ЗАРАБАТЫВАЙТЕ !!! на глобальных рынках. БЕСПЛАТНАЯ консультация - оставьте свой телефон сейчас

Фибоначчи (Fibonacci) - это

великий итальянский ученый-математик средневековой Европы по имени Леонардо Фибоначчи или Леонардо Пизанский, который внес громадный вклад в развитие фундаментальной математической науки, объединил и систематизировал многочисленные древние математические знания, вывел математику на совершенно новый уровень развития

Биография Фибоначчи и её влияние на его математические способности, исторические предпосылки и основы математической теории Фибоначчи, вклад Леонардо Пизанского в развитие фундаментальной математики и смежных областей науки, числа, последовательность, ряды, линия и спираль Фибоначчи, внедрение десятичной системы счисления и арабских цифр, задачи Фибоначчи, использование теории Фибоначчи в биржевом техническом анализе и волновой теории

Развернуть содержание

Фибоначчи - это один из самых известных и выдающихся математиков Европы позднего Средневековья, известный также как Леонардо из Пизы или Леонардо Пизанский, внесший огромный вклад в фундаментальные основы математической науки, объединив многочисленные разрозненные математические знания Восточных культур и приведя их к единой числовой системе, которая прослеживается во всех аспектах человеческой жизни, законах природы и вселенских явлений, а так же ввел новые понятия, связал основы своей теории со многими смежными науками и искусствами, показал правильное восприятие и красоту числового мира, чем опередил на многие столетия своих современников и вывел математическую науку на новый уровень ее развития.

Леонардо Фибоначчи - великий ученый средневековья
Леонардо Фибоначчи - великий ученый средневековья

Фибоначчи - это Леонардо Пизанский, великий итальянский средневековый математик, открывший знаменитую последовательность чисел, впоследствии названную его именем, и сыгравшую революционную роль в дальнейшем развитии математики, искусства, архитектуры, а также смежных научных дисциплин, искусства, архитектуры, чем в корне изменил человеческое научное мировоззрение на окружающий мир и законы его существования.

Связь теории Фибоначчи с природой и искусством

Фибоначчи - это один из самых значительных западных математиков средневековья, в раннем возрасте познакомившийся с достижениями арабской математики и способствовавший передаче эти знаний в западноевропейскую науку. Основные труды по арифметике и алгебре являются первыми научными произведениями, содержащими задачи на применение алгебры в геометрии.

Математики средневековья
Математики средневековья

Фибоначчи - это один из крупнейших Европейских средневековых математиков первой величины, труды которого включили в себя ценнейшие знания в области математики той поры. Он превзошел знаниями лучших ученых своей эпохи, опередив их практически на две сотни лет заложив тем самым фундамент развития науки в западной Европе на основе математических знаний арабов и индусов, что способствовало всестороннему и интенсивному развитию человеческой цивилизации.

Влияние математики на расцвет человеческой цивилизации

Фибоначчи - это итальянский математик, он же Леонардо из Пизы, Леонардо Пизанский, который в своем главном труде "Книга абака" (1202 г.) первым систематически изложил достижения арабской математики, чем способствовал знакомству с ней в Западной Европе.

Леонардо из Пизы
Леонардо из Пизы

Фибоначчи - это знаменитый итальянский математик, ставший первым великим математиком Европы позднего Средневековья, издавая свои книги по арифметике, алгебре и другим математическим дисциплинам. От мусульманских математиков узнал о системе цифр, придуманной в Индии и уже принятой в арабском мире, и уверился в ее превосходстве (эти цифры были предшественниками современных арабских цифр).

Леонардо Фибоначчи и его система чисел

Фибоначчи - это выдающийся итальянский ученый, имевший также имена Леонардо Пизанский и Леонардо из Пизы, первый крупный выдающийся математик средневековой Европы, наиболее известный под прозвищем Фибоначчи, которое означает «сын Боначчи».

Сын Боначчи
Сын Боначчи

Фибоначчи - это самый значительный математик средневековья. Роль его книг в развитии математики и распространении в Европе математических знаний трудно переоценить.

