лишь её монотонности. В рамках этого определения свойство кривой быть спиралью инвариантно относительно дробно-линейных отображений кривой. Спираль - это винтообразная кривая, которая огибает условный центр или ось, постепенно удаляясь от них или приближаясь к ним. Самый простой способ увидеть реальную спираль в повседневной жизни - это посмотреть сбоку на ковер, скрученный в рулон.

Ковры в рулонах
Ковры в рулонах

Спирали бывают двумерные и трехмерные. Двумерная спираль представляет собой кривую, все обороты которой лежат на одной плоскости. В трехмерной спирали каждый виток расположен выше или ниже, чем предыдущий. Существует несколько видов спиралей, закономерности построения которых описываются разными математическими формулами (архимедова спираль, логарифмическая спираль, спираль Ферма, спираль Фибоначчи, золотая спираль).

Трехмерная спираль
Трехмерная спираль

В то время как Золотое сечение и Золотой прямоугольник представляют статические формы естественной и сотворенной человеком красоты и деятельности, представление эстетически привлекательного динамизма, организованного движения роста и развития может быть выполнено только самой прекрасной формой во Вселенной - Золотой спиралью, тесно связанной с числовой последовательностью Фибоначчи.

Естественная красота

Последовательность Фибоначчи постоянно повторяется в жизни, так как она порождена спиралью Золотого Сечения, не имеющей ни начала, ни конца, уходящей в бесконечность. Жизнь не знает, как ей вести себя с бесконечностью, и эта последовательность, ставшая известной как последовательность Фибоначчи, дает ей ответ на вечный вопрос.

Спиральность присутствует везде и во всем
Спиральность присутствует везде и во всем

Существует множество способов построения Золотой спирали и спирали Фибоначчи. Для построения Золотой спирали можно использовать Золотой прямоугольник. Любой Золотой прямоугольник можно разделить на квадрат и меньший Золотой прямоугольник, как показано на рисунке. Этот процесс теоретически можно продолжать до бесконечности. Эти получающиеся прямоугольники, которые мы нарисовали и которые, как оказалось, скручиваются внутрь, промаркированы A, B, C, D, E, F и G.

Разбиение золотого прямоугольника для построения золотой спирали
Разбиение золотого прямоугольника для построения золотой спирали

Пунктирные линии, которые сами находятся в золотом соотношении одна к другой, рассекают прямоугольники по диагонали и точно обозначают теоретический центр скручивающихся квадратов. Приблизительно из центральной точки мы можем начертить спираль, соединяя точки пересечения каждого скручивающегося квадрата в порядке возрастания размера. Так как квадраты скручиваются внутрь и наружу, их точки соединения выписывают Золотую спираль. Для построения Золотой спирали может применяться такой же процесс, но с использованием скручивающихся треугольников.

Построение золотой спирали
Построение золотой спирали

В любой точке развития Золотой спирали, отношение длины дуги к ее диаметру равно 1.618. Диаметр и радиус в свою очередь соотносятся с диаметром и радиусом, отстоящих на угол в 90 градусов, с коэффициентом 1.618. В геометрии золотой спиралью называется логарифмическая спираль, скорость роста которой равна числу Фи – золотой пропорции или золотому коэффициенту Фибоначчи.

Связь золотой спирали с коэффициентом Фибоначчи
Связь золотой спирали с коэффициентом Фибоначчи

Золотая спираль, которая является разновидностью логарифмической или изогональной спирали, не имеет границ и является постоянной по форме. Из любой точки спирали можно двигаться бесконечно или в направлении внутрь, или наружу. Центральная часть логарифмической спирали, рассмотренная через микроскоп, имела бы тот же облик, что и самая широкая видимая ее часть на удалении многих световых лет.

Логарифмические спирали

‌Уравнение спирали в полярной системе координат для золотой спирали то же самое, что и для других логарифмических спиралей, но со специальным значением коэффициента роста b:

Уравнение спирали в полярной системе координат
Уравнение спирали в полярной системе координат

Числовое значение коэффициента b зависит от того, измеряется угол в градусах или радианах. И поскольку угол может быть в любом направлении, проще всего написать формулу для абсолютного значения b (то есть b может быть и отрицательным):

Значение коэффициента b для золотой спирали
Значение коэффициента b для золотой спирали

Как указывал известный американский писатель Дэвид Бергамини (David Bergamini) в своей книге «Математика», хвост кометы раскручивается от солнца в форме логарифмической спирали. Паук Epeira прядет свою паутину в виде логарифмической спирали. Бактерии размножаются в логарифмической прогрессии, которую можно начертить в виде логарифмической спирали.

Американский писатель Дэвид Бергамини
Американский писатель Дэвид Бергамини

Метеориты, врезаясь в поверхность Земли, формируют впадины, которые соотносятся с логарифмической спиралью. Сосновые шишки, морские коньки, раковины улиток, раковины моллюсков, волны океана, папоротники, рога животных и расположение семян подсолнуха и маргаритки - все они образуют логарифмические спирали.

Впадины от метеоритов
Впадины от метеоритов

Облака циклона и галактики открытого космоса скручиваются в логарифмические спирали. Даже человеческий палец, который составлен из трех фаланг, находящихся по отношению друг к другу в Золотой пропорции, принимает спиральную форму умирающего листа, когда сжимается. Вечность времени и световые годы космоса разделяют сосновую шишку и спиральную галактику, но строение остается тем же самым: коэффициент 1.618, возможно, первостепенный закон, управляющий активными природными явлениями.

Спиралевидная форма согнутых пальцев
Спиралевидная форма согнутых пальцев

Таким образом, Золотая спираль развертывается перед нами в символической форме, как один из величественных замыслов природы, образ жизни в бесконечном расширении и сжатии, статический закон, управляющий динамическим процессом, подкрепленный и изнутри, и снаружи пропорцией 1.618, Золотым сечением и числовой последовательностью Фибоначчи.

Спираль Фибоначчи в символической форме

Существует несколько похожих спиралей, которые близки, но не совпадают в точности с золотой спиралью, с которой их часто путают. Например, золотую спираль можно аппроксимировать, начав с прямоугольника, у которого отношение между длиной и шириной равно золотой пропорции. Этот прямоугольник можно разделить на квадрат и подобный прямоугольник и его, в свою очередь, разделить тем же образом.

Две аппроксимированные спирали
Две аппроксимированные спирали

После продолжения процесса произвольное число раз, получим почти полное разложение прямоугольника на квадраты. Углы этих квадратов можно соединить четвертинками окружностей. Полученная кривая, хотя и не является настоящей логарифмической спиралью, аппроксимирует золотую спираль.

Аппроксимация Золотой спирали

‌Спираль Фибоначчи также является аппроксимацией Золотой спирали и строится подобно последней, за исключением того, что начинают с прямоугольника из двух квадратов и добавляют потом к большей стороне прямоугольника квадрат такой же длины. Поскольку отношение между соседними числами Фибоначчи стремится к золотой пропорции, спираль всё больше приближается к золотой спирали по мере добавления квадратов.

Сравнение построений золотой спирали и спирали Фибоначчи
Сравнение построений золотой спирали и спирали Фибоначчи

Другими словами, если взять Золотой прямоугольник и разбить его на более мелкие прямоугольники в точной последовательности Фибоначчи, а потом каждый из них разделить в таких пропорциях еще и еще, то получится система, которая называется спираль Фибоначчи.

Золотые фигуры на основе последовательности Фибоначчи

‌В чем разница между спиралями золотого сечения и спиралью Фибоначчи? Спираль золотого сечения идеальна. Она соответствует Первоисточнику гармонии. Эта спираль не имеет ни начала, ни конца. Она бесконечна. Спираль Фибоначчи имеет начало, от которого она начинает “раскрутку”. Это очень важное свойство. Оно позволяет Природе после очередного замкнутого цикла осуществлять строительство новой спирали с “нуля”.

Спиральная гармония во Вселенной
Спиральная гармония во Вселенной

Следует сказать, что спираль Фибоначчи может быть двойной. Существуют многочисленные примеры этих двойных спиралей, встречающихся повсюду. Так, спирали подсолнухов всегда соотносятся с рядом Фибоначчи. Даже в обычной сосновой шишке можно увидеть эту двойную спираль Фибоначчи. Первая спираль идет в одну сторону, вторая - в другую. Если посчитать число чешуек в спирали, вращающейся в одном направлении, и число чешуек в другой спирали, можно увидеть, что это всегда два последовательных числа ряда Фибоначчи.

Двойная спираль Фибоначчи
Двойная спираль Фибоначчи

Число этих спиралей 8 и 13. В подсолнухах встречаются пары спиралей: 13 и 21, 21 и 34, 34 и 55, 55 и 89. И отклонений от этих пар не бывает!.. У Человека в наборе хромосом соматической клетки (их 23 пары) источником наследственных болезней являются 8, 13 и 21 пары хромосом...

Двойная спираль развития человека

‌Но почему в Природе именно этот ряд играет решающую роль? На этот вопрос может дать исчерпывающий ответ концепция тройственности, определяющая условия ее самосохранения. При нарушении «баланса интересов» триады одним из ее «партнеров», «мнения» двух других «партнеров» должны быть скорректированы. Особенно наглядно концепция тройственности проявляется в физике, где из кварков построили «почти» все элементарные частицы. Если вспомнить, что отношения дробных зарядов кварковых частиц составляют ряд, а это и есть первые члены ряда Фибоначчи, которые необходимы для формирования других элементарных частиц.

Концепция тройственности и условия самосохранения
Концепция тройственности и условия самосохранения

Возможно, что спираль Фибоначчи может играть решающую роль и в формировании закономерности ограниченности и замкнутости иерархических пространств. Действительно, представим, что на каком-то этапе эволюции спираль Фибоначчи достигла совершенства (она стала неотличима от спирали золотого сечения) и по этой причине частица должна трансформироваться в следующую «категорию».

Тройственность совершенства в Природе
Тройственность совершенства в Природе

Эти факты еще раз подтверждают, что закон о двойственности дает не только качественные, но и количественные результаты. Они заставляют задуматься о том, что окружающий нас Макромир и Микромир эволюционирует по одним и тем же законам - законам иерархии, и что эти законы едины для живой и для неживой материи. Все это свидетельствует о том, что ряд чисел Фибоначчи представляет собой некий зашифрованный закон природы.

Зашифрованные числовые законы Природы

‌Но самое интересное начинается, когда мы объединим полученные знания. На рисунке наглядно показана связь между последовательностью Фибоначчи и Золотым сечением. Мы начинаем с двух квадратов первого размера. Сверху добавляем квадрат второго размера. Подрисовываем рядом квадрат со стороной, равной сумме сторон двух предыдущих, третьего размера. По аналогии появляется квадрат пятого размера.

Наращивание квадратов при построении спирали Фибоначчи
Наращивание квадратов при построении спирали Фибоначчи

И так далее, пока не надоест, главное, чтобы длина стороны каждого следующего квадрата равнялась сумме длин сторон двух предыдущих. Мы видим серию прямоугольников, длины сторон, которых являются числами Фибоначчи, и, как не странно, они называются прямоугольниками Фибоначчи. Если мы проведём плавную линий через углы наших квадратов, то получим не что иное, как спираль Архимеда, увеличение шага которой всегда равномерно.

Спираль Архимеда на основе чисел Фибоначчи
Спираль Архимеда на основе чисел Фибоначчи

  Нарисовать спираль Фибоначчи

Золотая спираль имеет уникальную форму и пропорции, широко встречающиеся в природе. Эту спираль можно построить, используя элементы последовательности Фибоначчи. Сделать это несложно, и, будучи правильно начерченной, золотая спираль имеет красивый вид.

Начертить спираль Фибоначчи или Золотую спираль
Начертить спираль Фибоначчи или Золотую спираль
    Полный метод построения Золотой спирали Фибоначчи

Запаситесь всем необходимым. Вам понадобится начертить систему квадратов, которая послужит вспомогательной сеткой, "вписывая" в себя спираль. Соберите необходимые материалы, убедившись, что ничего не забыли. Начертите квадраты, используя последовательность Фибоначчи. Начинается последовательность с чисел 0 и 1, а каждый ее последующий член равен сумме двух предыдущих. Таким образом, получается ряд чисел: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. Длина стороны каждого квадрата должна равняться одному из чисел этой последовательности (кроме 0); начало спирали можно расположить для удобства в точке с координатами (0,0).

Начертить квадраты используя числа Фибоначчи
Начертить квадраты используя числа Фибоначчи

Затем у вас получится квадрат 1X1 (для измерений можно использовать любые единицы длины, лишь бы они не менялись в ходе всего построения), еще один квадрат 1X1 слева от первого, потом квадрат 2X2 снизу, справа от него квадрат 3X3, затем квадрат 5X5 сверху, и квадрат 8X8 слева. Внизу начертите квадрат 13X13 и так далее, насколько позволит площадь вашего листка бумаги.

Квадраты для построения Золотой спирали
Квадраты для построения Золотой спирали

Пронумеруйте квадраты по порядку. За первым квадратом 1X1 остальные следуют в направлении против часовой стрелки. Как будет видно далее, проведя кривую линию через эти квадраты, вы получите спираль.

Кривая линия проведенная через квадраты
Кривая линия проведенная через квадраты

Возьмите циркуль. Вставьте в него карандаш и установите циркуль в опорную точку, как показано на рисунке, выставив размах циркуля, равный единице (длина стороны первого квадрата). Поверните циркуль на 90 градусов против часовой стрелки. Измените размах циркуля. Выставьте размах, составляющий две единицы длины. Вновь поверните циркуль на 90 градусов против часовой стрелки. Затем, последовательно выставляя размах циркуля в 3, 5, 8 и т.д. единиц, продолжайте вращать его до тех пор, пока спираль не пройдет через все квадраты.

Циркульные кривые в каждом квадрате
Циркульные кривые в каждом квадрате

Обведите спираль чернилами. После того, как вы нанесли спираль карандашом, возьмите ручку и аккуратно обведите ею спираль. Если вам важна точность, воспользуйтесь лекалом. Сотрите вспомогательные линии. Наведя спираль ручкой, возьмите ластик и удалите им начерченные ранее квадраты. Получилась готовая золотая спираль Фибоначчи.

Готовая золотая спираль Фибоначчи
Готовая золотая спираль Фибоначчи
    Метод прямоугольников построения Золотой спирали

Аккуратно начертите квадрат. Для большей точности воспользуйтесь линейкой и транспортиром. Найдите середину. Определите середину одной из сторон квадрата.

Определение середины одной из сторон квадрата
Определение середины одной из сторон квадрата

Установите циркуль в середину и противоположный угол. Возьмите циркуль и установите иглу в середину стороны, найденную вами ранее. Карандаш циркуля поставьте в один из двух углов, противолежащих этой стороне квадрата. Проведите линию. Поверните циркуль до тех пор, пока карандаш не достигнет стороны квадрата, на которой стоит игла. Точка пересечения линии с этой стороной будет углом для нового прямоугольника.

Проведение циркульной линии для построения нового квадрата
Проведение циркульной линии для построения нового квадрата

Начертите новый прямоугольник. С помощью линейки расширьте ваш квадрат до прямоугольника, угол которого совпадает с определенной выше точкой. Этот прямоугольник послужит основой для проведения спирали. Лекало позволит вам точно провести кривые линии, но для уверенного пользования им необходима некоторая практика.

Прямоугольник для построения спирали
Прямоугольник для построения спирали

  Сакральная сущность Золотой спирали и чисел Фибоначчи

Несмотря на то, что Спираль Золотого Сечения описывается преимущественно с помощью математики, удивительно то, что у этой математической спирали есть и другие дополнительные особенности, которые могут быть прочувствованы людьми на глубинном уровне, не требующем интеллектуального понимания математических принципов. Хотелось бы исследовать явление, которое связывает математическую спираль со спиралью ощущаемой. Практически они представляют собой одно и то же. Однако, нелепое на первый взгляд заявление о том, что наиболее простым способом Спираль Золотого Сечения можно ощутить как глубокое чувство Любви, потребует объяснения.

Сакральная геометрия

‌Спираль Золотого Сечения - это портал, который соединяет эфирные и материальные измерения. Иначе говоря, я бы сказал, что Бог оставил нам дверь в глубинную тайну – Спираль Золотого Сечения или путь Любви. В этой статье мы рассмотрим, как Спираль Золотого Сечения фактически является выражением базовой энергии Творения, которую мы называем Любовью.

Любовь - энергия творения
Любовь - энергия творения
    Общая философия Золотой Пропорции

В общем смысле, вследствие того, что у золотой пропорции нет ни начала, ни конца, она становится довольно хорошей метафорой духа в материальной реальности. Можно наблюдать золотую пропорцию (или Дух), но она не может быть ограничена ни в ее начале, ни в конце. Спираль Золотого Сечения имеет дополнительный аспект, который требует более пристального ее рассмотрения. Это свойство, когда мы размышляем над ним, заставляет глубоко задуматься.

Метафора Духа в материальной реальности
Метафора Духа в материальной реальности

Одной из характерных особенностей Спирали Золотого Сечения является то, что она продолжается во все уменьшающиеся витки. Эта спираль вскоре становится настолько бесконечно малой, что, теоретически, она могла бы прорвать плоскость одного измерения и войти в другое. Однажды сделав это, она могла бы снова повторить это, войдя в пределы другого измерения в качестве сравнительно большой спирали, прокладывающей свой путь, чтобы вновь уменьшиться, до тех пор, пока она не прорвала бы и этот план и не вышла бы в другой, и так далее до бесконечности.

Бесконечность золотых спиралей

‌Даже, несмотря на то, что это только линейная модель, она достаточна, чтобы продемонстрировать основную идею. С другой точки зрения, которой придерживается Дэн Винтер, Спирали Золотого Сечения, бесконечно уменьшаясь, прорывают план третьего измерения. На этот раз, однако, Спираль Золотого Сечения входит в измерение с частотами, сравнимыми со скоростью света и даже превышающими ее.

Частоты и скорость света
Частоты и скорость света

Если мы рассматриваем вселенную в ее естественном, нелинейном состоянии, которое заключает в себе все измерения и частоты, то, когда мы прорываем план третьего измерения, мы входим назад в пространство всех частот или вечной трансцендентности. В нефизических измерениях всё находится в вечном изменении и занимает все частоты - как скорости света, так и выше.

Новые измерения и размерности в природе

‌Когда Золотая Пропорция входит в третье измерение из этого более высокого состояния частот, она входит в размерность, ограниченную временем. Когда спираль (внутри третьего измерения) бесконечно сворачивается, чтобы прорвать план третьего измерения, то она вновь входит в размерность более высоких частот и вечной трансцендентности. На другой стороне этого нашего третьего измерения находятся более высокие частоты и запредельное.

За пределами третьего измерения
За пределами третьего измерения
    Общая философия Спирали Фибоначчи

По контрасту с Золотой Пропорцией (не имеющей ни начала, ни конца), Спираль Фибоначчи имеет определенное начало, но не обязательно конец. Однажды начавшись, Спираль Фибоначчи может продолжаться, уходя в бесконечность.