Развитие науки в древние и средние века

Фибоначчи - это сын средневекового итальянского торговца, который стал математиком, а впоследствии получил признание потомков в качестве первого и величайшего математика Европы периода Средних веков, не в последнюю очередь, благодаря открытой им последовательности чисел, названных впоследствии числами Фибоначчи, которые он в начале XIII века описал в своем труде «Liber abaci».

Скульптурный портрет Леонардо Фибоначчи
Скульптурный портрет Леонардо Фибоначчи

Фибоначчи - это известный итальянский математик начала эпохи Возрождения, исследовавший последовательность чисел, совокупность которых позже была названа в его честь числами Фибоначчи, автор многих научных трудов и книг по фундаментальной математике.

Книга по арифметике Фибоначчи
Книга по арифметике Фибоначчи

Фибоначчи - это один из лучших математиков своего времени, почерпнувший свои базовые знания от древнеегипетских, древнегреческих и арабских математиков и систематизировавший их в своем основном труде "Книге вычислений" ("Liber Abaci"), которая содержала в себе целый ряд новых для европейцев идей, одной из самых значительных из которых были арабские цифры.

Арабские математики
Арабские математики

Фибоначчи - это, определение

Фибоначчи - это один из самых известных и выдающихся математиков Европы позднего Средневековья, известный также как Леонардо из Пизы или Леонардо Пизанский, внесший огромный вклад в фундаментальные основы математической науки, объединив многочисленные разрозненные математические знания Восточных культур и приведя их к единой числовой системе, которая прослеживается во всех аспектах человеческой жизни, законах природы и вселенских явлений, а так же ввел новые понятия, связал основы своей теории со многими смежными науками и искусствами, показал правильное восприятие и красоту числового мира, чем опередил на многие столетия своих современников и вывел математическую науку на новый уровень ее развития.

Леонардо Фибоначчи - великий ученый средневековья
Леонардо Фибоначчи - великий ученый средневековья

Фибоначчи - это Леонардо Пизанский, великий итальянский средневековый математик, открывший знаменитую последовательность чисел, впоследствии названную его именем, и сыгравшую революционную роль в дальнейшем развитии математики, искусства, архитектуры, а также смежных научных дисциплин, искусства, архитектуры, чем в корне изменил человеческое научное мировоззрение на окружающий мир и законы его существования.

Связь теории Фибоначчи с природой и искусством

Фибоначчи - это один из самых значительных западных математиков средневековья, в раннем возрасте познакомившийся с достижениями арабской математики и способствовавший передаче эти знаний в западноевропейскую науку. Основные труды по арифметике и алгебре являются первыми научными произведениями, содержащими задачи на применение алгебры в геометрии.

Математики средневековья
Математики средневековья

Фибоначчи - это один из крупнейших европейских средневековых математиков первой величины, труды которого включили в себя ценнейшие знания в области математики той поры. Он превзошел знаниями лучших ученых своей эпохи, опередив их практически на две сотни лет заложив тем самым фундамент развития науки в западной Европе на основе математических знаний арабов и индусов, что способствовало всестороннему и интенсивному развитию человеческой цивилизации.

Влияние математики на расцвет человеческой цивилизации

Фибоначчи - это итальянский математик, он же Леонардо из Пизы, Леонардо Пизанский, который в своем главном труде "Книга абака" (1202 г.) первым систематически изложил достижения арабской математики, чем способствовал знакомству с ней в Западной Европе.

Леонардо из Пизы
Леонардо из Пизы

Фибоначчи - это знаменитый итальянский математик, ставший первым великим математиком Европы позднего Средневековья, издавая свои книги по арифметике, алгебре и другим математическим дисциплинам. От мусульманских математиков узнал о системе цифр, придуманной в Индии и уже принятой в арабском мире, и уверился в ее превосходстве (эти цифры были предшественниками современных арабских цифр).

Леонардо Фибоначчи и его система чисел

Фибоначчи - это выдающийся итальянский ученый, имевший также имена Леонардо Пизанский и Леонардо из Пизы, первый крупный выдающийся математик средневековой Европы, наиболее известный под прозвищем Фибоначчи, которое означает «сын Боначчи».

Сын Боначчи
Сын Боначчи

Фибоначчи - это самый значительный математик средневековья. Роль его книг в развитии математики и распространении в Европе математических знаний трудно переоценить.

Развитие науки в древние и средние века

Фибоначчи - это сын средневекового итальянского торговца, который стал математиком, а впоследствии получил признание потомков в качестве первого и величайшего математика Европы периода Средних веков, не в последнюю очередь, благодаря открытой им последовательности чисел, названных впоследствии числами Фибоначчи, которые он в начале XIII века описал в своем труде «Liber abaci».

Скульптурный портрет Леонардо Фибоначчи
Скульптурный портрет Леонардо Фибоначчи

Фибоначчи - это известный итальянский математик начала эпохи Возрождения, исследовавший последовательность чисел, совокупность которых позже была названа в его честь числами Фибоначчи, автор многих научных трудов и книг по фундаментальной математике.

Книга по арифметике Фибоначчи
Книга по арифметике Фибоначчи

Фибоначчи - это один из лучших математиков своего времени, почерпнувший свои базовые знания от древнеегипетских, древнегреческих и арабских математиков и систематизировавший их в своем основном труде "Книге вычислений" ("Liber Abaci"), которая содержала в себе целый ряд новых для европейцев идей, одной из самых значительных из которых были арабские цифры.

Арабские математики
Арабские математики

Биография Фибоначчи

Леонардо Фибоначчи родился в итальянском торговом центре в городе Пиза. К сожалению, о годах жизни Леонардо практически ничего неизвестно, историки не сохранили точную дату его рождения, поэтому считается, что Фибоначчи или как его еще называют, Леонардо из Пизы родился в восьмой декаде 12-го столетия, предположительно в 1170-е годы (в некоторых источниках стоит 1180 год).

Город Пиза в средневековой Италии
Город Пиза в средневековой Италии

Фибоначчи, его настоящие данные: Леонардо Пизанский (лат. Leonardus Pisanus, итал. Leonardo Pisano), период жизни (около 1170 года - около 1250 года). Первый крупный математик средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибоначчи (Fibonacci).

Приблизительные годы рождения и смерти Фибоначчи
Приблизительные годы рождения и смерти Фибоначчи

Сам Леонардо Фибоначчи (Леонардо из Пизы, Леонардо Пизанский) никогда не называл себя Фибоначчи. О происхождении этого псевдонима имеются разные версии. По одной из них, его отец Гильермо имел прозвище Боначчи («Благонамеренный»), а сам Леонардо прозывался Filius Bonacci («сын Благонамеренного»). По другой, Fibonacci происходит от фразы Figlio Buono Nato Ci, что в переводе с итальянского означает «хороший сын родился».

Леонардо Пизанский
Леонардо Пизанский

Есть еще несколько версий происхождения данного псевдонима, согласно которым этот псевдоним был дан ему позднее, предположительно Гийомом Либри (Guglielmo Libri Carucci dalla Sommaja) в 1838 году. Слово Leonardo Fibonacci - сокращение от двух слов «filius Bonacci», появившихся на обложке «Книги абака». Они могли означать либо «сын Боначчо», либо, если интерпретировать слово Боначчи как фамилию, «сын Боначчи».

Слова Filius Bonacci на первой строке страницы из Книги Абака
Слова Filius Bonacci на первой строке страницы из Книги Абака

Согласно еще одной версии, само слово Боначчи нужно понимать как прозвище, означавшее «удачливый». Сам он обычно подписывался Боначчи. Иногда он использовал также имя Леонардо Биголло - слово bigollo на тосканском наречии значило «странник», а также «бездельник».

Различные имена и прозвища Фибоначчи
Различные имена и прозвища Фибоначчи

Его отец Гильермо, был купцом и государственным чиновником, представителем нового класса предпринимателей, порожденных "Коммерческой Революцией". В то время Пиза была одним из крупнейших коммерческих центров, активно сотрудничавших с исламским Востоком, и отец Фибоначчи активно торговал в одной из факторий, основанных итальянцами на северном побережье Африки.