Вселенная без начала и без конца
Вселенная без начала и без конца

Последовательность Фибоначчи обладает уникальным свойством. В отличие от Золотого Сечения, Ряд Фибоначчи начинается с нуля или единицы, но быстро приближается к Золотой Пропорции со все увеличивающейся точностью. Кажется, что последовательность Фибоначчи все более приближается к последовательности Золотого Сечения (к отношению фи) и имеет приблизительное значение фи (1.6180339...). Эта точность возрастает до тех пор, пока асимптотически не достигнет своих пределов. В этой точке невозможно заметить разницу между двумя спиралями, за исключением или около начальных точек.

Асимптотические приближения в математике

‌Если Золотое Сечение используется как метафора духа, а Ряд Фибоначчи - как метафора для физического воплощения (дух, воплощающийся в физическое тело и пытающийся совершенствовать себя, приближаясь к идеалу), тогда наше физическое воплощение метафорически начинается как форма жизни Ряда Фибоначчи.

Дух воплощается в физическое тело
Дух воплощается в физическое тело

Понимание этого свойства Спирали Фибоначчи является решающим. Эта характеристика Спирали Фибоначчи (постоянная попытка приблизиться к Золотому Сечению со все возрастающей точностью) может быть использована как метафора для наших человеческих условий, которая поможет нам глубже заглянуть в природу духовности.

Природа духовности человека

Без полной памяти о целостности и полной картины Вселенной, мы начинаем наши молодые жизни с полностью ошибочного отождествления себя как чисто физического существа, конечного и смертного. Приобретая опыт и мудрость через физическое воплощение, мы начинаем чувствовать и открываем наш Дух. Таким образом, начинается процесс отождествления себя со своим Высшим Я. Наше стремление стать ближе к Богу подобно стремлению Спирали Фибоначчи приблизиться к Золотому Сечению.

Полная картина Вселенной
Полная картина Вселенной

По мере нашего роста появляется все более тесная связь с идеалом (Духом или Золотым Сечением), и мы можем начать чувствовать увеличение энергии и обновление. Это обновление может стимулировать намерение и мотивацию физического существа делать все возможное, чтобы ощущать еще больше энергии и становиться ближе к идеалу или Золотой Пропорции.

Обновление Духа

‌Физическое существо (Ряд Фибоначчи) чувствует затем непреодолимое желание продолжать идти по пути, который ведет к тому, чтобы стать ближе к Духу. Это часто проявляется в очищении ума, эмоций и желаний, для того, чтобы создать чистый внутренний храм, который позволит уму и телу стать лучшим приёмниками для идеала или Духа. Это также похоже на приближение Ряда Фибоначчи к Золотой Пропорции.

Очищение Духа и разума
Очищение Духа и разума

Иногда мысли, эмоции и желания физического существа очень сильно приближаются к идеалу. В этой точке Ряд Фибоначчи и Золотая Пропорция находятся в такой близости, что между Духом и физическим существом возникает нечто вроде моста. Ограниченные рамки физического существования расширяются, и начинается реализация таких неограниченных возможностей, какие могут проявлять человеческие существа в физической форме.

Золотая спираль Фибоначчи описывает процессы во Вселенной
Золотая спираль Фибоначчи описывает процессы во Вселенной

Числа Фибоначчи в окружающем мире

Если с точки зрения исполнения или функции элемента какая-либо форма имеет пропорциональность и приятна, привлекательна для взора, то в таком случае мы можем тотчас же искать в ней какую-либо из функций Золотого Числа… Золотое Число вовсе не математический вымысел. Это на самом деле продукт закона природы, основанный на правилах пропорциональности.

Математика в окружающем мире

‌Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии.

Гармоничная симметрия в природе
Гармоничная симметрия в природе

Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

Совершенство Золотого сечения в окружающем мире
Совершенство Золотого сечения в окружающем мире

Странная, загадочная, необъяснимая вещь: эта божественная пропорция мистическим образом сопутствует всему живому. Неживая природа не знает, что такое «золотое сечение». Но вы непременно увидите эту пропорцию и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в облике жуков, и в красивом человеческом теле. Все живое и все красивое - все подчиняется божественному закону, имя которому - «золотое сечение».

Красота форм в природе

‌Давайте выясним, что общего между древнеегипетскими пирамидами, картиной Леонардо да Винчи "Мона Лиза", подсолнухом, улиткой, сосновой шишкой и пальцами человека?

Золотая пропорция в окружающем мире

‌Ответ на этот вопрос сокрыт в удивительных числах, которые были открыты итальянским математиком средневековья Леонардо Пизанским, более известным под именем Фибоначчи. После его открытия числа эти так и стали называться именем известного математика. Удивительная суть последовательности чисел Фибоначчи состоит в том, что каждое число в этой последовательности получается из суммы двух предыдущих чисел.

Последовательность Фибоначчи в окружающием мире
Последовательность Фибоначчи в окружающием мире

На протяжении многих веков, для построения гармоничных композиций художники пользуются понятием "Золотое сечение". В наше время трудно поверить, что лирическое начало художественного творчества может свободно уживаться с точной наукой. Однако выдающиеся мастера былых эпох, в первую очередь античности и Возрождения, постоянно стремились проверить алгеброй гармонию, обуздать (а значит - и обогатить) творческие эмоции точным, почти математически достоверным расчетом.

Проверить алгеброй гармонию

‌Ни один шаг в их работе не обходился без опоры на учение о золотых пропорциях, которое, например, при построении человеческих фигур формировалось в виде точных таблиц идеальных соотношений.

Таблица идеальных соотношений роста и веса людей
Таблица идеальных соотношений роста и веса людей

  Числа Фибоначчи и золотая пропорция в теле человека

Эпоха Возрождения ассоциируется с именами таких «титанов», как Леонардо да Винчи, Микеланджело, Рафаэль, Николай Коперник, Альберт Дюрер, Лука Пачоли, которые вплотную занимались исследованиями строения и пропорций человеческого тела. Имеется много авторитетных свидетельств о том, что именно Леонардо да Винчи(1452-1519) был одним из первых, кто ввел сам термин «Золотое Сечение».

Итальянский художник и мыслитель Микеланджело Буонарроти
Итальянский художник и мыслитель Микеланджело Буонарроти

На графическом изображение обнаженного мужчины на знаменитом эскизе Леонардо да Винчи «Витрувианский человек» - размах вытянутых в сторону рук человека примерно равен его росту, вследствие чего фигура человека вписывается в квадрат и в круг. Рисунок и текст иногда называют каноническими пропорциями.

Витрувианский человек Леонардо да Винчи
Витрувианский человек Леонардо да Винчи

Канон - система идеальных пропорций человеческого тела - была разработана древнегреческим скульптором Поликлетом и в V веке до нашей эры. Ваятель задался целью точно определить пропорции человеческого тела, согласно с его представлениями об идеале. Вот результаты его вычислений: голова - 1/7 всего роста, лицо и кисть руки - 1/10, ступня -1/6.

Каноны Красоты

‌Однако уже современникам фигуры Поликлета казались слишком массивными, “квадратными”. Тем не менее, каноны стали нормой для античности и с некоторыми измерениями для художников ренессанса и классицизма. Практически канон Поликлета был воплощен им в статуе Дорифор (”Копьеносец”).

Канон древнегреческого скульптора Поликлета
Канон древнегреческого скульптора Поликлета

Статуя юноши полна уверенности; уравновешенность частей тела олицетворяет могущество физической силы. Широкие плечи почти равны высоте туловища, половина высоты тела приходится на лонное сращение, высота головы восемь раз укладывается по высоте тела, а центр “золотой пропорции” приходится на уровень пупка.

Математические соотношения в скульптуре Поликлета Копьеносец

‌Уже тысячелетия люди пытаются найти математические закономерности в пропорциях тела человека. Долгое время отдельные части тела человека служили основой всех измерений, являлись естественными единицами длины. Так, у древних египтян было три единицы длины: локоть (466 мм), равнявшийся семи ладоням (66,5 мм), ладонь, в свою очередь, равнялась четырем пальцам.

Древнейшая мера длины Локоть
Древнейшая мера длины Локоть

Мерой длины в Греции и Риме была ступня. Основными мерами длины в России были сажень и локоть. Кроме этого, применялся дюйм - длина сустава большого пальца, пядь - расстояние между раздвинутыми большим и указательным пальцами (их копнами), ладонь - ширина кисти руки.

Различные виды саженей
Различные виды саженей

Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения золотого сечения. Они используют мерки с тела человека, сотворенного также по принципу золотой сечения. Леонардо Да Винчи и Ле Корбюзье, перед тем как создавать свои шедевры брали параметры человеческого тела, созданного по закону Золотой пропорции.

Французский архитектор и художник Шарль Ле Корбюзье
Французский архитектор и художник Шарль Ле Корбюзье

Самая главная книга всех современных архитекторов справочник Э.Нойферта "Строительное проектирование" содержит основные расчеты параметров туловища человека, заключающие в себе золотую пропорцию.

Справочник Эрнста Нойферта Строительное проектирование
Справочник Эрнста Нойферта Строительное проектирование

Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными. Характерно, что размеры частей тела мужчин и женщин существенно различаются, но отношения этих частей соответствуют в большинстве случаев отношениям тех же целых чисел.

Различия в пропорциях мужского и женского тел
Различия в пропорциях мужского и женского тел

Первый пример золотого сечения в строении тела человека: Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1.618.

Точка пупка - центр человеческого тела
Точка пупка - центр человеческого тела

Кроме этого есть и еще несколько основных золотых пропорций нашего тела: - расстояние от кончиков пальцев до запястья и от запястья до локтя равно 1:1.618; - расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1.618; - расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.618; - расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1.618.

Золотые пропорции в человеческом теле
Золотые пропорции в человеческом теле

В строении черт лица человека также есть множество примеров, приближающихся по значению к формуле золотого сечения. Однако не бросайтесь тотчас же за линейкой, чтобы обмерять лица всех людей. Потому что точные соответствия золотому сечению, по мнению ученых и людей искусства, художников и скульпторов, существуют только у людей с совершенной красотой. Собственно точное наличие золотой пропорции в лице человека и есть идеал красоты для человеческого взора.

Идеалы красоты человеческого лица
Идеалы красоты человеческого лица

Американский хирург Стивен Марквард создал, используя принципы золотого сечения, геометрическую маску, которая может служить эталоном прекрасного лица. К примеру, если мы суммируем ширину двух передних верхних зубов и разделим эту сумму на высоту зубов, то, получив при этом число золотого сечения, можно утверждать, что строение этих зубов идеально.

Идеальная форма зубов
Идеальная форма зубов

На человеческом лице существуют и иные соотношения, воплощающие правила золотого сечения: высота лица / ширина лица, центральная точка соединения губ до основания носа / длина носа, высота лица / расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения губ, ширина рта / ширина носа, ширина носа / расстояние между ноздрями, расстояние между зрачками / расстояние между бровями и др.

Другие воплощения золотого сечения на лице человека
Другие воплощения золотого сечения на лице человека

Скелет верхней конечности состоит из 3 частей (плечевой, костей предплечья и костей кисти). Кисть включает 8 костей запястья, 5 пястных костей и кости 5 пальцев. Каждый палец, кроме большого, имеет по 3 фаланги. Таким образом, морфогенез кисти, включающей два соседних члена числового ряда Фибоначчи - в частности, 8 костей запястья и 5 костей пясти - приближается к золотому сечению 1.618, поскольку 8/5=1.6. Сопоставляя длины фаланг пальцев и кисти руки в целом, а также расстояния между отдельными частями лица, также можно найти "золотые" соотношения.

Морфогенез кисти руки человека
Морфогенез кисти руки человека

Достаточно лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдете в нем формулу золотого сечения. Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг. Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения (за исключением большого пальца). Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения.

Золотые пропорции ладони человека
Золотые пропорции ладони человека

У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двухфаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи.

Числа Фибоначчи в строении руки человека
Числа Фибоначчи в строении руки человека

В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет: «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать».

Трактаты Альбрехта Дюрера
Трактаты Альбрехта Дюрера

Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица – ртом и т.д.

Страницы из Трактата Дюрера О пропорциях
Страницы из Трактата Дюрера О пропорциях

Немецкий исследователь Адольф Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения.

Золотое сечение в строении человеческого тела

‌Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

Пропорции человеческого тела
Пропорции человеческого тела

Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры.

Пропорции Аполлона Бельведерского по Цейзингу
Пропорции Аполлона Бельведерского по Цейзингу

Кости человека выдержаны в пропорции, близкой к золотому сечению. И чем ближе пропорции к формуле золотого сечения, тем более идеальным выглядит внешность человека. Также следует отметить тот факт, что у большинства людей расстояние между концами расставленных рук равно росту.

Расстояние между концами расставленных рук равно росту
Расстояние между концами расставленных рук равно росту

Золотое сечение можно найти и в анатомии. Закон золотого сечения просматривается в количественном членении человеческого тела, соответствующем числам ряда Фибоначчи. Примером может быть число костей туловища, черепа и конечностей. Так, в скелете туловища различают 3 костных системы: позвоночник, реберный его отдел и грудину. Грудина включает 3 кости (рукоятку, тело и мечевидный отросток). Позвоночник состоит из 33 (34) позвонков; от них отходят 12-13 пар ребер. Мозговой череп состоит из 8 костей. В верхней и нижней челюстях с каждой стороны имеется по 8 альвеол и соответственно - корни 8 зубов.

Строение скелета человека

‌Деятельность сердца человека связана с периодической сменой двух противоположных, функционально дополняющих друг друга состояний сердечной мышцы - систолы (напряжения) и диастолы (расслабления). Установлено, что для каждого вида животных существует собственная частота сердцебиений.

Деятельность сердца человека

‌Давление крови изменяется в процессе работы сердца. Наибольшей величины оно достигает в левом желудочке сердца в момент его сжатия (систолы). В артериях во время систолы желудочков сердца кровяное давление достигает максимальной величины, равной 115-125 мм ртутного столбца у молодого, здорового человека. В момент расслабления сердечной мышцы (диастола) давление уменьшается до 70-80 мм рт.ст. Отношение максимального (систолического) к минимальному (диастолическому) давлению равно в среднем 1,6, то есть близко к золотой пропорции.

Измерение артериального давления
Измерение артериального давления

Если взять за единицу среднее давление крови в аорте, то систолическое давление крови в аорте составляет 0,382, а диастолическое — 0,618, то есть их отношение соответствует золотой пропорции. Это означает, что работа сердца в отношении временных циклов и изменения давления крови оптимизированы по одному и тому же принципу — закону золотой пропорции.

Параметры кровяного давления у человека
Параметры кровяного давления у человека

Внутренние органы человека также имеют золотое сечение. Наши современники, физик Б. Уэст и доктор А. Гольдбергер, подметили, что бронхи, состоящие из двух основных дыхательных путей, короткого и длинного, имеют интересную асимметрию: соотношение их длин составляет золотое сечение и равно 1:1,618 - то есть золотую пропорцию с точностью до трёх знаков после запятой. Такая «золотая» асимметричность продолжается и в ответвлениях бронхов, во всех более мелких дыхательных путях лёгких человека.

Золотые соотношения в дыхательных путях человека
Золотые соотношения в дыхательных путях человека

Что уж говорить, даже в ДНК учёные обнаружили «божественное число» - в соотношении длины и ширины двух спиралей в молекуле. Строение молекулы ДНК также содержит в себе формулу золотого сечения.

Золотые пропорции в молекуле ДНК
Золотые пропорции в молекуле ДНК

Во внутреннем ухе человека имеется орган Cochlea («Улитка»), который исполняет функцию передачи звуковой вибрации. Эта костевидная структура наполнена жидкостью и также сотворена в форме улитки, содержащую в себе стабильную логарифмическую форму спирали = 73 град. 43’.

Золотая пропорция в ухе человека
Золотая пропорция в ухе человека
    Числа Фибоначчи в построении одежды

Одежда, которую носили наши предки, была живая. Почему живая? Потому что она была сшита по правилам золотого сечения – золотых пропорций. Т.е. при пошиве использовались меры длины, основанные на пропорциях человека: сажени, вершки, локти, пяди. Важной составляющей тут также была симметрия. Все в купе создавало энергетические волны, которые символично были отражены в орнаментах. Такая одежда гармонично и благотворно влияла на человека.

Национальная одежда наших предков
Национальная одежда наших предков

Когда человек носил одежду, скроенную по золотому сечению, органы откликались на волны, создаваемые одеждой, и организм оздоравливался и омолаживался. Говорят, что предки носили и зимой и летом тонкую льняную одежду. Благодаря тому, что она была сшита по золотым пропорциям, человек чувствовал себя хорошо и комфортно, не мерз, когда холодно - тонкая ткань грела, да и жара не чувствовалась. В старину шубы и кафтаны носили только бояре, князья, да и то только для красоты.

Правильная и здоровая одежда

Важнейшим средством создания гармоничного образа являются пропорции (для художников и архитекторов они имеют первостепенное значение). В основе гармоничных пропорций лежат определённые математические соотношения. Это единственное средство, с помощью которого удаётся «измерить» красоту. Золотое сечение самый известный пример гармоничной пропорции. Пользуясь принципом золотого сечения, можно создавать в композиции костюма наиболее совершенные пропорции и устанавливать органичную связь между целым и его частями.

Гармоничные пропорции в одежде
Гармоничные пропорции в одежде

Однако пропорции одежды теряют всякий смысл, если они не увязаны с человеком. Поэтому соотношение деталей костюма определяется особенностями фигуры, её собственными пропорциями. В теле человека тоже существуют математические соотношения между отдельными его частями.

Различные соотношения между частями тела человека
Различные соотношения между частями тела человека

Если принять за модуль, т. е. условную единицу, высоту головы, то (согласно Витрувию, римскому архитектору и инженеру 1 в. до н. э., автору трактата «Десять книг об архитектуре») в пропорциональной фигуре взрослого человека уместится восемь модулей: от макушки до подбородка; от подбородка до уровня груди; от груди до талии; от талии до линии паха; от линии паха до середины бедра; от середины бедра до колена; от колена до середины голени; от голени до пола.

Принцип восьми голов в росте человека
Принцип восьми голов в росте человека

Упрощённая пропорция говорит о равенстве четырех частей фигуры: от макушки головы до линии груди (по подмышкам); от груди до бёдер; от бёдер до середины колена; от колена до пола. Готовое платье шьется на идеальную, стандартно сложенную фигуру, которой в реальной жизни похвастается далеко не каждый. Однако человек может подобрать одежду таким образом, чтобы выглядеть гармонично.

Различные типы фигур человека
Различные типы фигур человека

Огромную роль в одежде играют пропорции. Пропорции в одежде — это соотношения частей костюма по величине между собой и в сравнении с фигурой человека. Сравнительная длина, ширина, объем лифа и юбки, рукавов, воротника, головного убора, деталей влияют на зрительное восприятие фигуры в костюме, на мысленную оценку ее соразмерности.

Пропорциональность одежды человека
Пропорциональность одежды человека

Самыми красивыми, совершенными, "правильными" выглядят такие соотношения, которые близки естественным пропорциям человеческой фигуры. Известно, что высота головы "укладывается" в росте около 8 раз, а линия талии делит фигуру в отношении примерно 3:5.