Средневековая торговля с Востоком
Средневековая торговля с Востоком

Благодаря этому обстоятельству, ему удалось "устроить" своего сына, будущего математика Леонардо Фибоначчи, в одно из арабских учебных заведений, где тот и смог получить неплохое для того времени математическое образование.

Средневековое арабское учебное заведение Медресе
Средневековое арабское учебное заведение Медресе

Отец Фибоначчи по торговым делам часто бывал в Алжире, и Леонардо сопровождал его в торговых экспедициях. В тех краях Фибоначчи впервые познакомился с книгами арабских математиков и стал изучать их у арабских учителей. Здесь он изучил арифметические методы, которые были широко известны среди ученых исламского мира, но были по большей части недоступны на Западе.

Влияние арабо-мусульманского мира на развитие Европы

Благодаря общению с западными купцами он освоил также математические техники, принятые в Европе. Позже Фибоначчи много путешествовал по Востоку, совмещая математические занятия с торговлей. Путешествуя по миру Леонардо, посетил Египет, Сирию, Византию и Сицилию. Леонардо изучал труды математиков стран ислама (таких как Аль-Хорезми и Абу Камил).

Средневековый персидский математик Аль-Хорезми
Средневековый персидский математик Аль-Хорезми

По арабским переводам Фибоначчи ознакомился также с достижениями античных и индийских математиков. На основе усвоенных им знаний Фибоначчи написал ряд математических трактатов, представляющих собой выдающееся явление средневековой западноевропейской науки.

Древнеиндийские математики
Древнеиндийские математики

В 1200 году Леонардо Фибоначчи вернулся в Пизу и принялся за написание своего первого труда «Книги абака». В то время в Европе о позиционной системе счисления и арабских цифрах знали очень немногие. В своей книге Фибоначчи всячески поддерживал индийские приёмы вычисления и методы.

Позиционные системы счисления

По словам историка математики А.П.Юшкевича: «„Книга абака“ резко возвышается над европейской арифметико-алгебраической литературой XII-XIV веков разнообразием и силой методов, богатством задач, доказательностью изложения. Последующие математики широко черпали из неё как задачи, так и приёмы их решения». По первой книге многие поколения европейских математиков изучали индийскую позиционную систему счисления.

Известный историк математики Адольф Юшкевич
Известный историк математики Адольф Юшкевич

Необходимо заметить, что период с 11-го по 12-й века были временем блестящего расцвета арабской культуры, но вкупе с тем и началом ее упадка. В конце 11-го столетия, то есть к началу Крестовых походов, арабы были, бесспорно, наиболее просвещенным народом в мире, превосходя в этом отношении своих христианских противников.

Крестовые походы средневековья
Крестовые походы средневековья

Еще до Крестовых походов арабское воздействие проникло на Запад. Тем не менее, наибольшее проникновение арабской культуры на Запад началось после Крестовых походов, которые обессилили арабский народ, но с другой стороны усилили арабское воздействие на христианский Запад. Не только хлопок и сахар Палестины, перец и черное дерево Египта, самоцветные камни и пряности Индии ищет и ценит христианский Запад в арабском мире.

История крестовых походов

‌Он начинает разбираться в том культурном наследстве "великого античного Востока", хранителем которого стала арабская культура. Открывшийся мир не мог не ослеплять своими красками и научными достижениями - и все обширнее становится в западном обществе спрос на арабские географические карты, учебники алгебры и астрономии, арабское зодчество.

История арабской культуры

‌Итальянский купец Леонардо из Пизы, так же известный под прозвищем Фибоначчи, был, безусловно, самым значительным математиком средневековья. Роль его книг в развитии математики и распространении в Европе математических знаний трудно переоценить.

Средневековая восточная математика
Средневековая восточная математика

В век Фибоначчи Эпоха Возрождения была еще далеко, однако история даровала Италии краткий промежуток времени, который вполне можно было назвать репетицией надвигающейся эпохи Ренессанса. Этой репетицией руководил Фридрих II, император (с 1220 года) Священной Римской империи. Фридрих II был одной из интереснейших личностей эпохи крестовых походов, предвестницы эпохи Возрождения. Он был учеником сицилийских арабов и поклонником арабской культуры.

Император Священной Римской Империи Фридрих Второй
Император Священной Римской империи Фридрих Второй

Воспитанный в традициях южной Италии Фридрих II был внутренне глубоко далек от европейского христианского рыцарства. Столь любимые его дедом рыцарские турниры Фридрих II совсем не признавал. Вместо этого он культивировал гораздо менее кровавые математические соревнования, на которых противники обменивались не ударами, а задачами. На таких турнирах и заблистал талант Леонардо Пизанский, чему способствовало хорошее образование, полученное им в детстве.

Замок Кастель дель Монте - место проведения математических состязаний
Замок Кастель дель Монте - место проведения математических состязаний

Император Фридрих II любил окружать себя учеными, законниками, математиками, астрологами и прочими учеными мужами, принадлежавшими к разным культурам и странам. В 1224 году он основал Университет в Неаполе, где учились будущие нотариусы, адвокаты, судьи и чиновники королевской канцелярии. Его двор был также и одним из главных в Европе математических центров, соперничавшим с Парижем и Оксфордом.

Средневековый университет
Средневековый университет

Написанная Леонардо "Книга Абака" заинтересовала императора Фридриха II и его придворных, среди которых был астролог Микаель Скотус (Michael Scotus), философ Теодорус Физикус (Theodorus Physicus) и Доминикус Хиспанус (Dominicus Hispanus). Последний предложил, чтобы Леонардо пригласили ко двору, где он впоследствии и стал жить и работать. В одно из посещений императором Пизы около 1225 года, ему задавал задачи Иоган Палермский, ещё один придворный философ Фридриха II. Некоторые из этих задач появились в последующих работах Фибоначчи.

Двор Императора Фридриха II в Палермо
Двор Императора Фридриха II в Палермо

Благодаря хорошему образованию Леонардо удалось обратить на себя внимание императора Фридриха II во время математических турниров, в результате чего Леонардо стал пользовался покровительством императора. Покровительство Фридриха II и стимулировало выпуск научных трактатов Фибоначчи. Талант Леонардо как математика был достойно оценен при дворе Фридриха II, император назначил Леонардо пожизненное содержание, позволившее ему сосредоточиться на своих исследованиях.

Итальянский замок Кастель дель Монте, где проводились математические турниры

Несколько лет Фибоначчи жил при дворе императора. К этому времени относится его работа «Книга квадратов», написанная в 1225 году. Книга посвящена диофантовым уравнениям второй степени и ставит Фибоначчи в один ряд с такими учёными, развивающими теорию чисел, как Диофант и Ферма. Единственное упоминание о Фибоначчи после 1228 года относится к 1240 году, когда ему в Пизанской республике была назначена пенсия за заслуги перед городом.

Древнегреческий математик Диофант Александрийский
Древнегреческий математик Диофант Александрийский

Прижизненных портретов Фибоначчи не сохранилось, а существующие являются современными представлениями о нём. Леонардо Пизанский не оставил практически никаких автобиографических сведений; единственным исключением является второй абзац «Книги абака», где Фибоначчи излагает причины, побудившие его написать книгу.

История жизни ученого-математика Леонардо Фибоначчи

Фибоначчи пишет: «Когда отцу моему была назначена должность таможенного чиновника, заведовавшего в Беджайе делами стекавшихся к нему пизанских торговцев, он призвал меня к себе, малого отрока, и предложил взять несколько уроков счётного искусства, сулившего немало благ и выгод для моего будущего.

Средневековые таможенные чиновники
Средневековые таможенные чиновники

Наученный благодаря мастерству учителей основам индийского счёта, я приобрёл большую любовь к оному искусству, а к тому же узнал, что всевозможными познаниями, касающимися заинтересовавшего меня предмета, владеют египтяне, сирийцы, греки, сицилийцы и провансальцы, развившие свои методы. Позже, во время торговых путешествий по всем этим краям, я посвятил много труда подробному изучению их методов, и, кроме того, научился искусству спора.