Линии талии делят фигуру в отношении чисел Фибоначчи
Линии талии делят фигуру в отношении чисел Фибоначчи

Наиболее пропорциональной фигурой человека считается та, в которой эти пропорции также повторяются (соотношение отдельных частей). То" же самое касается и костюма. В костюме можно применять как естественные пропорции, так и сознательно нарушенные. Здесь невозможно подробно разобрать разные варианты, так как для этого нужно серьезно изучить законы композиции.

Конструирование одежды

‌Надо помнить, что естественные пропорции, как правило, "выгодны" для любой фигуры; в то же время недостатки сложения можно "исправить", слегка передвинув, "поискав" во время примерки ту или иную линию (например, можно немного завысить или занизить талию, заузить или расширить плечи, изменить длину платья, рукава, величину воротника, карманов, пояса).

Недостатки фигуры человека
Недостатки фигуры человека

Создание одежды во многом как бы перекликается с зодчеством — оба эти искусства предназначены для непосредственного соприкосновения с человеком, исходят из его природных пропорций; наконец, костюм вместе с человеком почти постоянно находится в окружении зданий, внутренних помещений. И здания, в свою очередь, находятся в естественной природе, в городской архитектурной среде. Поэтому в различные эпохи архитектура и костюм отражают художественный стиль своего времени; а народный костюм как бы вбирает и хранит в веках все лучшее, совершенное, "вечное".

Построение фасонов одежды

‌Масса костюма, его кажущаяся "тяжесть" или "легкость" зависит от разных причин. Чем больше "нагромождено" линий, деталей, украшений, тем массивнее фигура; зато, когда нет "ничего лишнего", даже монументальная от природы фигура будет свободнее, как бы легче. При физически равных объемах материалы плотные, темные, рельефные, шероховатые кажутся массивнее, чем легкие, светлые, прозрачные, гладкие, блестящие.

Монументальные фигуры человека
Монументальные фигуры человека

При этом светлые тона "увеличивают" объем, "уменьшая" тяжесть, темные – наоборот. Отсюда практический вывод: полным людям не следует бояться светлых материалов, но лучше располагать их в верхней части фигуры, около лица (блузка, головной убор, даже пальто или плащ строгих вертикальных линий).

Полные люди
Полные люди

  Числа Фибоначчи в живой природе

Задумывались ли вы когда-нибудь, как связаны между собой математика и вся окружающая нас природа? Оказывается, все закономерности явлений нашей природы, многообразие форм живых организмов и растений нашей планеты, удивляющие нас своей красотой и гармонией – все это можно объяснить с помощью математики. Одним из самых замечательных примеров взаимосвязи математики и природы является последовательность чисел Фибоначчи.

Числа Фибоначчи и геометрия в живой природе

‌Чтобы оценить огромную роль чисел Фибоначчи и их отношения как природной константы, достаточно лишь взглянуть на красоту окружающей нас природы. Рост растений в природе – идеальный пример общей уместности отношения Фибоначчи и базового ряда суммирования Фибоначчи. Числа Фибоначчи можно найти в количестве ответвлений на стебле каждого растущего растения и в числе лепестков.

Числа Фибоначчи в развитии растений
Числа Фибоначчи в развитии растений

Нашу природу можно назвать королевством золотых чисел Фибоначчи. Эти числа, а также их соотношения и спирали, построенные на их основе, присутствуют везде.

Роль чисел Фибоначчи в природе
Роль чисел Фибоначчи в природе

Первый и очень яркий пример – это подсолнухи. Их семена расположены так, чтобы максимально использовать всю площадь соцветия, не теряя ни миллиметра. А расположены они в виде двух пересекающихся спиралей справа налево и наоборот. Пары этих спиралей встречаются разные, у меньших соцветий 13 и 21, 21 и 34, у больших 34 и 55, 55 и 89. И отклонений от этих пар быть не может.

Цветок подсолнечника
Цветок подсолнечника

Нечто подобное происходит и с ячейками ананаса: у него 8 правосторонних спиралей, 13 левосторонних и 21 вертикальная. И снова последовательность Фибоначчи. В сосновой шишке, если хорошо присмотреться, можно увидеть две спирали, которые закручены - одна по часовой стрелке, а другая против. Число этих спиралей 8 и 13. Листья на деревьях и других растениях распределены в последовательности, основанной на золотом числе, таким способом, чтобы получать максимум света и не мешать друг другу.

Числа Фибоначчи в строении ананаса
Числа Фибоначчи в строении ананаса

У многих бабочек отношения размеров грудной и брюшной части тела очень близки к золотому числу. Раковины моллюсков закручены по спирали, и если измерить ее завитки, то их отношение постоянно и равно 1.618.

Числа Фибоначчи в строении бабочки и стрекозы
Числа Фибоначчи в строении бабочки и стрекозы

И очень-очень много других примеров. Спиралеобразно паук плетет паутину. По спирали закручивается ураган. Стадо северных оленей по тревоге разбегается по спирали. По спирали закручиваются волны, которые разбиваются об берега океана. Молекулы ДНК живых организмов закручены двойной спиралью. Гёте называл эту спираль "кривой жизни". Теперь вы понимаете, что нас окружают множество объектов связанных с числами Фибоначчи. Вы, например, теперь можете поискать спираль Фибоначчи в окружающей вас природе. Вдруг именно вам удастся разгадать «секрет жизни, Вселенной ».

Кривая Жизни Гёте
Кривая Жизни Гёте

Можно легко увидеть элементные числа последовательности Фибоначчи в жизни растений (так называемые золотые числа), если пересчитаем лепестки некоторых наиболее распространенных цветов — например, ириса с его 3 лепестками, первоцвета с 5 лепестками, златоцвета с 8 лепестками, крестовника и амброзии полыннолистной с 13 лепестками, цикория с 21 лепестком, маргаритки с 34 лепестками и астры с 55 и 89 лепестками. Случайна ли эта модель (фигура) или это есть проявление определенного закона природы?

Числа Фибоначчи в строении растений

Ряд Фибоначчи характеризует структурную организацию многих живых систем. Уже известно, что отношений соседних чисел в ряду Фибоначчи есть число Фи = 1,618. Если посмотреть на растения и деревья вокруг нас, то видно, сколь много листьев на каждом из них. Издалека кажется, что ветки и листья на растениях расположены случайным образом, в произвольном порядке. Однако во всех растениях чудесным образом, математически точно спланировано какая веточка, откуда будет произрастать, как ветки и листья будут располагаться около стебля или ствола.

Расположение веток и листьев на деревьях
Расположение веток и листьев на деревьях

С первого дня появления растение в точности следует в своём развитии этим законам, то есть ни один лист, ни один цветок не появляется случайно. Ещё до появления растение уже точно запрограммировано. Сколько будет веток на будущем дереве, где вырастут ветки, сколько будет листьев на каждой ветке, и как, в каком порядке будут располагаться листья. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филлотаксис), в числе оборотов на стебле, в числе листьев в цикле проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя и закон золотого сечения.

Явление филлотаксиса в природе
Явление филлотаксиса в природе

Если вы зададитесь целью отыскать числовые закономерности в живой природе, то заметите, что эти числа часто встречаются в различных спиральных формах, которыми так богат мир растений. Например, черенки листьев примыкают к стеблю по спирали, которая проходит между двумя соседними листьями: 1/3 оборота – у орешника, 2/5 оборота – у дуба, 3/8 об. – у тополя и груши, 5/16 об. – у ивы.

Спиральное расположение листьев на стебле
Спиральное расположение листьев на стебле

Семена подсолнечника, эхинацеи пурпурной и многих других растений, расположены спиралями, причем количества спиралей каждого направления представляют собой числа Фибоначчи.

Эхинацея пурпурная
Эхинацея пурпурная

Идеальный пример можно найти в стеблях и цветах тысячелистника. Каждая новая ветвь тысячелистника растет из пазухи, и от новой ветви растут новые ветви. Складывая старые и новые ветви, можно найти число Фибоначчи в каждой горизонтальной плоскости.

Цветок тысячелистника и числа Фибоначчи
Цветок тысячелистника и числа Фибоначчи

Отросток Цикория делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий - 38, четвертый - 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

Развитие цикория по соотношению Фибоначчи
Развитие цикория по соотношению Фибоначчи

Взяв молодую сосновую веточку, легко заметить, что хвоинки образуют две спирали, идущие слева снизу направо вверх. На многих шишках семена расположены в трех спиралях, полого навивающихся на стержень шишки. Они же расположены в пяти спиралях, круто навивающихся в противоположном направлении. В крупных шишках удается наблюдать 5 и 8 и даже 8 и 13 спиралей.

Расположение иголок на ветке сосны
Расположение иголок на ветке сосны

Великий Гёте, поэт, естествоиспытатель и художник (он рисовал и писал акварелью), мечтал о создании единого учения о форме, образовании и преобразовании органических тел. Это он ввел в научный обиход термин морфология.

Морфология растительного мира

‌Иоганн Вольфганг Гёте считал спиральность одним из характерных признаков всех живых организмов, проявлением самой сокровенной сущности жизни. Спирально закручиваются усики растений и рога барана, по спирали происходит рост тканей в стволах деревьев, по спирали расположены семечки в подсолнечнике.

Немецкий поэт и естествоиспытатель Иоганн Вольфганг Гёте
Немецкий поэт и естествоиспытатель Иоганн Вольфганг Гёте

Каждый из нас много раз восхищался формой морских раковин, которые также построены по спиралевидному закону. Но ведь и наша Галактика также имеет спиралевидную форму! Примером использования спирали Фибоначчи является, например, формы раковины наутилуса.

Раковина наутилуса
Раковина наутилуса

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции - длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. И в растительном и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы - симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.

Соотношения Фибоначчи в строении ящерицы
Соотношения Фибоначчи в строении ящерицы

Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого. Пьер Kюри в начале нашего столетия сформулировал ряд глубоких идей симметрии. Он утверждал, что нельзя рассматривать симметрию какого-либо тела, не учитывая симметрию окружающей среды.

Повторение целого в его частях
Повторение целого в его частях

Закономерности золотой симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности, как указано выше, есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия.

Числа Фибоначчи и биоритмы мозга
Числа Фибоначчи и биоритмы мозга
    Филлотаксис и числа Фибоначчи

Как известно, числа Фибоначчи и Люка лежат в основе ботанического «закона филлотаксиса». Согласно этому закону число левых и правых спиралей на поверхности так называемых филлотаксисных объектов (сосновой шишки, ананаса, кактуса, головки подсолнечника и т.д.) описывается отношениями соседних чисел Фибоначчи, то есть – 2:1, 3:2, 5:3, 8:5, 13:8, 21:13.

Филлотаксис растений
Филлотаксис растений

Эти отношения характеризуют «симметрию» филлотаксисного объекта. При этом для каждого филлотаксисного объекта характерно свое отношение соседних чисел Фибоначчи, которое называется порядком симметрии.

Симметрия филлотаксиса в природе
Симметрия филлотаксиса в природе

На рисунке ниже изображены примеры таких объектов: кактус (а), головка подсолнечника (b), эхинецея (с), головка цветной капусты (d), ананас (e), сосновая шишка (f), в которых закон филлотаксиса выражается своим порядком симметрии, образуемым отношениями соседних чисел Фибоначчи. То есть, в каждом из таких ботанических объектов семена или мелкие части объектов на их поверхности располагаются на пересечении левых и правых спиралей; при этом отношение числа левых и правых спиралей всегда равно одному из отношений двух соседних чисел Фибоначчи.

Филлотаксисные структуры в природе
Филлотаксисные структуры в природе

На следующем рисунке изображены геометрические модели филлотаксисных структур, которые дают образное и наглядное представление об этом уникальном ботаническом явлении и его геометрических аспектах: (а – ананас; b – сосновая шишка; c – ромашка).

Геометрические модели филлотаксисных структур
Геометрические модели филлотаксисных структур

Таким образом, строгую математику мы находим и в расположении листьев на стеблях растений, лепестков на цветке розы, в спиралевидном расположении семян в сосновой шишке, головке подсолнечника, ананасе и кактусе. И эта закономерность математически выражается числами Фибоначчи и золотой пропорцией! И мы снова и снова убеждаемся в том, что все в природе подчинено единому плану, единому закону - «закону золотого сечения» – и раскрыть и объяснить этот фундаментальный закон природы во всех его проявлениях и есть главная задача науки.

Код Фибоначчи в природе и жизни

‌Наблюдая за явлениями, происходящими в природе, учёные сделали поразительные выводы о том, что вся последовательность событий, происходящих в жизни, революции, крушения, банкротства, периоды процветания, законы и волны развития на фондовом и валютных рынках, циклы семейной жизни, и так далее, организуются на временной шкале в виде циклов, волн. Эти циклы и волны тоже распределяются в соответствии с числовым рядом Фибоначчи. Опираясь на эти знания, человек научится в будущем прогнозировать различные события и управлять ими.

Прогнозирование событий в будущем
Прогнозирование событий в будущем

  Числа Фибоначчи и тайны мироздания

Числа Фибоначчи являются вершиной айсберга тайны мироздания, главным образом, в том смысле, в каком они являются обобщением "золотого сечения", отражающего фундаментальнейший принцип симметрии, сопричастный, в свою очередь, той гармонии общемирового единства, в которой и кроется информационная тайна мироздания.

Тайна мироздания в числах

‌Простота в понимании чисел Фибоначчи аналогична простоте в понимании красоты, - кто не способен отличать прекрасное от безобразного? Общедоступное, однако, может быть и бытовой прописью типа "дважды два – четыре", не таящего ничего за своей спиной, а может оно быть и вершиной айсберга, т.е. проявлением каких-то глубинных тайн!

Прекрасное и безобразное
Прекрасное и безобразное

Захотел человек поднять руку, и поднял, - что может быть проще и общедоступней? Да, это общедоступно, без труда все это делают, но никто этого не понимает! Ибо это и есть то информационное инструктирование, та материализация духа, лишь к подступам в понимании тайны которой приближается современная наука!

Информационное инструктирование
Информационное инструктирование

"Золотым сечением" называют такое отношение суммы двух величин к большему слагаемому, которое равно отношению большего слагаемого к меньшему слагаемому. Числа Фибоначчи являются обобщением "золотого сечения", поскольку они фиксируют дальнейшее спиралеобразное развитие пропорциональной зависимости последующей величины от двух предшествующих величин.

Концепция спиралеобразного развития
Концепция спиралеобразного развития

В реальных спиралеподобных процессах закономерность, найденная Фибоначчи (последующее определяется предыдущим), естественно дополняется закономерностью (последующее не зависит от предыдущего), так как первое исключает появление того, чего раньше не было, т.е. обеспечивает устойчивость, второе исключает влияние предыдущего на последующее, т.е. обеспечивает изменчивость, рождение нового. Поэтому практическое приложение закономерности Фибоначчи концентрируется в сфере измерений высокой точности, т.е. в метрологии.

Метрология и система измерений

‌Счетные машины, построенные не на двоичной, десятичной и прочих системах с рациональным основанием, а на системе чисел Фибоначчи, обнаруживает исключительно важное, ни с чем не сравнимое преимущество: способность к самообнаружению ошибок! Построенные на основе систем счисления с иррациональными основаниями типа "золотой пропорции" (кодов Фибоначчи) компьютеры обеспечивают точность при преобразовании поступающих сигналов 99,995 процентов.

Счетная машина на десятичной системе
Счетная машина на десятичной системе

Но помимо связи с глобально-космической проблемой симметрии, числа Фибоначчи имеют не менее тесную связь с не менее глобально-философскими проблемами интерпретации конечного-бесконечного и измеряемого-измеряющего. Не вдаваясь в подробности, скажем несколько слов по поводу этих двух аспектов проблемы измерения, проявляющихся при достаточно внимательном исследовании чисел Фибоначчи.

Конечное и бесконечное

‌Затрагивая вопрос о природе измерения, неизбежно приходят к необходимости проанализировать предпосылки аксиом Архимеда и Кантора, на основании которых эти измерения производятся. Аксиома Архимеда говорит о том, что насколько бы одна величина не была больше другой, повторив меньшую надлежащее число раз, мы превзойдем большую.

‌Тем самым постулируется принцип бесконечного бескачественного деления и увеличения, лежащий в основании учения Гроссмана о протяженности: "Протяженность имеет то свойство, что если из некоторого ее элемента А вытекает путем некоторого акта изменения другой элемент В той же природы, то из В путем того же акта изменения получается третий ее элемент С", и так до бесконечности. Математик Веронезе в 19 в. предложил систему, в которой выполнялись все аксиомы геометрии, кроме аксиомы Архимеда.

Протяженность
Протяженность

Но идея неархимедовой геометрии, в отличие от идеи геометрии неэвклидовой, не получала развития вплоть до Гейзенберга, предложившего гипотезу квантов пространства-времени.

Гипотеза квантов пространства-времени

‌Согласно этой гипотезе процесс бесконечного деления геометрической протяженности прерывается в области масштабов, меньших радиуса электрона, т.е. в области, где с точки зрения "нормальной" физики начинают происходить "ненормальные", необъяснимые, сверхъестественные, волшебные явления: одноименные заряды, вместо того, чтобы отталкиваться, образуют самые устойчивые элементарные частицы, - электроны и протоны, - а разноименные заряды электрона и протона, вместо того, чтобы притягиваться, моментально схлопнуться, формируют самый распространенный во Вселенной атом, - атом водорода.

Электроны и протоны в атоме
Электроны и протоны в атоме

Квантовая механика, с точки зрения здравого рассудка, с позиций координатно-бытовой картины мира никакого объяснения этим чудесам не дала: она лишь объявила эти экспериментальные факты теоретическими постулатами! Но с точки зрения информационно-космической картины мира, с позиций современной науки с тех пор (начало 20-го века) азбучной истиной является отказ от понимания электрона как шарика (во столько же раз меньшего яблока, во сколько раз яблоко меньше земного шара).

Сравнение электрона, яблока и Земли
Сравнение электрона, яблока и Земли

Не все объективное наглядно и не все наглядное – объективно! Как пишет популяризатор квантовой механики, венгерский ученый Каройхази, - "нормальный" человек, всю жизнь считавший координатно-бытовое мышление единственно возможной формой научного мышления, конечно же, скажет, что прежде, чем изучать квантовую механику, нужно лишиться рассудка, сойти с ума!

Основы квантовой механики

‌О том, что центральное понятие классической физики, понятие геометрической протяженности, на котором, как на архимедовой точке опоры, стоял последние триста лет мир позитивистской вольтеровско-галилеевской науки (и опиравшийся на него мир политического макиавеллизма), поражено внутренне неразрешимым противоречием, которое знали только математики, да и то не все, а лишь те, которые ясно представляли себе несовместимость аксиом Архимеда и Кантора.

Немецкий математик Георг Кантор
Немецкий математик Георг Кантор

Последняя говорит о том, что если на прямой дана бесконечная последовательность вложенных друг в друга отрезков (т.е. таких отрезков, из которых каждый составляет часть предыдущего), то существует, по крайней мере, одна точка, общая всем этим, - вложенным друг в друга, - отрезкам.

Аксиомы теории множеств
Аксиомы теории множеств

Кантор, как и Архимед, предполагает, что понятие протяженности в смысле Грассмана, т.е. возможность ничем не ограниченного бесконечного деления и накопления, является незыблемой предпосылкой научного понимания мира, азбукой рационального образа мыслей, - как об этом сказал еще Декарт, заменивший самоочевидным для здравого смысла понятием протяженности ненаглядное и несамоочевидное информационно-космическое понятие Вселенной как образования более сложного и более информационно-насыщенного, чем человек.

Взаимосвязанность отдельных элементов Вселенной

‌По этой причине, на первый взгляд, никакого противоречия между Архимедом и Кантором нет. Но математика должна отказаться от идеи актуально реализуемой бесконечности, и, следовательно, отказаться от аксиомы Кантора, основанной на допущении реальности именно такого бесконечного процесса. В аксиоме Архимеда речь идет о как угодно большом, но конечном числе, а у Кантора говорится о бесконечном процессе, ведущем к ситуации, где наличествует объект, не имеющий частей, - точка.

Бесконечный процесс
Бесконечный процесс

Рассмотрим два аспекта проблемы измерения как две вершины одного айсберга информации. Вначале мы отметим, что числа Фибоначчи имеют прямое отношение к науке об измерении величин, метрологии. На первый взгляд сфера метрологии представляется узкоспециальной, засушенной, сугубо технической. Философией, тайнами мироздания здесь, казалось бы, и не пахнет: речь идет о наиболее эффективном наборе гирь при взвешивании, подборе монет в торговле, выборе системы счисления в компьютерах, и т.п.

Сфера государственной метрологии
Сфера государственной метрологии

Но, как было уже показано, общемировая философская проблема конечного-бесконечного в форме аксиом Архимеда и Кантора имеет прямой выход к проблеме измерения, а вопрос о том, меняется ли или же не меняется измеряемое в процессе измерения, является сущностью соотношения неопределенностей Гейзенберга и принципа дополнительности Бора.

Принцип неопределенности Гейзенберга

‌Если концепция Декарта-Грассмана рисует нам картину мира, в которой основной реальностью, за спиной которой уже больше ничего нет, является протяженность трехмерного пространства-ящика (конечного или бесконечного), то уже у Эйнштейна устойчивость различия между сантиметром и километром объявляется иллюзией, подобной иллюзии видимого движения Солнца, т.е. как бы реальностью второго сорта, ибо в зависимости от наглядно нами невоспринимаемого тензора массы-энергии пространство-моллюсок может и сжиматься до масштабов микромира и растягиваться до масштабов мегамира.

Масштабы микромира
Масштабы микромира

Некоторые ученые и публицисты пытались идти именно этим путем, и поэтому в нем нашлось место для "золотого сечения" как частного случая чисел Фибоначчи. Следовательно, числа Фибоначчи достопримечательным образом даже не один, а два раза открывают нам дверь к тайнам мироздания: один раз в качестве технологии измерения они заставляют нас думать о конечном-бесконечном и соотношении неопределенностей Гейзенберга, второй раз в качестве обобщения "золотого сечения" открывают путь к сфере гармонии, красоты, симметрии.

Магическая сфера гармонии
Магическая сфера гармонии

  Числовой ряд Фибоначчи и Космос

Понятие «всемирной симпатии», то есть гармонии всего существующего, Пифагор считал главным пунктом своего учения. Именно он одним из первых использовал термин «космос», происходящий от греческого слова «космео», что означает «украшаю». Космос, то есть упорядоченный, гармоничный мир, противопоставлялся хаосу, беспорядочному началу бытия, с которого, по убеждению греков, и началось созидание богами Мироздания.

Космос и Вселенная

Из истории астрономии известно, что Иоганн Тициус, немецкий астроном XVIII в., с помощью этого ряда нашел закономерность и порядок в расстояниях между планетами солнечной системы, связанные с последовательностью чисел Фибоначчи. Однако один случай, который, казалось бы, противоречил закону: между Марсом и Юпитером не было планеты. Сосредоточенное наблюдение за этим участком неба привело к открытию пояса астероидов.

Пояс астероидов между Марсом и Юпитером
Пояс астероидов между Марсом и Юпитером

Произошло это после смерти Тициуса в начале XIX в. Числовую последовательность Фибоначчи используют широко: с его помощью представляют архитектонику и живых существ, и рукотворных сооружений, и строение Галактик. Эти факты - свидетельства независимости числового ряда от условий его проявления, что является одним из признаков его универсальности.

Немецкий астроном Иоганн Даниэль Тициус
Немецкий астроном Иоганн Даниэль Тициус

Во Вселенной все известные человечеству галактики и все тела в них существуют в форме спирали, соответствующей формуле золотого сечения. В организации строения спирали нашей галактики лежит коэффициент Фибоначчи или золотого сечения.

Спиральная галактика с двумя рукавами
Спиральная галактика с двумя рукавами

Две Золотых Спирали галактики совместимы со Звездой Давида. Обратите внимание на звёзды, выходящие из галактики по белой спирали. Точно на 180 градусов от одной из спиралей с противоположной стороны от ядра галактики выходит другая развёртывающаяся спираль. Долгое время астрономы просто считали, что всё, что там есть - это то, что мы видим; если что-то видимо, то оно существует.

Совмещение спиралей галактики со Звездой Давида
Совмещение спиралей галактики со Звездой Давида

Они либо совершенно не замечали невидимой части Реальности, либо они не считали её важной. Но невидимая сторона нашей Реальности в действительности значительно больше видимой стороны и, вероятно, важнее. ... Иными словами, видимая часть Реальности значительно меньше, нежели один процент от целого - почти ничто. На самом деле, наш настоящий дом - невидимая вселенная...

Строение галактики Млечный Путь
Строение галактики Млечный Путь

Следующий рисунок показывает петлеобразное движение планет Солнечной системы вокруг геометрического центра Солнца. На картинке мы видим движения планет Юпитер, Сатурн, Уран и Нептуна (на интервале 1945 - 1995 гг.). Это движение формируется по законам спиралеобразования в соответствии с золотой пропорцией и числовым рядом Фибоначчи.

Петлеобразное движение планет вокруг Солнца
Петлеобразное движение планет вокруг Солнца

Пифагорейцы считали, что небесные светила расположены на концентрических сферах, имеющих общим своим центром Землю. Расстояния между сферами соответствуют определенным музыкальным интервалам. При вращении сфер каждая из них издает свой тон, и в результате сложения тонов получается гармоническая мелодия «музыка небесных сфер». Однако, по убеждению пифагорейцев, слышать эту музыку могут только избранные. Платон называл пропорцию фи «ключом к физике космоса».

Музыка небесных сфер
Музыка небесных сфер

Советский астроном Пулковской обсерватории К.П. Бутусов в серии обстоятельных работ решил проверить, в чем были правы и в чем ошибались пифагорейцы. Оказалось, что соотношение периодов обращений соседних планет равно соотношению Фибоначчи, т.е. числу Ф или Ф в квадрате. По его словам «частоты обращений планет и разности частот обращений образуют спектр с интервалом, равным числу Ф, то есть спектр, построенный на основе золотого сечения или ряда Фибоначчи.

Советский астрофизик Кирилл Бутусов
Советский астрофизик Кирилл Бутусов

Иными словами, спектр гравитационных и акустических возмущений, создаваемых планетами, представляет собой консонансный аккорд, наиболее совершенный с эстетической точки зрения». Вызвана эта гармония, разумеется, вполне естественными причинами. Когда формировалась Солнечная система, в газопылевом облаке, окружающем Солнце, возникали акустические волны, создаваемые Солнцем и зарождающимися планетами.

Формирование Солнечной системы

‌Для устойчивости планетных орбит должны выполняться условия стационарности. А это будет при резонансе акустических волн с периодом, равным периоду обращения планеты. Таким образом, невоспринимаемая нашим ухом «музыка небесных сфер» тем не менее, таит в себе глубокий физический смысл. Любопытно, что расположение перигелиев и афелиев планет по логарифмическим спиралям, как доказал К.П. Бутусов, также связано с «гармоническими» числами и соотношениями Фибоначчи.

Условия стационарности во Вселенной
Условия стационарности во Вселенной

Почему оно так распространено в Солнечной системе? Эту загадку предстоит решить будущему. По мнению К.П. Бутусова изучение золотого сечения и чисел Фибоначчи во Вселенной пока ведется в масштабах явно недостаточных. Имеет смысл создать систему счисления, в основу которой следует положить не число 10, а число Ф. В рамках такой «золотой математики» прикладные исследования золотого сечения стали бы гораздо плодотворнее. Во всяком случае, для описания форм планет, их орбит, спиральных галактик число Ф, как считает К.П. Бутусов, более чем любое другое станет естественным числом для их изучения.

Золотая математика

‌В онтологическом отношении, весь мир - это единое полевое образование с локальными полевыми неоднородностями в виде галактик, звезд, атомов, элементарных частиц, электромагнитного излучения, их суперпозиций и полевых взаимодействий. Выполняется принцип матрешки: поле большего масштаба (например, поле галактики) является средой существования полевых образований меньшего масштаба (звезды, планеты и т.д.).

Принцип матрешки во Вселенной
Принцип матрешки во Вселенной

Можно сказать и по-другому: суперпозиция полей одного масштаба (например, звезды) порождают суммарное поле более высокого масштаба (галактика, как полевое образование). Как видно, данный подход к объяснению мироздания является очень перспективным в плане познания истинных законов природы, чего не скажешь о нынешних теориях, основанных на фривольном толковании квантовой механики и фантазиях Эйнштейна.

Фантазии Эйнштейна
Фантазии Эйнштейна

  Числа Фибоначчи в современной науке

Огромное влияние на развитие современной «теории чисел Фибоначчи» оказало учреждение в 1963 году математической «Фибоначчи-ассоциации», которая с 1963 года начала издавать ежеквартальный математический журнал The Fibonacci Quarterly. Одним из основателей Фибоначчи Ассоциации и The Fibonacci Quarterly был американский математик Вернер Хоггатт (Verner Emil Hoggatt) (1921-1981), профессор San Jose State University (США).

Профессор Вернер Хоггатт (Verner Emil Hoggatt)
Профессор Вернер Хоггатт (Verner Emil Hoggatt)
    Фибоначчи-ассоциация

В 1969 году издательство "Houghton Mifflin" опубликовало книгу Вернера Хоггатта "Fibonacci and Lucas Numbers", которая до сих пор считается одной из лучших книг в этой области. Вернер Хоггатт внес большой вклад в популяризацию исследований в области чисел Фибоначчи. Его последователи отмечают его продолжительную и, несомненно, выдающуюся работу профессором San Jose State University. Он руководил огромным количеством магистерских диссертаций и написал большое число статей по проблеме чисел Фибоначчи.

Fibonacci and Lucas Numbers
Fibonacci and Lucas Numbers

Другой выдающейся личностью, причастной к созданию Фибоначчи-ассоциации и учреждению The Fibonacci Quarterly, был ученый монах Брат Альфред Бруссау (Alfred Brousseau). Духовный орден, к которому принадлежал Брат Альфред Бруссау, назывался "Братья христианских школ" или просто "Христианские братья". Альфред Бруссау был принят в Орден "Христианские братья" в 1923 году.

Духовный Орден Братья христианских школ
Духовный Орден Братья христианских школ

В 1930 году Альфред Бруссау был зачислен в колледж Святой Марии в Калифорнии. Одновременно с обучением в колледже Святой Марии, Альфред Бруссау продолжал самостоятельно изучать физику и в 1937 году он получил докторскую степень в Калифорнийском университете.

Доктор Альфред Бруссау (Alfred Brousseau)
Доктор Альфред Бруссау (Alfred Brousseau)

При изучении истории создания Фибоначчи-ассоциации, которая поставила довольно странную цель – изучать числовую последовательность, открытую в 13 веке итальянским математиком Фибоначчи, возникают следующие естественные вопросы:

- в чем причина повышенного интереса членов Фибоначчи-ассоциации и огромного количества «любителей математики» именно к числам Фибоначчи?;

Любители математики
Любители математики

- что объединяло двух очень разных людей – математика Вернера Хоггатта и представителя духовного братства Альфреда Бруссау, когда они задумали создать Фибоначчи-ассоциацию и учредить математический журнал с необычным названием «The Fibonacci Quarterly»?

Математический журнал The Fibonacci Quarterly
Математический журнал The Fibonacci Quarterly

К сожалению, в кратких биографиях и работах Вернера Хоггатта и Альфреда Бруссау, выставленных на Интернете, прямого ответа на этот вопрос нет. Но мы можем попытаться дать ответ на эти вопросы косвенно, анализируя некоторые документы, в частности, фотографии, а также их книги и статьи, опубликованные на страницах The Fibonacci Quarterly и в других изданиях.

Книги и публикации о числах Фибоначчи
Книги и публикации о числах Фибоначчи

В 1969 году журнал TIME опубликовал статью "The Fibonacci Numbers", посвященную Фибоначчи-ассоциации. В этой статье было представлено фото Альфреда Бруссау, держащего в руках кактус, который является одним из наиболее характерных "фибоначчиевых" ботанических объектов.

Американский журнал TIME
Американский журнал TIME

В статье рассказывается и о других природных проявлениях этих чисел: о фибоначчиевой закономерности в размножении трутней, а также о том, что числа Фибоначчи встречаются в спиральных образованиях цветов, видимых на многих подсолнечниках, чешуйках сосновых шишек, ветвящихся узорах деревьев, и в расположении листьев на ветках деревьев.

Схема размножения трутней
Схема размножения трутней

Тем, кто изучает числа Фибоначчи, Альфред Бруссау рекомендовал "обращать внимание на поиск эстетического удовлетворения в них. Существует некоторый вид мистической связи между этими числами и Вселенной". Отсюда мы можем сделать предположение, что Вернер Хоггатт, как и Альфред Бруссау, верил в мистическую связь между числами Фибоначчи и Вселенной. Эта вера и объединила математика Вернера Хоггатта и ученого монаха Альфреда Бруссау и стала главным движущим мотивом для разворачивания работ по числам Фибоначчи и их приложениям в современной науке.

Мистическая связь между Вселенной и числами Фибоначчи
Мистическая связь между Вселенной и числами Фибоначчи

Но, как было установлено выше, числа Фибоначчи связаны с «золотой пропорцией» с помощью формулы Кеплера, согласно которой отношение соседних чисел Фибоначчи в пределе стремиться к «золотой пропорции». Это означает, что числа Фибоначчи, как и «золотая пропорция», являются количественными выразителями гармонии Мироздания, то есть, действительно «существует некоторый вид мистической связи между этими числами и Вселенной" (Альфред Брюссау).

Иоганн Кеплер и теория чисел Фибоначчи
Иоганн Кеплер и теория чисел Фибоначчи

Это означает, что теория чисел Фибоначчи, которая начала особенно активно развиваться с момента создания Фибоначчи-ассоциации (1963), была направлена, прежде всего, на решение задач гармонизации теоретического естествознания (ботаника, биология, физические науки), а также экономики, образования и искусства, связанной с золотым сечением и числами Фибоначчи.

Гармонизация научной деятельности

Но, как упоминалось, в основе теории чисел Фибоначчи лежит «проблема гармонии», которая и объединяет в единое целое указанные выше разнородные области науки, экономики, искусства и образования, к которым приложимы числа Фибоначчи. Таким образом, анализируя причины возникновения теории чисел Фибоначчи в современной математике, мы неожиданно приходим к древнегреческому учению о числовой гармонии Мироздания, которое в современной математике оказалось воплощенным в «теории чисел Фибоначчи»!

Гармония Мира
Гармония Мира

И возможно было бы правильно и справедливо назвать эту новую математическую теорию «математической теорией гармонии Природы», а не скрывать главную цель этой теории под названием «теория чисел Фибоначчи».

Гармония Природы

‌Хотя создание американской Фибоначчи-ассоциации следует признать несомненной заслугой профессора Вернера Хоггатта и его соратников, но, справедливости ради, необходимо отметить, что первым из современных математиков обратил внимание на «теорию чисел Фибоначчи» выдающийся советский математик Николай Николаевич Воробьев. В 1961 г. он опубликовал брошюру «Числа Фибоначчи», которая сыграла в развитии «теории чисел Фибоначчи», выдающуюся роль. Она выдержала большое количество изданий, переведена на многие языки мира и стала настольной книгой многих советских и зарубежных ученых.

Известный советский математик Николай Воробьёв
Известный советский математик Николай Воробьёв

Брошюра Воробьева сыграла определяющую роль в приобщении одного из советских математиков Алексея Стахова к тематике чисел Фибоначчи и выбора направлений исследований автора в кандидатской (1966) и докторской (1972) диссертациях. В 1974 г. Алексей Стахов встретился в Ленинграде с Н.Н.Воробьевым, рассказал ему о своих научных результатах в этой области и тот подарил ему брошюру «Числа Фибоначчи» (3-е издание, 1969 г.) с дарственной надписью «Глубокоуважаемому Алексею Петровичу Стахову с фибоначчистским приветом».

Брошюра Воробьева с дарственной надписью Алексею Стахову
Брошюра Воробьева с дарственной надписью Алексею Стахову
    «Золотая Группа» по изучению чисел Фибоначчи

К началу 90-х годов стало ясно, что в славянской науке (Украина, Россия, Белоруссия, Польша) сформировалась группа активно работающих ученых - представителей различных наук и искусств, авторов весьма оригинальных публикаций в области золотого сечения. Возникла идея собрать воедино всех этих ученых и создать некоторое научное сообщество "золотоискателей". В 1992 году в Киеве состоялся Первый Международный семинар "Золотая пропорция и проблемы гармонии систем".

Книга профессора Виктора Коробко
Книга профессора Виктора Коробко

Активными участниками семинара и членами организационного комитета стали: белорусский философ доктор философских наук Э.М. Сороко (Минск), украинский архитектор, доктор искусствоведения О.Я. Боднар (Львов), украинский экономист, доктор экономических наук И.С. Ткаченко, российский механик, доктор технических наук В.И. Коробко (Ставрополь), представитель украинской медицинской науки, доктор медицинских наук П.Ф. Шапаренко (Винница), украинский химик, кандидат химических наук Н.А. Васютинский (Запорожье), польский ученый и журналист Ян Гржеджельский.

Белорусский ученый философ Эдуард Сороко
Белорусский ученый философ Эдуард Сороко

Эта группа ученых и составила костяк неформального объединения славянских ученых, вошедшего в историю науки под названием "Славянская золотая группа". В 2003 году эта группа была преобразована в Международный Клуб Золотого Сечения в рамках Академии Тринитаризма.

Интернет-сайт Академия Тринитаризма
Интернет-сайт Академия Тринитаризма
    Математика Гармонии и числа Фибоначчи

По инициативе Международного Клуба Золотого Сечения с 8 по 10 октября 2010 года в Одесском Национальном Университете им. И.И. Мечникова был проведен 1-й Международный Конгресс на тему "Современные аспекты Математики Гармонии и её применение в экономике, естествознании, технологии, социуме и образовании".