Система индийского счета

Однако по сравнению с методом индийцев, все их построения, включая подход алгорисмиков и учение Пифагора, кажутся почти заблуждениями, а потому я решил, изучив как можно внимательнее индийский метод, изложить его в пятнадцати главах, настолько понятно, насколько смогу, с добавлениями от собственного разума и с кое-какими полезными замечаниями из геометрии Евклида, вставленными по ходу сочинения.

Древнегреческий ученый Эвклид
Древнегреческий ученый Эвклид

Дабы пытливый читатель мог изучить индийский счёт наиболее вдумчивым образом, я сопроводил почти каждое утверждение убедительным доказательством; рассчитываю, что латинский народ отныне не будет лишён самых точных сведений об искусстве вычислений.

Искусство вычислений
Искусство вычислений

Если же, паче чаяния, я пропустил что-то более или менее важное, а может быть, необходимое, то молю о прощении, ибо нет среди людей никого, кто был бы безгрешен или обладал способностью всё предвидеть». Однако точный смысл этого абзаца нельзя считать полностью известным, потому что его текст, как и весь латинский текст книги, дошёл до нас с ошибками, внесёнными переписчиками».

Средневековый монах-переписчик
Средневековый монах-переписчик

Год смерти великого математика точно неизвестен. По официальным данным он умер около 1250 года. Однако есть мнение о том, что биография Фибоначчи закончилась предположительно в 1228 году, когда он участвовал в крестовом походе под управлением императора Фридриха Гогенштауфена.

Надпись на статуе Фибоначчи в Пизе на кладбище Кампосанто
Надпись на статуе Фибоначчи в Пизе на кладбище Кампосанто

Хотя нам очень мало известно о жизни Леонардо, все же история донесла до наших дней его научные труды и открытия, и его главное творение - числовой ряд Фибоначчи, а также другие творения математической уникальности и универсальности которым, мы не перестаем удивляться.

Труды Фибоначчи сохранились и по сей день
Труды Фибоначчи сохранились и по сей день

Книги и научные труды Фибоначчи

На основе знаний полученных Леонардо Фибоначчи при ознакомлении с достижениями арабской математики им был написан целый ряд математических трактатов, представляющих собой выдающееся явление средневековой западноевропейской науки: «Книга Абака», книга «Практика геометрии», трактат «Цветок», «Книга квадратов», трактат Di minor guisa по коммерческой арифметике, комментарии к книге X «Начал» Евклида и ряд других.

Достижения арабской математики
Достижения арабской математики

По этим книгам, превосходящим по своему уровню арабские и средневековые европейские сочинения, учили математику, чуть ли не до времен Декарта (XVII в.).

Величайшие достижения восточных ученых

Значительную часть усвоенных им знаний Леонардо Фибоначчи изложил в своей выдающейся «Книге абака» (Liber abaci, 1202 год; до наших дней сохранилась только дополненная рукопись 1228 года). Эта книга содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени, изложенные с исключительной полнотой и глубиной.

Средневековые математические знания на арабском Востоке
Средневековые математические знания на арабском Востоке

  Книга Абака (Liber abaci) Фибоначчи

Книга Абака (лат. Liber abaci) - главный труд Фибоначчи (Леонардо Пизанского), посвященный изложению и пропаганде десятичной арифметики. Книга вышла в 1202 году, второе переработанное издание - в 1228 году. До наших дней дошло только второе издание. Абаком Леонардо Фибоначчи называл арифметические вычисления.

Арифметические вычисления
Арифметические вычисления

Леонардо был хорошо знаком (по арабским переводам) с достижениями древних греков и индийцев. Он систематизировал значительную их часть в своей книге. Немаловажно, что книга Фибоначчи была написана простым языком и рассчитана на тех, кто занимается практическим счётом - в первую очередь торговцев. Его изложение по ясности, полноте и глубине сразу стало выше всех античных и исламских прототипов, и долгое время, почти до времени Декарта, было непревзойдённым. Книга посвящена Микаелю Скотусу.