Международный Конгресс по Математике Гармонии
Международный Конгресс по Математике Гармонии

Публикация книги Алексея Стахова «The Mathematics of Harmony. From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science” стала непосредственной причиной проведения этого Международного Конгресса. Конгресс был проведен по инициативе кафедры менеджмента и математического моделирования рыночных процессов Одесского Национального Университета им. И.И. Мечникова.

Книга Алексея Стахова The Mathematics of Harmony
Книга Алексея Стахова The Mathematics of Harmony

Проведению Конгресса предшествовало несколько важных событий, касающихся «математики гармонии». Прежде всего, в рамках подготовки к Конгрессу в Одесском университете был создан настенный музей «Математика гармонии в лицах», в котором с помощью живописных планшетов представлена история «математики гармонии», начиная с Пифагора, Платона, Евклида и до настоящего времени, и приведены примеры проявления "математики гармонии" в природе, науке и искусстве.

Математика Гармонии

‌Характерной особенностью Конгресса явилось участие в нем специалистов широко профиля, работающих на стыке наук. Особый интерес вызвал доклад проф. Скотта Олсена (США), сделанный им на основе его книги “The Golden Section. Nature’s Greatest Secret”, получившей широкое признание в среде «золотосеченцев». Содержательные доклады были сделаны известными учеными в этой области – доктором философских наук Сороко (Минск), доктором искусствоведения Боднаром (Львов), доктором физико-математических наук Петуховым (Москва), доктором философских наук Волошиновым (Саратов) и другими.

Книга Скотта Олсена The Golden Section. Nature’s Greatest Secret
Книга Скотта Олсена The Golden Section. Nature’s Greatest Secret

Конгресс открыл научному сообществу новые имена. Прежде всего, это - доцент Сумского университета Сергей Якушко, рассказавший в своем докладе о сенсационном открытии в области химии – обнаруженной им фибоначчиевой закономерности в Периодической таблице Менделеева Дмитрия Ивановича.

Периодическая система элементов Менделеева
Периодическая система элементов Менделеева

Необходимо отметить доклад проф. Олега Когновицкого (Санкт-Петербург), в котором проведен глубокий анализ рекуррентных последовательностей Фибоначчи с использованием, так называемого двойственного базиса, что имеет большое значение для развития теории помехоустойчивого кодирования. Прекрасные доклады были сделаны доктором технических наук Александром Коноваловым (Тюмень), кандидатом технических наук Александром Южанниковым (Красноярск), Денисом Клещевым (Россия), Александром Чечиком (Киев) и др.

Теория помехоустойчивого кодирования

‌Своими решениями Конгресс четко определил задачи по развитию этого направления и его практического воплощения в современную жизнь. Создана Международная комиссия по «Математике гармонии», во главе с проф. Стаховым (Канада) и проф. Олсеном (США) для координации работ по этому направлению.

Профессор Алексей Петрович Стахов
Профессор Алексей Петрович Стахов
    10-я проблема Гильберта и числа Фибоначчи

В заключение этой части расскажем об истории решения 10-й проблемы Гильберта, при решении которой были использованы числа Фибоначчи. Эта история восходит к 1900 году. Летом этого года математики собрались в Париже на второй Международный конгресс математиков, в работе которого принимали участие самые знаменитые математические светила мира.

10-я проблема Гильберта
10-я проблема Гильберта

Одним из них был немецкий математик, профессор Геттингенского университета Давид Гильберт (1862-1943), который сделал на Конгрессе доклад "Математические проблемы", в котором он сформулировал те проблемы, которые, по его мнению, должны определять дальнейшее развитие математики.

Профессор Геттингенского университета Давид Гильберт
Профессор Геттингенского университета Давид Гильберт

Доклад Гильберта является, возможно, наиболее значительной лекцией, прочитанной когда-либо математиком для математиков и посвященной проблемам математики. В своей лекции Гильберт изложил 23 главные математические проблемы, которые должны быть решены в новом столетии. Лекция Гильберта была больше, чем простое собрание математических проблем.

23 проблемы Гильберта

‌Она отражала его философию математики и предлагала проблемы, важные с точки зрения его философии. И хотя прошло более столетия, лекция Гильберта является такой же важной и может быть прочитана с большим интересом каждым, кто интересуется математическими исследованиями.

Философия математики
Философия математики

Как известно, 10-я проблема Гильберта называется "Задачей о разрешении диофантовых уравнений" и для того, чтобы объяснить суть этой проблемы, мы должны возвратиться на 17 веков назад к античному математику Диофанту. Мы очень мало знаем о Диофанте, который считается последним великим математиком античности.

Древнегреческий математик Диофант и его уравнения
Древнегреческий математик Диофант и его уравнения

Его творчество сыграло столь значительную роль в истории алгебры, что многие историки математики приложили немало усилий, чтобы определить срок его жизни. Предполагается, что он жил в середине 3-го столетия н.э. и прожил 84 года. Основным произведением Диофанта была "Арифметика". Именно это фундаментальное математическое сочинение, состоящее из 13 книг, явилось поворотным пунктом в развитии алгебры и теории чисел. Диофант поставил задачу нахождения целочисленных значений алгебраических уравнений. Такие уравнения получили название диофантовых.

Арифметика Диофанта
Арифметика Диофанта

В своей знаменитой лекции 1900 года Давид Гильберт изложил 10-ю проблему следующим образом: «Задано Диофантово уравнение с некоторым числом неизвестных и рациональными целыми коэффициентами. Необходимо придумать процедуру, которая могла определить за конечное число операций - является ли уравнение разрешимым в рациональных целых числах».

Проблема алгоритмической разрешимости
Проблема алгоритмической разрешимости

Десятая проблема Гильберта была решена молодым русским математиком Юрием Матиясевичем. Его имя стало широко известным в 1970 г., когда он завершил последний недостающий шаг в "негативном решении" десятой проблемы Гильберта. И сейчас мы приблизились к главному – использованию Матиясевичем чисел Фибоначчи при решении 10-й проблемы Гильберта.

Российский математик Юрий Матиясевич
Российский математик Юрий Матиясевич

В одной из своих работ Матиясевич написал: «Мой следующий шаг состоял в том, чтобы рассмотреть широкий класс уравнений для двоичных слов с дополнительными условиями. Так как конечной целью всегда была 10-я проблема Гильберта, я мог бы рассматривать только такие условия, которые (при подходящем кодировании) были бы представлены Диофантовыми уравнениями.

Двоичные слова в математике

‌Таким путем я пришел к таким уравнениями, которые я назвал «equations in words and length» (уравнениями с ограниченными длинами серий). Приведение к таким уравнениям было основано на знаменитых числах Фибоначчи. Хорошо известно, что каждое натуральное число может быть представлено единственным образом как сумма различных чисел Фибоначчи, в которой нет двух соседних чисел Фибоначчи (так называемое представление Цекендорфа).

Бельгийский любитель математики Эдуард Цекендорф
Бельгийский любитель математики Эдуард Цекендорф

Главный вывод из этих рассуждений состоит в том, что решение одной из наиболее сложных математических проблем – 10-й проблемы Гильберта – получено с использованием теории чисел Фибоначчи. И этот факт сам по себе поднимает на высокий уровень как теорию чисел Фибоначчи, так и «математику гармонии».

Теория чисел Фибоначчи

В развитие вопроса Юрия Матиясевича, мы вправе поставить следующий вопрос: а что бы случилось, если бы итальянский математик Фибоначчи не открыл числа Фибоначчи в 13 веке? Возможно, 10-я проблема Гильберта не была бы решена до сих пор. Конечно, теорема Воробьева, использованная Юрием Матиясевичем, является важным математическим результатом, но все же главным «виновником» решения 10-й проблемы Гильберта следует признать итальянского математика Леонардо из Пизы (по прозвищу Фибоначчи).

Развитие теории чисел Фибоначчи
Развитие теории чисел Фибоначчи

  Числа и соотношения Фибоначчи в искусстве

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому.

Красота окружающих форм

‌Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.

Приковывающие внимание точки на картине
Приковывающие внимание точки на картине

Данное открытие у художников того времени получило название «золотое сечение» картины. Поэтому, для того чтобы привлечь внимание к главному элементу картины или фотографии, необходимо совместить этот элемент с одним из зрительных центров.

Привлечение внимания к картине
Привлечение внимания к картине

Спор о том, должна или не должна наука вторгаться в заповедные области искусства, идет давно. И спор этот носит явно схоластический характер. Во все эпохи процветания искусство вступало в союз с наукой. Художники-мыслители, теоретики и педагоги, размышлявшие над проблемами обучения молодых, всегда приходили к выводу, что без науки искусство развиваться и процветать не может.

Наука и искусство

‌Художник и педагог Н. П. Крымов писал: «Говорят: искусство не наука, не математика, что это творчество, настроение и что в искусстве ничего нельзя объяснить – глядите и любуйтесь. По-моему, это не так. Искусство объяснимо и очень логично, о нем нужно и можно знать, оно математично... Можно точно доказать, почему картина хороша и почему плоха». В. И. Суриков утверждал, что в композиции есть какой-то непреложный закон, когда в картине нельзя ничего ни убрать, ни добавить, даже лишнюю точку поставить нельзя, это настоящая математика.

Русский живописец Василий Суриков
Русский живописец Василий Суриков

Когда мы смотрим на что-либо, наш мозг занимается геометрией. У человека не может возникнуть отношение к предмету, чувство, эмоция, пока мозг не произвел «измерение», сравнение этого предмета с уже имеющимся в памяти чем-то подобным. Впереди идет математика, а только потом возникает чувство. Эту работу мозг производит мгновенно, потому мы ее не замечаем и не осознаем, и нам кажется, что чувство возникает сразу.

Принципы композиции в изобразительном искусстве

‌Известный французский архитектор и теоретик архитектуры XIX в. Виолле-ле-Дюк считал, что форма, которую невозможно объяснить, никогда не будет красивой. На дверях Сикионской школы рисунка в Древней Греции было написано: «Сюда не допускаются люди, не знающие геометрии». Не следует художникам бояться математики, она вовне и внутри нас. За кажущейся простотой и случайностью живого восприятия окружающей действительности скрывается математика. Когда мы слушаем музыку, наш мозг занимается алгеброй.

Девиз Академии Платона в Древней Греции
Девиз Академии Платона в Древней Греции
    Числа и соотношения Фибоначчи в архитектуре

Числа Фибоначчи и их соотношения, включая знаменитое Золотое Сечение, широко встречаются в шедеврах мировой архитектуры, так как практически все известные зодчие использовали принципы Золотого Сечения при проектировании и возведении своих архитектурных творений. На этих же принципах создавались и крупнейшие древние архитектурные сооружения, включая знаменитые Египетские Пирамиды.

Золотое сечение в архитектуре
Золотое сечение в архитектуре

На этих же принципах создавались и крупнейшие древние архитектурные сооружения, включая знаменитые Египетские Пирамиды. Многие учёные-археологи и архитекторы пытались разгадать секреты пирамиды в Гизе.

Все об египетских пирамидах

‌В отличие от других египетских пирамид, это не гробница, а скорее неразрешимая головоломка из числовых комбинаций. Замечательные изобретательность, мастерство, время и труд архитекторов пирамиды, использованные ими при возведении вечного символа, указывают на чрезвычайную важность послания, которое они хотели передать будущим поколениям.

Гробницы фараонов в Гизе
Гробницы фараонов в Гизе

Ключ к геометро-математическому секрету пирамиды в Гизе, так долго бывшему для человечества загадкой, в действительности был передан Геродоту храмовыми жрецами, сообщившими ему, что пирамида построена так, чтобы площадь каждой из ее граней была равна квадрату ее высоты.

Геродот - древнегреческий историк
Геродот - древнегреческий историк

Конструкция пирамиды основана на фибоначчиевой пропорции Ф=1,618. Это открытие было сделано после многочисленных попыток разгадать секреты этой пирамиды. Сама пирамида в Гизе представляется неким посланием потомкам, с тем, чтобы передать определенные знания законов математической последовательности.

Конструкция гробницы фараона
Конструкция гробницы фараона

Во времена возведения пирамиды ее строители не располагали достаточными возможностями для выражения известных им закономерностей. В ту пору не существовала письменность, не использовались ещё и иероглифы. Однако создателям пирамиды удалось с помощью геометрической пропорции своего творения передать свои знания математической закономерности будущим поколениям.

Геометрия египетской пирамиды
Геометрия египетской пирамиды

Числа Фибоначчи в древнем Египте использовались при строительстве гробниц фараонов. Пирамида в Гизе построена так чтобы площадь каждой из ее граней была равна квадрату ее высоты. Наблюдения показывают, что конструкция пирамиды основана на пропорции Золотого Сечения 1,618. Храмовые жрецы передали Геродоту секрет пирамиды в Гизе. Она выстроена таким образом, что площадь каждой грани равняется квадрату высоты этой грани.

Расчет площадей египетской пирамиды
Расчет площадей египетской пирамиды

Грань пирамиды в Гизе имеет длину 783.3 фута (238.7 м), ее высота составляет 484.4 фута (147.6 м). Разделив длину грани на высоту, вы придем к соотношению Ф=1.618. Высота 484.4 фута соответствует 5813 дюймам (5-8-13), а это не что иное, как числа последовательности Фибоначчи. Все эти наблюдения приводят нас к выводу, что вся конструкция пирамиды базируется на пропорции Ф=1,618 - это числа из последовательности Фибоначчи. Эти интересные наблюдения подсказывают, что конструкция пирамиды основана на пропорции Ф=1,618.

Золотое сечение и числа Фибоначчи в пирамиде
Золотое сечение и числа Фибоначчи в пирамиде

Некоторые современные ученые склоняются к интерпретации, что древние египтяне построили ее с единственной целью - передать знания, которые они хотели сохранить для грядущих поколений. Интенсивные исследования пирамиды в Гизе показали, сколь обширными были в те времена познания в математике и астрологии. Во всех внутренних и внешних пропорциях пирамиды число 1.618 играет центральную роль.

Пропорции египетских пирамид
Пропорции египетских пирамид

Египетские пирамиды построены в соответствии с совершенными пропорциями золотого сечения. Эти сведения дают основание полагать о высоком развитии в те времена знаний в области математики и астрологии. В строгом соответствии с числом 1.618 возведено это величайшее творение не только рук человека, но и его разума. Сами внутренние и внешние пропорции пирамиды, соблюдённые в строгом соответствии с законом Золотого сечения, являются посланием нам, потомкам, из глубины веков величайшего знания.

Секретный код египетских пирамид

‌Другим примером использования чисел Фибоначчи и золотой пропорции в древнейшем мире являются Мексиканские пирамиды. Поражает воображение тот факт, что пирамиды в Мексике построены по такому же принципу, что и египетские. Невольно возникает предположение о строительстве мексиканских пирамид в одно время с египетскими, к тому же строители обладали знаниями о математическом законе Золотого сечения.

Загадки мексиканских пирамид

‌Пропорции пирамид Мексики свидетельствует, что при строительстве использовалось правило золотого сечения, базирующееся на числовом ряде Фибоначчи. Число Ф = 1.618 лежит в основе пропорций мексиканской пирамиды.

Пропорции пирамид Мексики
Пропорции пирамид Мексики

Поперечное сечение пирамиды обнаруживает форму лестницы. В первом её ярусе 16 ступеней, второй содержит 42 ступени, третий - 68 ступеней. Числа базируются на последовательности Фибоначчи по следующей схеме:

Последовательность Фибоначчи в мексиканской пирамиде
Последовательность Фибоначчи в мексиканской пирамиде

В книгах о числах Фибоначчи и Золотом Сечении можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими “золотое сечение”, то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. “Золотое сечение” дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин.

Зависимость вида объекта от положения наблюдателя
Зависимость вида объекта от положения наблюдателя

Одним из красивейших древних архитектурных произведений является Парфенон (V в. до н. э.). Результатом совместных усилий архитекторов, скульпторов и всего народа Древней Греции явилось создание этого храма богини Афины Парфенос - "великолепного Парфенона", который по праву считается величайшим памятником древнегреческой архитектуры.

Храм богини Афины Парфенон

‌Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Выступы сделаны целиком из квадратов пентилейского мрамора. Благородство материала, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре раскраски, она только подчеркивает детали и образует цветной фон (синий и красный) для скульптуры. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по “золотому сечению”, то получим те или иные выступы фасада.

Золотое сечение в пропорциях здания Парфенона
Золотое сечение в пропорциях здания Парфенона

Парфенон отличается удивительной величественностью и глубокой человечностью архитектурных и скульптурных образов и главной причиной красоты Парфенона является исключительная соразмерность его частей, основанная на золотом сечении. Архитекторы понимали, что при зрительном восприятии прямоугольник, отношение сторон которого выбрано по “золотому сечению”, вызывает ощущение гармонии.

Соотношения чисел Фибоначчи в здании Парфенона
Соотношения чисел Фибоначчи в здании Парфенона

Собор Василия Блаженного на Красной площади. Храм этот особенный, он отличается удивительным разнообразием форм и деталей, красочных покрытий; ему нет равных в нашей стране. Архитектурное убранство всего собора продиктовано определенной логикой и последовательностью развития форм. Исследователи пришли к выводу о преобладании в нем ряда золотого сечения.

Собор Василия Блаженного на Красной Площади в Москве

‌Если принять высоту собора за единицу, то основные пропорции, определяющие членение целого на части, образуют ряд золотого сечения 1: j : j2 : j3 : j4 : j5 : j6 : j7, где j = 0,618. В этом членении и заключена основная архитектурная идея создания собора, единая для всех восьми куполов, объединяющая их в одну композицию.

Золотое сечение в архитектуре Храма Василия Блаженного
Золотое сечение в архитектуре Храма Василия Блаженного

Собор Нотр-Дам де Пари во Франции или Собор Парижской Богоматери, что находится в западной части острова Сите в Париже, начали строить в 1163 году при епископе Морисе де Сюлли. Первый камень в основание символически вложил сам папа римский Александр III.

Собор Парижской Богоматери

‌Собор строился достаточно долго, около двухсот лет. В 1257-1270 гг. над собором трудились архитекторы Жан де Шель и Пьер де Монтрейль. В 1280-1330 гг., целых 50 лет, здесь работали Пьер де Шель и Жан Рави. Средства на постройку будущего главного собора Парижа с легкостью раздавали король, епископ и просто парижские граждане. К 1196 году храм был почти закончен, работы продолжались лишь на главном фасаде.

Золотое сечение в архитектуре Собора Парижской Богоматери
Золотое сечение в архитектуре Собора Парижской Богоматери

Известный русский архитектор Матвей Федорович Казаков в своем творчестве широко использовал “золотое сечение”. Его талант был многогранным, но в большей степени он раскрылся в многочисленных осуществленных проектах жилых домов и усадеб.

Русский архитектор Матвей Казаков
Русский архитектор Матвей Казаков

Например, “золотое сечение” и влияние чисел Фибоначчи можно обнаружить в архитектуре здания палаты конгресса США в Кремле. По проекту Матвея Казакова в Москве была построена Голицынская больница, которая в настоящее время называется Первой клинической больницей имени Н.И. Пирогова (Ленинский проспект, д. 5).

Здание Сената в Московском Кремле
Здание Сената в Московском Кремле

Еще один архитектурный шедевр Москвы – дом Пашкова – является одним из наиболее совершенных произведений архитектуры знаменитого русского архитектора Василия Ивановича Баженова.

Главный фасад Дома Пашкова
Главный фасад Дома Пашкова

Прекрасное творение В. Баженова прочно вошло в ансамбль центра современной Москвы, обогатило его. Наружный вид дома сохранился почти без изменений до наших дней, несмотря на то, что он сильно обгорел в 1812 г. При восстановлении здание приобрело более массивные формы. Не сохранилась и внутренняя планировка здания, о которой дают представления только чертеж нижнего этажа.

План усадьбы Дома Пашкова
План усадьбы Дома Пашкова

Многие высказывания зодчего заслуживают внимание и в наши дни. О своем любимом искусстве В. Баженов говорил: “Архитектура – главнейшие имеет три предмета: красоту, спокойность и прочность здания... К достижению сего служит руководством знание пропорции, перспектива, механика или вообще физика, а всем им общим вождем является рассудок”.

Русский архитектор Василий Баженов
Русский архитектор Василий Баженов
    Золотая пропорция и числа Фибоначчи в живописи

Каждый художник, каждый рисующий определяет в работе соотношения величин и, не удивляйтесь, отличает и выделяет для себя среди них отношение «золотого - сечения». Такой характер зрительного восприятия подтверждается многочисленными опытами, проводившимися в разное время в ряде стран мира.

Соотношения и пропорции величин

‌Немецкий психолог Густав Фехнер в 1876 г. провел ряд экспериментов, показывая мужчинам и женщинам, юношам и девушкам, а также детям нарисованные на бумаге фигуры различных прямоугольников, предлагая выбрать из них только один, но производящий на каждого испытуемого самое приятное впечатление.

Немецкий психолог Густав Фехнер
Немецкий психолог Густав Фехнер

Все выбрали прямоугольник, показывающий отношение двух его сторон в пропорции «золотого сечения». Опыты иного рода продемонстрировал перед студентами нейрофизиолог из США Уоррен Мак-Каллок в 40-х годах нашего века, когда попросил нескольких добровольцев из числа будущих специалистов привести продолговатый предмет к предпочтительной форме.

Приятный на вид прямоугольник
Приятный на вид прямоугольник

Студенты некоторое время работали, а затем вернули профессору предметы. Почти на всех из них отметки были нанесены точно в районе отношения «золотого сечения», хотя молодым людям совершенно не было ничего известно об этой «божественной пропорции». Мак-Каллок потратил два года на подтверждение этого феномена, так как сам лично не верил, что все люди выбирают эту пропорцию или устанавливают ее в любительской работе по изготовлению всевозможных поделок.

Американский нейрофизиолог Уоррен Мак-Каллок
Американский нейрофизиолог Уоррен Мак-Каллок

Интересное явление наблюдается при посещении зрителями музеев и выставок изобразительного искусства. Многие люди, сами не рисовавшие, с поразительной точностью улавливают даже малейшие неточности в изображении предметов в графических изображениях и в живописных картинах. Это, вероятно, признаки эстетического чувства человека, которое «не согласно» с разрушением гармонии формы и пропорций.

Гармония форм в изобразительном искусстве

‌Не с таким ли требованием чувства прекрасного связывается феномен «золотой пропорции» (как только не называют эту пропорцию — «божественной» «золотой» «золотым сечением», «золотым числом»)? Не зря, видно, во все века цивилизации человечества "золотая пропорция" возводилась в ранг главного эстетического принципа.

Главный эстетический принцип человечества
Главный эстетический принцип человечества

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

Строгая тайна Золотого Сечения
Строгая тайна Золотого Сечения

Впрочем, математика античности, средневековья и Возрождения была лишена сухости и абстрактности: подробное учение о символике чисел наделяло их философским, религиозным и даже эстетическим смыслом. Почетное место в ряду символических величин занимали числовая последовательность Фибоначчи и основанное на нём золотое сечение, олицетворяющее равновесие знания, чувств и силы. Это иррациональное соотношение (0,618) возникает при делении отрезка на две неравные части, при котором весь отрезок относится к большей его части, как большая к меньшей.

Философский смысл символики чисел

‌Открытие пропорций, видимо, принадлежит к заслугам древневосточной математики, Знакомство с золотым сечением сыграло немалую роль в работе античных архитекторов и скульпторов. Будет интересно узнать правило, наглядно прослеживающееся в древнегреческих статуях: при делении туловища человека в соответствии с золотым сечением легко найти уровень пупа и локтя, при повторном делении двух отрезков в противоположных направлениях обнаруживается высота колена и нижний уровень шеи.

Древнегреческие статуи

‌В средние века изучение золотого сечения обогатилось работами Леонардо Пизанского, прозванного Фибоначчи,— выдающегося итальянского математика XIII века. Создав бесконечный ряд, в котором каждое следующее число является повторением двух предыдущих (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...), он установил, что соотношение соседних чисел ряда Фибоначчи стремится к пропорции золотого сечения.

Бесконечный ряд чисел
Бесконечный ряд чисел

Замечательными свойствами обладает прямоугольник, стороны которого соответствуют числам Фибоначчи. При его делении на квадрат и другой прямоугольник последний сохраняет то же соотношение сторон. Выдающийся немецкий астроном XVI—XVII веков И. Кеплер сравнивал феноменальное воспроизведение пропорции самое себя со способностью Бога «творить подобное из подобного».

Подобное из подобного
Подобное из подобного

Старые мастера любили окутывать свои работы завесой тайны, и нередко замечательная пропорция, основанная на последовательности чисел Фибоначчи, оказывается путеводной нитью, позволяющей вторгнуться в богатый мир творческих замыслов художника. Однако распознать золотое сечение бывает порой очень непросто.

Творческий замысел художника
Творческий замысел художника

Так, на картине крупного итальянского живописца и математика XV века Пьеро-делла Франческо «Бичевание Христа» в мраморной плите пола, украшающей портик, обнаруживается сложный геометрический узор, который включен в систему линейной перспективы и потому воспринимается искаженным. Представив этот чертеж как вид сверху, получим прямоугольник, построенный с использованием золотого сечения: сочетание различных элементов чертежа заставляет вспомнить математические задачи Фибоначчи, прекрасно известные художнику.

Картина Пьеро-делла Франческо Бичевание Христа
Картина Пьеро-делла Франческо Бичевание Христа

В итоге перед глазами зрителя предстает замечательная восьмиугольная звезда, которая обладает как художественной красотой, так и математическим совершенством. Обычный зритель никогда ее не увидит, а ученый-математик, который подойдет к картине с линейкой и внимательно изучит чертеж, неожиданно обнаружит «скрытую» красоту.

Сложный геометрический узор на картине Бичевание Христа
Сложный геометрический узор на картине Бичевание Христа

Пример многократного использования золотого сечения предлагает другой замечательный художник той же эпохи - Антонелло да Мессина - в знаменитой картине «Святой Себастьян». Эта пропорция, во-первых, лежит в основе трактовки тела святого. Но подлинные чудеса раскрываются при взгляде на изображения заднего плана. Воин в высокой шапке, видимо, такого же роста, как и Себастьян, держит копье, древко которого достигает его макушки.

Картина Антонелло да Мессина Святой Себастьян
Картина Антонелло да Мессина Святой Себастьян

Очевидно, что согласно тому же стандарту изготовлено и другое копье, оказывающееся явно не по росту лежащему рядом человеку: его древко перекинуто между двумя уровнями высоты. Подробные вычисления, опирающиеся на пропорции человеческой фигуры и теорему Пифагора, а также учитывающие длину обоих копий, обнаруживают, что плитки пола являются прямоугольниками, стороны которых находятся в золотом соотношении.

Пропорции на картине Святой Себастьян
Пропорции на картине Святой Себастьян

И это неожиданно наталкивает на целую гамму прекрасно задуманных пропорций. Рост лежащего воина, который мы можем установить по длине его вытянутой вперед левой стопы, в соотношении с ростом Себастьяна даст квадратный корень золотого сечения — 0,79. И если святой является атлетом в 6 футов (1 м 80 см — 1 м 90 см), то лежащий воин оказывается карликом, достигающим 1 м 40 см - 1 м 50 см.

Прекрасно задуманные пропорции
Прекрасно задуманные пропорции

Квадрат золотого сечения (0,38) создается отношением диаметра к высоте обломка колонны символа ранней смерти, лежащего на переднем плане. А если мы поставим обломок рядом с ногой Себастьяна, то он окажется на уровне его колена, что также связано с замечательной пропорцией. Богатая фантазия художника, соединенная с аналитической ясностью замысла, свидетельствует, что золотое сечение полностью оправдывает свое назначение, установленное еще в эпоху Пифагора,— создавать равновесие знания, чувств и силы.

Равновесие Знания и Силы
Равновесие Знания и Силы

Как и Антонелло да Мессина, Рафаэль не был ученым-математиком, но, подобно многим художникам той эпохи, обладал немалыми познаниями в геометрии. В знаменитой фреске «Афинская школа», где в храме науки предстоит общество великих философов древности, наше внимание привлечет группа Эвклида - крупнейшего древнегреческого математика, разбирающего сложный, чертеж.

Фреска Афинская школа Рафаэля
Фреска Афинская школа Рафаэля

Хитроумная комбинация двух треугольников также построена в соответствии с пропорцией золотого сечения: она может быть вписана в прямоугольник с соотношением сторон 5/8. Этот чертеж удивительно легко вставляется в верхний участок живописной архитектуры. Верхний угол треугольника упирается в замковый камень арки на ближнем к зрителю участке, нижний — в точку схода перспектив, а боковой участок обозначает пропорции пространственного разрыва между двумя частями арок.

Детали фрески Афинская школа Рафаэля
Детали фрески Афинская школа Рафаэля

И не случайно в облике живописного Эвклида обнаруживается портрет друга Рафаэля, известного архитектора Браманте, участвующего в разработке проекта согласно тем математическим и художественным законам, которые установлены персонажами фрески учеными античного мира.

Итальянский архитектор Донате Браманте
Итальянский архитектор Донате Браманте

Ощущение динамики, волнения проявляется сильней всего в другой простой геометрической фигуре - спирали. Многофигурная композиция, выполненная в 1509-1510 годах Рафаэлем, когда прославленный живописец создавал свои фрески в Ватикане, отличается динамизмом и драматизмом сюжета. Рафаэль так и не довел свой замысел до завершения, однако, его эскиз был гравирован неизвестным итальянским графиком Маркантинио Раймонди, который на основе этого эскиза и создал гравюру «Избиение младенцев».

Гравюра с картины Рафаэля Избиение младенцев
Гравюра с картины Рафаэля Избиение младенцев

Если на подготовительном эскизе Рафаэля мысленно провести линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка, - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза (на рисунке эти линии проведены красным цветом), а после этого соединить эти куски кривой пунктиром, то с очень большой точностью получается золотая спираль. Это можно проверить, измеряя отношение длин отрезков, высекаемых спиралью на прямых, проходящих через начало кривой.

Золотая спираль в эскизе Рафаэля Избиение младенцев
Золотая спираль в эскизе Рафаэля Избиение младенцев

Неизвестно, рисовал ли на самом деле Рафаэль золотую спираль при создании композиции "Избиение младенцев" или только "чувствовал" ее. Однако с уверенностью можно сказать, что гравер Раймонди эту спираль увидел. Об этом свидетельствуют добавленные им новые элементы композиции, подчеркивающие разворот спирали в тех местах, где она у нас обозначена лишь пунктиром. Эти элементы можно увидеть на окончательной гравюре Раймонди: арка моста, идущая от головы женщины, - в левой части композиции и лежащее тело ребенка - в ее центре.

Итальянский гравер Маркантонио Раймонди
Итальянский гравер Маркантонио Раймонди

Первоначальную композицию Рафаэль выполнил в рассвете своих творческих сил, когда он создавал свои наиболее совершенные творения. Глава школы романтизма французский художник Эжен Делакруа (1798 - 1863) писал о нем: "В сочетании всех чудес грации и простоты, познаний и инстинкта в композиции Рафаэль достиг такого совершенства, в котором с ним еще никто не сравнился. В самых простых, как и в самых величественных, композициях повсюду его ум вносит вместе с жизнью и движением совершенных порядок в чарующую гармонию".

Французский художник Эжен Делакруа
Французский художник Эжен Делакруа

В композиции "Избиение младенцев" очень ярко проявляются эти черты великого мастера. В ней прекрасно сочетаются динамизм и гармония. Этому сочетанию способствует выбор золотой спирали за композиционную основу рисунка Рафаэля: динамизм ему придает вихревой характер спирали, а гармоничность - выбор золотого сечения как пропорции, определяющей развертывание спирали.

Композиционный динамизм в живописи
Композиционный динамизм в живописи

Тот же принцип мы видим в картине И.Е. Репина "А.С. Пушкин на акте в Лицее 8 января 1815 года". Фигура Пушкина помещена художником в правой части картины по линии золотого сечения. Левая часть картины, в свою очередь, тоже разделена в пропорции золотого сечения: от головы Пушкина до головы Державина и от нее до левого края картины. Расстояние от головы Державина до правого края картины разделено на две равные части линией золотого сечения, проходящей вдоль фигуры Пушкина.

Картина Репина Пушкин на акте в Лицее
Картина Репина Пушкин на акте в Лицее

Фигура А. С. Пушкина в картине И. Е. Репина «А. С. Пушкин на акте в Лицее 8 января 1815 г.» помещена художником на линии золотого сечения в правой части картины. Левая часть картины, в свою очередь, тоже разделена в пропорции золотого сечения: от головы А. С. Пушкина до головы Г. Р. Державина и от нее до левого края картины. Расстояние от головы Державина до правого края картины разделено на две равные части линией золотого сечения. В нижней части картины глаз улавливает деление на три равные части. Их образуют, стол в левой части картины, нога Пушкина правее линии золотого сечения и правый край картины.

Применение Золотого Сечения в картине Репина
Применение Золотого Сечения в картине Репина

Если необходимо найти линию золотого сечения на картине или эскизе по горизонтали, то новое деление геометрическим способом высоты картины производить нет необходимости. Достаточно провести диагонали картины. Их пересечения с линиями золотого сечения по вертикали укажут точки, через которые следует провести горизонтальные линии золотого сечения. Эти линии могут понадобиться при построении пейзажа. Художники-пейзажисты из опыта знают, что нельзя отводить половину плоскости холста под небо или под землю и воду. Лучше брать или больше неба, или больше земли, тогда пейзаж «лучше смотрится».

Построение линий Золотого Сечения на картине
Построение линий Золотого Сечения на картине

Еще один пример - картина Н.Н. Ге "Александр Сергеевич Пушкин в селе Михайловском". В этой картине фигура Пушкина также поставлена художником слева на линии золотого сечения. Композиционное построение картины подобно картине Репина. Голова военного, с восторгом слушающего чтение поэта, находится на другой вертикальной линии золотого сечения.

Картина Ге Пушкин в селе Михайловском
Картина Ге Пушкин в селе Михайловском

Фигура А. С. Пушкина в картине Н. Н. Ге «Александр Сергеевич Пушкин в селе Михайловском» поставлена художником на линии золотого сечения в левой части полотна. Но и все остальные величины по ширине вовсе не случайны: ширина печи равна 24 частям от ширины картины, этажерки — 14 частям, расстояние от этажерки до печи также равно 14 частям и т. д.

Золотые пропорции в картине Ге
Золотые пропорции в картине Ге

Повторение равных величин, чередование равных и неравных величин в пропорциях золотое сечения создает в картине определенный ритмический строй, вызывающий у зрителя то или иное настроение и втягивающий его в рассматривание изображения. Порядок и последовательность этого рассматривания предопределены художником. Достоинство пропорции золотого сечения заключено в том, что, раз поделив отрезок прямой или сторону картины геометрическим способом, получают отрезки любого уменьшения. В практической же работе художника достаточно величин, соответствующих числовым значениям 62, 38, 24, 14 и 10, построенным по принципу числового ряда Фибоначчи.

Построение отрезков по принципу Фибоначчи
Построение отрезков по принципу Фибоначчи

Переходя к примерам золотого сечения в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: “Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды”. Он снискал славу непревзойденного художника, великого ученого, гения, предвосхитившего многие изобретения, которые не были осуществлены вплоть до XX в.

Джоконда Леонардо да Винчи
Джоконда Леонардо да Винчи

Посмотрим внимательно на картину да Винчи "Джоконда". Всемирно известный портрет Моны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника.

Композиция картины Леонардо да Винчи Мона Лиза
Композиция картины Леонардо да Винчи Мона Лиза

Зрачок левого глаза, через который проходит вертикальная ось полотна, находится на пересечении двух биссектрис верхнего золотого треугольника, которые с одной стороны, делят пополам углы при основании золотого треугольника, а с другой стороны, в точках пересечения с бедрами золотого треугольника делят их в пропорции Золотого сечения. Таким образом, Леонардо Да Винчи использовал в своей картине не только принцип симметрии, но и Золотое сечение.

Принцип симметрии в мироустройстве

‌Картина «Святое семейство» Микеланджело признана одним из шедевров западноевропейского искусства эпохи Возрождения. Гармонический анализ показал, что композиция картины основана на пентакле.

Пентакль в картине Микеланджело Святое семеййство
Пентакль в картине Микеланджело Святое семеййство

На картине И.И. Шишкина "Сосновая роща" просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины приблизительно в золотом сечении. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит в золотом сечении правую часть картины по горизонтали. Слева от главной сосны находится множество сосен - при желании можно с успехом продолжить деление картины в пропорциях золотого сечения.

Картина Шишкина Сосновая роща
Картина Шишкина Сосновая роща

Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия, в соответствии с замыслом художника. Когда художник создает картину с бурно развивающимся действием, подобная геометрическая схема композиции (с преобладанием вертикалей и горизонталей) становится неприемлемой.

Золотое сечение в композиции Сосновой рощи Шишкина
Золотое сечение в композиции Сосновой рощи Шишкина

Золотые пропорции четко прослеживаются и в картине В. И. Сурикова «Боярыня Морозова». Её изображению отведена средняя часть картины. Она окована точкой высшего взлёта и точкой низшего спадания сюжета картины. Это – взлёт руки Морозовой с двуперстным крестным знамением как высшая точка, и беспомощно протянутая к той же боярыне рука, но на этот раз рука старухи – нищей странницы, рука, из-под которой вместе с последней надеждой на спасение выскальзывает конец розвальней.

Картина Сурикова Боярыня Морозова
Картина Сурикова Боярыня Морозова

А как обстоит дело с «высшей точкой»? На первый взгляд имеем кажущееся противоречие: ведь сечение А1В1, отстоящее на 0,618... от правого края картины, проходит не через руку, не даже через голову или глаз боярыни, а оказывается где-то перед ртом боярыни! Золотое сечение режет здесь действительно по самому главному. В нём, и именно в нём, – величайшая сила Морозовой.

Композиционная схема картины Боярыня Морозова
Композиционная схема картины Боярыня Морозова

Золотое сечение применялось художниками при композиционном построении картин. Был разработан упрощенный метод, когда плоскость картины делилась на 10 частей по вертикали и горизонтали. Линия золотого сечения намечалась в отношении 6 и 4 частей (рис. а). Это не давало отношения 62:38, но давало близкое к нему 60:40. Практически этого было достаточно, чтобы ориентироваться и расположить главную фигуру или группу фигур в наиболее выгодном для этого месте картины.

Построение композиции в Русской Академии Художеств
Построение композиции в Русской Академии Художеств

Тот же результат получали и художники Мюнхенской академии делением картины на 5 частей. Золотая пропорция бралась в отношении 3 : 2, что одно и то же, так как сокращение 10; 6 и 4 в два раза дает 5; 3 и 2, что является числами Фибоначчи. Главная фигура картины или группа помещались на линии золотого сечения (рис. б).

Построение композиции в Мюнхенской Академии Художеств
Построение композиции в Мюнхенской Академии Художеств
    Числа Фибоначчи и Золотое сечение в музыке

А можно ли говорить о “золотом сечении” в музыке? Можно, если измерять музыкальное произведение по времени его исполнения. В музыке золотое сечение отражает особенности человеческого восприятия временных пропорций. Точка “золотого сечения” служит ориентиром формообразования. Часто на нее приходится кульминация. Это может быть так же самый яркий момент или самый тихий, или самое звуковысотное место.

‌Любое музыкальное произведение имеет временное протяжение и делится некоторыми "эстетическими вехами" на отдельные части, которые обращают на себя внимание и облегчают восприятие в целом. Этими вехами могут быть динамические и интонационные кульминационные пункты музыкального произведения. Отдельные временные интервалы музыкального произведения, соединяемые "кульминационным событием", как правило, находятся в соотношении Золотого сечения, основанного на числах Фибоначчи.

Кульминационное событие
Кульминационное событие

Наиболее обширное исследование проявлений золотого сечения в музыке было предпринято искусствоведом Л.Сабанеевым. Еще в 1925 году он, проанализировав 1770 музыкальных произведений 42 авторов, показал, что подавляющее большинство выдающихся сочинений можно легко разделить на Части или по теме, или по интонационному строю, или по ладовому строю, которые находятся между собой в отношении золотого сечения.

Известный русский искусствовед Леонид Сабанеев
Известный русский искусствовед Леонид Сабанеев

Причем, чем талантливее композитор, тем в большем количестве его произведений найдено золотых сечений. По мнению Сабанеева, золотое сечение приводит к впечатлению особой стройности музыкального сочинения. Этот результат Сабанеев проверил на всех 27 этюдах Шопена. Он обнаружил в них 178 золотых сечений. При этом оказалось, что не только большие части этюдов делятся по длительности в отношении золотого сечения, но и части этюдов внутри зачастую делятся в таком же отношении.

Золотые пропорции в музыке Шопена
Золотые пропорции в музыке Шопена

У известных композиторов Аренского, Бетховена, Бородина, Гайдна, Моцарта, Скрябина, Шуберта золотые сечения найдены в 90% всех произведений.

Композиторы использовавшие золотые пропорции
Композиторы использовавшие золотые пропорции

Композитор и ученый М.А.Марутаев подсчитал количество тактов в знаменитой сонате "Аппассионата" и нашел ряд интересных числовых соотношений. В частности, в разработке - центральной структурной единице сонаты, где интенсивно развиваются темы и сменяют друг друга тональности, - два основных раздела. В первом 43,25 такта, во втором - 26,75. Отношение 43,25:26,75=0,618:0,382=1,618 дает соотношение чисел Фибоначчи или золотую пропорцию.

Бетховен Соната № 23 Аппассионата

‌Один из видных деятелей русской и советской музыкальной культуры Э.К.Розенов впервые применил закон «золотого сечения» в музыке Анализируя «Хроматическую фантазию и фугу» И.С.Баха, ученый пришел к выводу, что «она, оказывается, сотворена по естественным законам природного формообразования, подобно человеческому организму, в котором совершенно также господствуют оба закона - закон золотого сечения и закон симметрии, с такими же мелкими художественными неточностями в индивидуальном строении живого тела, которыми оно отличается от мертвых форм отвлеченного или фабричного происхождения».

Анализ Хроматической Фантазии Баха
Анализ Хроматической Фантазии Баха

Определяя зону золотого сечения, можно убедиться, что она не в начале, не в середине пьесы, а ближе к концу (кульминация произведения), то есть в третьей четверти целого. Весь огромный звукоряд делится на три основных регистра: низкий, средний и высокий, и составляют его 88 звуков. Казалось бы, что их так немного. Но из этих 88 звуков созданы грандиозные симфонии, оратории, величайшие музыкальные творения. Небосвод Вселенной между 12 уровнями - от низшего к высшему. Каждому уровню соответствует свой знак Зодиака. Таким образом, существует неразрывная связь космоса с музыкальной системой.

Три регистра музыкального звукоряда
Три регистра музыкального звукоряда

Советский музыковед Э. К. Розенов отмечает поразительную точность соотношений золотого сечения в строгих и свободных формах произведений Иоганна Себастьяна Баха, что соответствует вдумчивому, сосредоточенному, технически выверенному стилю мастера. Это справедливо и в отношении выдающихся творений других композиторов, где на точку золотого сечения обычно приходится наиболее яркое или неожиданное музыкальное решение.

Советский музыковед Эмилий Карлович Розенов
Советский музыковед Эмилий Карлович Розенов

Результаты исследования золотого сечения в музыке впервые изложены в докладе Эмилия Розенова (1903) и позднее развиты в его статье «Закон золотого сечения в поэзии и музыке» (1925). Розенов показал действие данной пропорции в музыкальных формах эпохи Барокко и классицизма на примере произведений Баха, Моцарта, Бетховена.

Связь музыки и математики в музыкальных формах
Связь музыки и математики в музыкальных формах

Трудно найти человека, не знающего, что такое скрипка. Изготовление хорошей скрипки - большое искусство. В этом искусстве выдающихся успехов достигли Антонио Страдивари, Амати, Гварнери, и по сей день звучание их инструментов является образцом, превзойти который не удалось еще никому.

Секреты выдающихся скрипичных мастеров

‌Можно предположить, что такое звучание происходит благодаря закону золотого сечения, которое лежит в основе построения скрипок Антонио Страдивари. Страдивари писал, что с помощью золотого сечения он определял места для f-образных вырезов на корпусах своих знаменитых скрипок.

Золотые пропорции в конструкции скрипки Страдивари
Золотые пропорции в конструкции скрипки Страдивари
    Числа и соотношения Фибоначчи в поэзии

Если музыка - гармоническое упорядочение звуков, то поэзия - гармоническое упорядочение речи. Четкий ритм, закономерное чередование ударных и безударных слогов, упорядоченная размерность стихотворений, их эмоциональная насыщенность делают поэзию родной сестрой музыкальных произведений. Золотое сечение в поэзии в первую очередь проявляется как наличие определенного момента стихотворения (кульминации, смыслового перелома, главной мысли произведения) в строке, приходящейся на точку деления общего числа строк стихотворения в золотой пропорции.

Поэзия и гамония
Поэзия и гамония

Так, если стихотворение содержит 100 строк, то первая точка Золотого сечения приходится на 62-ю строку (62%), вторая - на 38-ю (38%) и т.д. Произведения Александра Сергеевича Пушкина, и в том числе "Евгений Онегин" - тончайшее соответствие золотой пропорции! Произведения Шота Руставели и М.Ю. Лермонтова также построены по принципу Золотого сечения.

Числа Фибоначчи в поэзии Пушкина
Числа Фибоначчи в поэзии Пушкина

Исследования поэтических произведений с этих позиций только начинаются. И начинать нужно с поэзии А.С.Пушкина. Ведь его произведения - образец наиболее выдающихся творений русской культуры, образец высочайшего уровня гармонии. С поэзии А.С.Пушкина мы и начнем поиски золотой пропорции - мерила гармонии и красоты.

Гармония и красота в поэзии

‌Формы временно’го искусства по-своему демонстрируют нам принцип золотого деления. Литературоведы, к примеру, обратили внимание, что наиболее популярное количество строк в стихотворениях позднего периода творчества Пушкина соответствует ряду Фибоначчи – 5, 8, 13, 21, 34.

Принципы золотого сечения в литературе
Принципы золотого сечения в литературе

Действует правило золотого сечения и в отдельно взятых произведениях русского классика. Так кульминационным моментом «Пиковой дамы» является драматическая сцена Германа и графини, заканчивающаяся смертью последней. В повести 853 строки, а кульминация приходится на 535 строке (853:535=1,6) – это и есть точка золотого сечения.

Золотая пропорция в Пиковой Даме Пушкина
Золотая пропорция в Пиковой Даме Пушкина

Многое в структуре поэтических произведений роднит этот вид искусства с музыкой. Четкий ритм, закономерное чередование ударных и безударных слогов, упорядоченная размерность стихотворений, их эмоциональная насыщенность делают поэзию родной сестрой музыкальных произведений. Каждый стих обладает своей музыкальной формой - своей ритмикой и мелодией. Можно ожидать, что в строении стихотворений проявятся некоторые черты музыкальных произведений, закономерности музыкальной гармонии, а, следовательно, числа Фибоначчи и золотая пропорция.

Числа Фибоначчи в стихосложении
Числа Фибоначчи в стихосложении

Начнем с величины стихотворения, то есть количества строк в нем. Казалось бы, этот параметр стихотворения может изменяться произвольно. Однако оказалось, что это не так. Например, проведенный Н. Васютинским анализ стихотворений А.С. Пушкина с этой точки зрения показал, что размеры стихов распределены весьма неравномерно; оказалось, что Пушкин явно предпочитает размеры в 5, 8, 13, 21 и 34 строк (числа Фибоначчи).

Поэзия Александра Сергеевича Пушкина

‌Многими исследователями было замечено, что стихотворения подобны музыкальным произведениям; в них также существуют кульминационные пункты, которые делят стихотворение в пропорции золотого сечения. Рассмотрим, например, стихотворение А.С. Пушкина "Сапожник". Проведем анализ этой притчи. Стихотворение состоит из 13 строк. В нем выделяется две смысловые части: первая в 8 строк и вторая (мораль притчи) в 5 строк (13, 8, 5 - числа Фибоначчи).

Стихотворение Пушкина Сапожник
Стихотворение Пушкина Сапожник

Одно из последних стихотворений Пушкина "Не дорого ценю я громкие права ..." состоит из 21 строки и в нем выделяется две смысловые части: в 13 и 8 строк. Характерно, что и первая часть этого стиха (13 строк) по смысловому содержанию делится на 8 и 5 строк, то есть все стихотворение построено по законам золотой пропорции.

Стихотворение Пушкина Не дорого ценю я громкие права
Стихотворение Пушкина Не дорого ценю я громкие права

Представляет несомненный интерес анализ романа "Евгений Онегин", сделанный Н. Васютинским. Этот роман состоит из 8 глав, в каждой из них в среднем около 50 стихов. Наиболее совершенной, наиболее отточенной и эмоционально насыщенной является восьмая глава. В ней 51 стих. Вместе с письмом Евгения к Татьяне (60 строк) это точно соответствует числу Фибоначчи 55!

Числа Фибоначчи в Евгении Онегине
Числа Фибоначчи в Евгении Онегине

Н. Васютинский констатирует: "Кульминацией главы является объяснение Евгения в любви к Татьяне - строка "Бледнеть и гаснуть ... вот блаженство!". Эта строка делит всю восьмую главу на две части - в первой 477 строк, а во второй - 295 строк. Их отношение равно 1,617! Тончайшее соответствие величине золотой пропорции! Это великое чудо гармонии, совершенное гением Пушкина!".

Золотое сечение в объяснении Онегина
Золотое сечение в объяснении Онегина

Поэзия Лермонтова. Э Розенов провел анализ многих поэтических произведений М.Ю. Лермонтова, Шиллера, А.К. Толстого и также обнаружил в них "золотое сечение".

Поэзия Михаила Юрьевича Лермонтова

‌Знаменитое стихотворение Лермонтова "Бородино" делится на две части: вступление, обращенное к рассказчику и занимающее лишь одну строфу ("Скажите, дядя, ведь недаром ..."), и главную часть, представляющее самостоятельное целое, которое распадается на две равносильные части. В первой из них описывается с нарастающим напряжением ожидание боя, во второй - сам бой с постепенным снижением напряжения к концу стихотворения. Граница между этими частями является кульминационной точкой произведения и приходится как раз на точку деления его золотым сечением.

Титульный лист стихотворения Лермонтова Бородино
Титульный лист стихотворения Лермонтова Бородино

Главная часть стихотворения состоит из 13 семистиший, то есть из 91 строки. Разделив ее золотым сечением (91:1,618 = 56,238), убеждаемся, что точка деления находится в начале 57-го стиха, где стоит короткая фраза: "Ну ж был денек!". Именно эта фраза представляет собой "кульминационный пункт возбужденного ожидания", завершающей первую часть стихотворения (ожидание боя) и открывающий вторую его часть (описание боя).

Фрагмент стихотворения Лермонтова Бородино
Фрагмент стихотворения Лермонтова Бородино

Таким образом, золотое сечение играет в поэзии весьма осмысленную роль, выделяя кульминационный пункт стихотворения. Многие исследователи поэмы Шота Руставели "Витязь в тигровой шкуре" отмечают исключительную гармоничность и мелодичность его стиха. Эти свойства поэмы грузинский ученый академик Г.В. Церетели относит за счет сознательного использования поэтом золотого сечения, как в формировании формы поэмы, так и в построении ее стихов.

Книга Руставели Витязь в тигровой шкуре
Книга Руставели Витязь в тигровой шкуре

Поэма Руставели состоит из 1587 строф, каждая их которых состоит из четырех строк. Каждая строка состоит из 16 слогов и делится на две равные части по 8 слогов в каждом полустишии. Все полустишия делятся на два сегмента двух видов: А - полустишие с равными сегментами и четным количеством слогов (4+4); В - полустишие с несимметричным делением на две неравные части (5+3 или 3+5). Таким образом, в полустишии В получаются соотношения 3:5:8, что является приближением к золотой пропорции. Установлено, что в поэме Руставели из 1587 строф больше половины (863) построены по принципу золотого сечения.

Грузинский поэт Шота Руставели
Грузинский поэт Шота Руставели

Сенсационное открытие сделал петербургский поэт и переводчик “Слова о полку Игореве” Андрей Чернов. Он нашел, что построение стихов загадочного древнерусского памятника подчиняется математическим законом. Исследования позволили сделать Чернову заключение о том, что в основу “Слова о полку Игореве”, состоящего из девяти песен, легла круговая композиция.

Содержание Слова о полку Игореве

‌А поводом к тому, чтобы проверить гармонию поэму алгеброй, послужила статья о жизни древнегреческого математика Пифагора. Внимание Чернова привлекли рассуждения о “золотом сечении” и о числах, которые восходят к Пифагору. Возникла неожиданная ассоциация: ведь в композиционном построении поэму тоже круг и, следовательно, должны быть “диаметр” и некая математическая закономерность.

Книга Слово о полку Игореве
Книга Слово о полку Игореве

Уже первые расчеты стали подтверждать закономерность, да еще какую! Если число стихов во всех трех частях (их 804) разделить на число стихов в первой и последней части (256), получается 3,14, т.е. число с точностью до третьего знака.

Математические пропорции в Слове о полку Игореве
Математические пропорции в Слове о полку Игореве

Открытие Чернова приводят к естественному вопросу: как древний автор “Слова о полку Игореве”, ничего не зная о числе, ни о других математических формулах, привнес организующее математическое начало в этот текст? Чернов предполагает, что автор использовал это интуитивно, подчиняясь образам древнегреческих архитектурных памятников. В те времена храм являл собой всеобъемлющий, художественный идеал, поэтому влиял на ритмику поэтического самовыражения.

Загадки Слова о полку Игореве

‌Мы убедились, что все-таки существует связь между математикой и литературой, между архитектурой и музыкой. И это не случайно, ведь каждому искусству присуще стремление к стройности, соразмерности, гармонии. Природа совершенна, и у нее есть свои законы, выраженные с помощью математики и проявляющие во всех искусствах, независимо от того, литература это или математика. Эти свойства не выдуманы людьми. Они отражают свойства самой природы.

Цифровая поэзия

Последовательность Фибоначчи и хронология древнейшей истории

Развитие человечества разграничивается определенными периодами в древнейшей и современной истории. Могут ли элементы ряда чисел Фибоначчи соответствовать хронологическим рубежам периодов в древнейшей и современной истории человечества, т. е. подчиняются ли рубежи периодов математической закономерности? Существует ли такая закономерность в других периодах: периодах мировой истории, периодах правления известных Российских государственных деятелей, и в датах современных событий, имеющих историческое значение?

Исторические этапы первобытного общества
Исторические этапы первобытного общества

Чтобы выявить связь между числовой последовательностью и соотношениями Фибоначчи, Золотым сечением и хронологией исторических событий необходимо решить следующие задачи:

- проверить, соответствуют ли рубежи периодов древнейшей, современной и мировой истории числам ряда Фибоначчи;

Хронологические рубежи периодов истории
Хронологические рубежи периодов истории

- рассчитать годы правления известных Российских государственных деятелей и найти их отношение;

Годы правления российских императоров
Годы правления российских императоров

- рассмотреть даты, имеющие историческое значение, во временных промежутках современной истории и проверить, являются ли полученные отношения между данными объектами известными математическими отношениями.

Важнейшие исторические события российской истории
Важнейшие исторические события российской истории

Объектами исследования являются археологические эпохи, периоды мировой истории, периоды правления известных российских государственных деятелей, даты событий, имеющие историческое значение. Весьма полезными для нас оказались результаты исследований социолога - аналитика В. В. Дудихина, и метод поэта и переводчика А. Чернова, которые подтверждают математические закономерности чисел Фибоначчи, соответствующие хронологическим рубежам древнейшей истории человечества.

Археологические эпохи истории Земли
Археологические эпохи истории Земли

Работа относится к прикладным исследованиям, ее результаты, выраженные с помощью математики, покажут связь между математикой и историей, которая подчиняется математическим законам. В качестве инструмента хронологии впервые была избрана гармоническая система числовых отношений, так называемый ряд Фибоначчи. Приведем ее начальную часть:1, 1, 2, 3, 5, 8 и т. д.

Гармоническая система числовых отношений

‌Приметы такого ряда очевидны в хронологии эпох I тыс. н. э. - I тыс. до н. э. Числа ряда удачно фиксируют поздний железный век(I тыс. н. э.) и начало железного века(I тыс. до н.э.). В интервале 5 - 2 тыс. до н. э. сосредоточены культуры энеолита, ранней и поздней бронзы Европы, к интервалу 8 - 5 тыс. до н. э. относят европейский мезолит и неолитические культуры Ближнего Востока. Правда, мезолит Ближнего Востока датируют иначе: 10 - 7 тыс. до н.э., а мезолит Восточной Европы - 11 - 6 тыс. до н. э. Особенности в хронологии культур 10 - 5 тыс. до н. э. региональны. Они зависят от неравномерности развития, которая возникла в верхнем палеолите и сохранялась на протяжении всего времени в дальнейшем.

Последовательность Фибоначчи в древнейшей истории
Последовательность Фибоначчи в древнейшей истории

Замеченные расхождения в хронологии археологических эпох имеют региональный масштаб, никак не затрагивают самой числовой последовательности, присущей ряду Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8. Очевидно, что в хронологии археологических культур более раннего времени, развитию которых присущ планетарный характер, следует ожидать более строгого соответствия ряду Фибоначчи. Продолжим ряд, его составляют такие числа: 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1 597, 2 584, 4181 и т.д.

Периодизация истории Земли
Периодизация истории Земли

Обратимся к современным исследованиям: социолога - аналитика В.В. Дудихина, поэта и переводчика А. Чернова. Социолог и аналитик В.В. Дудихин рассмотрел хронологию эпох, в качестве инструмента хронологии он избрал гармоническую систему числовых отношений, так называемый ряд Фибоначчи. В.В. Дудихин сопоставил числа ряда Фибоначчи и археологические эпохи.

Российский ученый Дудихин Виктор Владимирович
Российский ученый Дудихин Виктор Владимирович

Его исследования показали, что некоторые элементы этой последовательности, действительно, соответствуют хронологическим рубежам в древнейшей истории человечества, особенно если к числам добавить наименование "тыс. лет до н. э.", или "тыс. лет тому назад", или просто "тыс. лет". Хронология и периодизация исторического развития с помощью ряда Фибоначчи разделена на 18 временных ступеней: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1 597, 2 584, что подтверждается 60% проверенных совпадений.

История Земли и Человечества в числах

‌Так, позицию 233 тыс. лет в приводимой последовательности можно отождествить с датой рисского оледенения в Европе, общепризнанная геологическая дата которого 230 тыс. лет т. н. Позиция, соответствующая 377 тыс. лет, близка дате в 400 тыс. лет т. н. этому времени относят выход человечества из биоценоза.

Рисское оледенение на Земном шаре
Рисское оледенение на Земном шаре

Около середины II миллионолетия (1 597 тыс. л., согласно ряду) складывается древнейшая археологическая культура олдувай, в середине III миллионолетия (2 584 тыс. лет) появляются австралопитековые формы ископаемого человека, с которым связывают так называемое начало орудийности. На протяжении 720 - 600 тыс. лет складывается трудовая традиция и формируется речь. Дата завершения этих процессов находится почти рядом с позицией ряда в 610 тыс. лет.

Австралопитековые формы ископаемого человека
Австралопитековые формы ископаемого человека

Действительно, эти рубежи разграничивают развитие человечества на отдельные этапы, которые иногда называют временными ступенями. Переход с одной временной ступени на другую считают эволюцией системы. Повторим ряд, обозначив курсивом те ступени, хронология которых проверена: 1, 1, 2, 3,5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,377, 610, 987,1 597, 2584.

Исторические этапы развития человечества

‌Одиннадцать из 18 позиций ряда проверены и подтверждены с достаточной степенью надежности и точности. Иногда говорят, что одно подтверждение - случайность, два - совпадение, три - тенденция. В нашем случае не три, а 60% совпадений проверены и подтверждены. Такое число подтверждений можно считать выражением не столько тенденции, сколько закономерности.

Закономерность
Закономерность

Итак, хронология и периодизация, можно сказать, исторического развития с помощью ряда Фибоначчи разделена на 18 временных ступеней, имеющих планетарный характер. Повторим их 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1 597, 2 584.События, хронология которых оказывается за пределами ряда, имеют региональный характер. Хронологические границы археологических эпох и периодов, найденные с помощью ряда Фибоначчи, жесткие. В них нет договоренности: они либо приемлемы, либо - нет. В основе такого выбора лежит научное мировоззрение, которое всегда строго и определенно.

18 ступеней исторического развития человечества
18 ступеней исторического развития человечества

Таковы, в первом приближении, возможности использования ряда Фибоначчи в разработке периодизации и общей хронологии развития человечества с древнейших времени до начала современной эпохи.

Исследование эпох с помощью ряда Фибоначчи
Исследование эпох с помощью ряда Фибоначчи

При проведении хронологических исследований явно прослеживается связь между историческими периодами и законами математики. Проведем аналогию между рубежами исторических периодов, числами Фибоначчи и золотым сечением, основываясь на данные ученых и собственные исследования. Для этого рассмотрим некоторые рубежи исторических периодов, в хронологии с древнейшей и современной историей.

Эволюционные исторические этапы развития общества

‌Проверим исследование социолога В.В. Дудихина рубежей исторических периодов в хронологии c древнейшей историей. Сопоставим рубежи исторических периодов с числами Фибоначчи, т.е. проведем их соответствие. Для этого рассмотрим рубежи периодов древнейшей истории:

- Железный век датируется II тыс. н.э. На Ближнем Востоке, Египте, Греции - с начала I тыс. н.э., в Африке - с I тыс. н.э.;

Железный век
Железный век

- Бронзовый век датируется в Южной Америке с середины I тыс. н.э., в Тропической Африке с I тыс. н.э., в Европе с середины III тыс. до н.э., в Индии с конца III тыс. до н.э., в Египте с начала II тыс. до н.э., в Передней Азии с конца IV тыс. до н.э.;

Бронзовый век

‌- Медный век (энеолит) датируется VIII - IV тыс. до н.э.;

Медный век
Медный век

- Каменный век (палеолит) ранний датируется до 35 тыс. лет назад, поздний 35 - 13 тыс. лет назад;

Структура каменного века
Структура каменного века

- Каменный век (мезолит) датируется с начала XX - VIII тыс. до н.э. по V - IV тыс. н.э.;

История каменного века

‌- Каменный век (неолит) датируется VIII - III тыс. н.э.;

Каменный век (неолит)

‌Проведем исследование периодов правления известных Российских государственных деятелей с 862 г. н.э. Пересчитаем годы их правления: Рюрик (862 - 879) - 17 лет; Василий III (1505 - 1533) - 28 лет; Иван Грозный (1533 - 1584) - 51 год; Романов М.Ф. (1613 - 1676) - 63 года; Пётр I (1682 - 1725) - 43 года; Екатерина II (1762 - 1796) - 34 года; Александр II (1855 - 1981) - 26 лет; Николай II (1894 - 1917); падение монархии Романовых 1917 до 1931 - 14 лет; Сталин И.В. (1931 -1953) - 22 года; Хрущев Н.С. (1953 - 1964) - 11 лет; Брежнев Л.И. (1964 - 1982) - 18 лет; Горбачев М.С. (1985 - 1991) - 6 лет; Ельцин Б.Н. (1991 - 1999) - 8 лет; Путин В.В. (2000 - 2008) - 8 лет.

Правители Российского государства
Правители Российского государства

Найдем отношения годов правления. Если разделить годы правления Рюрика (17 лет) на годы правления Василия III (28 лет), то их отношение равно 0,607. Если разделить годы правления Василия III (28 лет) на годы правления Ивана Грозного (51 год), то их отношение равно 0,549. Если разделить годы правления Ивана Грозного (51 год) на сумму годов правления Василия III и Ивана Грозного (79 лет), то их отношение равно 0,646.

Правление Ивана Грозного

‌Отношение годов правления Романова М.Ф. (63 года) к годам правления Петра I (43 года) равно 0,682. Отношение годов правления Екатерины II (34 года) к годам правления Романова М.Ф. (63 года) равно 0,54. Если разделить годы правления Петра I (43 года) на сумму годов правления Петра I и Екатерины II (77 лет), то их отношение равно 0,55. Отношение годов правления Сталина И.В. (22 года) к сумме годов от 1917 до 1953 (36 лет) равно 0,611, т.е. числовое значение золотого сечения с точностью до третьего знака;

Правление императора Петра Первого

‌Отношение годов правления Хрущева Н.С. (11 лет) к сумме годов от 1917 до 1964 (47 лет) равно 0,234. Отношения годов правления Хрущева Н.С. (11 лет) к годам правления Брежнева Л.И. (18 лет) и наоборот, равны соответственно 0,611 и 1,636. Данные отношения близки к фибоначчиевым коэффициентам (0,236; 0,618; 1,618) с точностью до третьего и второго знаков соответственно.

Правление Леонида Ильича Брежнева
Правление Леонида Ильича Брежнева

Отношение годов правления Сталина И.В. (22 года) к сумме годов правления Сталина И.В. и Хрущева Н.С. (33 года) равно 0,666. Отношение годов правления Горбачёва М.С. (6 лет) к годам правления Хрущева Н.С. (11 лет) равно 0,545. Отношения годов правления Хрущева Н.С. (11 лет) к сумме годов правления Хрущева Н.С. и Брежнева Л.И. (29 лет) и наоборот, равно соответственно 0,379 и 0,620, т.е. фибоначчиевым коэффициентам (0,382; 0,618) с точностью до второго знака.

История России развивалась по циклам Фибоначчи

‌Рассмотрим временные периоды, периоды правления известных Российских государственных деятелей, и даты некоторых событий в эти периоды, имеющие историческое значение.

Временной промежуток с 1984 по 1917 год, годы правления Николая II. Историческим событием является 1904 год - начало Русско-японской войны. Найдем отношение годов после данного события (13 лет), во временном периоде, к годам всего временного периода (23 года). Отношение годов равно 0,565.

Российский Император Николай Второй
Российский Император Николай Второй

Временной промежуток с 1894 по 1931 год, с начала правления Николая II по начало правления Сталина И.В. Историческим событием является 1917 год - начало революции в Российской Федерации. Найдем отношение годов до данного события (23 года) к годам после данного события (14 лет). Отношение годов равно 1,64.

Руководитель СССР Иосиф Виссарионович Сталин
Руководитель СССР Иосиф Виссарионович Сталин

Временной период с 1917 по 1931 год, падение монархии Романовых. Историческим событием является 1922 год - образование Союза Советских Социалистических республик. Найдем отношение годов до данного события (5 лет) к годам после данного события (9 лет). Отношение годов равно 0,556.

Падение монархии Романовых

‌Временной промежуток с 1931 по 1953 год, годы правления Сталина И. В. Историческим событием является 1941 год - нападение Германии на СССР, Найдем отношение годов до данного события (10 лет) к годам данного временного промежутка (22 года). Отношение годов равно 0,454.

Нападение Германии на Советский Союз

‌Временной промежуток с 1985 по 2000 год, с начала правления Горбачева М.С. по начало правления Путина В.В. Историческим событием является 1991 год - распад Союза Советских Социалистических республик. Найдем отношение годов до данного события (6 лет) к годам после данного события (9 лет). Отношение годов равно 0,666. Полученные результаты соответствуют фибоначчиевым коэффициентам (0,618; 1,618) с точностью до второго знака или близки к ним.

Генеральный Секретарь ЦК КПСС Михаил Горбачев
Генеральный секретарь ЦК КПСС Михаил Горбачев

Все упомянутые выше исторические исследования основаны на том, что общая схема исторических событий, развиваясь по сходящейся спирали, устремляется к фокусу. Этот фокус и является целью исторического процесса, а поиск глубинных исторических закономерностей основан на исследовании сходящейся спирали Фибоначчи, устремленной к этому фокусу. Такой подход может быть правомерен для исторически коротких периодов времени. Однако, для больших исторических эпох, сопоставимых с эрой (~2000 лет) такой подход уже не совсем правомерен, а схема должна иметь две точки: начало эпохи и окончание эпохи.

Закономерности Фибоначчи в российской истории

Начало эпохи является источником для расходящейся, раскручивающейся спирали (представителем процесса дивергенции), а окончание эпохи — фокусом для сходящейся, скручивающейся спирали (представителем процесса конвергенции). Другой интересной точкой является точка перегиба, являющаяся серединой и соединяющая две ветви спирали: раскручивающуюся и скручивающуюся.

Развитие эпохи по спирали Фибоначчи
Развитие эпохи по спирали Фибоначчи

Глубинный смысл этой точки заключается, вероятно, в переходе (и даже некотором конфликте) от тенденции роста (расходящаяся спираль) к тенденции переосмысления (сходящаяся спираль). Она знаменует переход от процесса дивергенции к конвергенции. Понятно, что эта точка должна также будет сопровождаться важным историческим событием. Например, для заканчивающейся 2000-летней христианской эпохи, соответствующей эре Рыб, такая точка перегиба приходится на 1000 год и сопровождалась даже двумя значимыми историческими событиями: крещение Руси в 988 году, Великий раскол Церкви 1054 года на Римско-Католическую церковь на Западе с центром в Риме и Православную на Востоке с центром в Константинополе.

Крещение Руси в 988 году

‌Другой пример основан на том, что период длительностью 12 эр (по ~2000 лет каждая), названный Платоновым годом, составляет около 26 тысяч лет. Как известно, нынешние времена также совпадает и с окончанием текущего Платонова года, а историческое событие, соответствующее ей произошло ~13 тысяч лет назад. Именно это время, судя по мифам многих народов мира и современным археологическим исследованиям, совпадает с планетарным катаклизмом, вероятно, ставшим причиной или сопровождавший гибель древнейших мифологических островов Атлантиды и Гипербореи.

Гибель Атлантиды
Гибель Атлантиды

Дальнейшее историческое исследование основано на периодизации истории России сходящейся спиралью Фибоначчи фокусом как для Платонова года. Ни для кого не секрет, что радикальные реформы Александра II и реформаторский политический курс Горбачева М.С. были вынужденными мерами, практически выстраданными всем обществом. Первый был вынужден реформировать страну после долгих лет застоя второй половины правления своего дяди Александра I и своего отца Николая I. У Горбачева М.С. также практически не было альтернативы перестройке, т. к. по многим показателям страна устойчиво сползала к кризису.

Спирали Фибоначчи в российской истории
Спирали Фибоначчи в российской истории

Авторы, источники и ссылки

  Создатель статьи

Автором данной статьи является Н.В.Кошелев

vk.com/id256166684 - профиль автора ВКонтакте

odnoklassniki.ru/profile/113745421782/statuses/links - профиль автора в Одноклассниках

Facebook.com/koshelev.nik - профиль автора в Facebook

Твиттер.com/KoshelevNik/status/473152105532772352 - профиль автора в Твитере

plus.Google Inc..com/106142793696792703966/posts - профиль автора в Гугл+

koshelevnik55.livejournal.com/ - блог автора в Живом Журнале

my.mail.ru/mail/koshelev-nik/ - профиль автора в Майл.Ру

  Ответственные администраторы

Главный редактор - Варис-смотрящий

Рецензент статьи - профессор, д. э. н. Хайзенберг

Корректировщик статьи - Джейкоб

  Источники и ссылки

ru.wikipedia.org - свободная русскоязычная энциклопедия Википедия

ru.wikihow.com - научно-популярный энциклопедический портал

genon.ru - научно-популярный интернет-портал знаний

kartcent.ru - научно-популярный сайт Зеркало Невероятного

cyclowiki.org - универсальная нейтральная викиэнциклопедия Циклопедия

numbernautics.ru - научно-популярный интернет-портал «Числонавтика»

moi-mummi.ru - интернет-факультет мультимедийных технологий

hintfox.com - научно-популярная интернет-библиотека

e-osnova.ru - учебно-методический сайт для учителей

baby.ru - научно-популярный интернет-портал для молодых мам

ayurvedaplus.ru - научно-популярный сайт индийской философии Аюрведа

mirznanii.com - научно-популярная интернет-база документов Мир Знаний

forens-med.ru - электронная судебно-медицинская библиотека

petrovalydmila1.ucoz.ru - официальный блог преподавателя математики Людмилы Петровой

shedevrs.ru - интернет-портал для творческих людей

studenchik.ru - научно-познавательный сайт для студентов

topos.ru - литературно-философский журнал Топос

help-on-forex.com - интернет портал В помощь начинающему трейдеру

elementy.ru - интернет-портал «Элементы» большой науки

strategy4you.ru - интернет сайт стратегий Forex

tutoronline.ru - образовательный интернет-портал Онлайн-Школа

people.su - интернет-сайт историй об известных личностях

math4school.ru - образовательный сайт Математика для школы

unienc.ru - универсальная научно-популярная интернет-энциклопедия

wreferat.baza-referat.ru - электронная база рефератов и курсовых работ

bankreferatov.ru - банк рефератов, дипломов и курсовых работ

infourok.ru - русскоязычный образовательный портал Инфоурок

forex-investor.net - информационно-аналитический сайт для трейдеров и инвесторов Forex

system-fx.ru - аналитика Forex, анализ финансовых рынков

alemix-forex.ru - популярный сайт для начинающих трейдеров

svikk.biz - финансовая академия рекомендации по торговле

tradexperts.ru - бесплатный советник международного рынка Форекс

greenword.ru - популярный интернет-журнал о мире

incunabula.ru - интернет-блог об интересных людях

allbest.ru - наиболее полная электронная база рефератов и курсовых работ

bestreferat.ru -библиотека лучших рефератов, курсовых работ и дипломов

goldenmuseum.com - общеобразовательный сайт о гармонии

xreferat.ru - русскоязычный сайт рефератов и курсовых работ

the-arcturians.com - научный сайт, посвященный арктурианскому искусству

enc-dic.com - сайт популярных энциклопедий и словарей

elementy.ru - научный сайт о фундаментальной науке

wikiznanie.ru - русскоязычная универсальная энциклопедия

cult-turist.ru - популярный интернет-портал о путешествиях

dok.opredelim.com - популярная интернет-коллекция различных презентаций

onlinedics.ru - популярный сборник онлайн словарей

forexac.com - обучающий ресурс торговли на валютном рынке Forex

abc-people.com - интернет-энциклопедия людей и идей

kf-forex.com.ua - масштабный интернет-ресурс финансового рынка

berg.com.ua - русскоязычный аналитический сайт финансового рынка

wiki-forex-27.info - обучающий сайт для трейдеров

n-t.ru - научно-техническая электронная библиотека

bull-n-bear.ru - новостной интернет-портал финансового рынка

topref.ru - сервер рефератов, курсовых и контрольных работ

e-ng.ru - электронный портал рефератов Большая Библиотека

iknigi.net - электронная научно-популярная библиотека

  Использованные сервисы

youtube.com - ютуб, крупнейший видеохостинг

Google.ru - крупнейшая поисковая система в мире

translate.yandex.ru - переводчик от поисковой системы Яндекс

maps.yandex.ru - карты от Яндекса для поиска мест описываемых в этой статье

maps.google.ru - карты от Google Inc. для поиска мест описываемых в данной статье

economic-definition-com-video.google.com - поиск видео в интернете через Google Inc.

Yandex.ru - крупнейшая поисковая система в Российской Федерации

wordstat.yandex.ru - сервис от Яндекса позволяющий анализировать поисковые запросы

economic-definition-com-video.yandex.ru - поиск видео в интернете через Яндекс

images.yandex.ru - поиск картинок через сервис Яндекса

ppt4web.ru - интернет-сервис для просмотра презентаций PowerPoint онлайн