Астролог Микаель Скотус
Астролог Микаель Скотус

Из предисловия автора к трактату «Liber abaci»: «Отец мой, родом из Пизы, служил синдиком на таможне в Бужи, в Африке, куда он меня взял с собою для изучения искусства считать. Удивительное искусство считать при помощи только девяти индусских знаков мне так понравилось, что я непременно захотел познакомиться с тем, что известно об этом искусстве в Египте, Греции, Сирии, Сицилии и Провансе. Объехав все эти страны, я убедился, что индусская система счисления есть самая совершенная... Изучив основательно эту систему и все к ней относящееся, прибавив свои собственные исследования и почерпнутое из «Начал» Евклида, я решился написать это сочинение».

Искусство считать
Искусство считать

Книга Абака состоит из 15 глав (книг) и содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени, изложенные с исключительной полнотой и глубиной.

Книга Абака из 15 глав - главный труд Фибоначчи
Книга Абака из 15 глав - главный труд Фибоначчи

Этот объемный труд, насчитывающий в печатном варианте 459 страниц, стал настоящей энциклопедией математических знаний того времени и сыграл важную роль в их распространении в странах Западной Европы в следующие несколько столетий. Работа написана на латыни и считается первым сочинением такого рода, автор которого был христианином.

Научное значение Книги Абака
Научное значение Книги Абака

Каково же было содержание написанной Фибоначчи книги-энциклопедии, в которой насчитывалось целых пятнадцать глав? Оказывается, в ней рассматривался весьма обширный круг вопросов:

- индусская система нумерации;

Индусская система нумерации
Индусская система нумерации

- правила действий над целыми числами;

Арифметические действия над целыми числами
Арифметические действия над целыми числами

- дроби и смешанные числа;

Арифметические операции с дробями и смешанными числами

‌- разложение чисел на простые множители;

Разложение натуральных чисел на простые множители

‌- признаки делимости;

Признаки делимости натуральных чисел
Признаки делимости натуральных чисел

- учение об иррациональных величинах;

Иррациональные числа

‌- способы приближенного вычисления квадратных и кубических корней;

Квадратный корень
Квадратный корень

- свойства пропорции;

Пропорции и их свойства

‌- арифметическая и геометрическая прогрессии;

Геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия

- линейные уравнения и их системы;

Решение линейных уравнений

‌- отдельная глава была посвящена квадратным уравнениям и геометрическим задачам на применение теоремы Пифагора.

Основные понятия квадратных уравнений

‌Первые пять глав книги посвящены арифметике целых чисел на основе десятичной нумерации. Книга I вводит арабо-индийские цифры, сразу описывает алгоритм умножения (который в новой системе неизмеримо проще, чем в старой, римской) и показывает, как преобразовать числа из старой системы в новую. Стоит отметить, что Фибоначчи вводит как самостоятельное число и ноль (zero), название которого производит от zephirum, латинской формы «ас-сифр» (пустой).

Десятичная система счисления на основе арабо-индийских цифр
Десятичная система счисления на основе арабо-индийских цифр

Книга II содержит многочисленные практические примеры денежных расчётов. В книге III излагаются разнообразные математические задачи - например, китайская теорема об остатках, совершенные числа, прогрессии и прочее. В книге IV даются методы приближённого вычисления и геометрического построения корней и других иррациональных чисел. Далее идут разнообразные приложения и решение уравнений.

Соевершенные числа
Соевершенные числа

В книге VI и VII Леонардо излагает действия над обыкновенными дробями. В книге VIII-X изложены приёмы решения задач коммерческой арифметики, основанные на пропорциях. В книге XI рассмотрены задачи на смешение. В книге XII приводятся задачи на суммирование рядов - арифметической и геометрической прогрессий, ряда квадратов и, впервые в истории математики, возвратного ряда, приводящего к последовательности так называемых чисел Фибоначчи.

Последовательность Фибоначчи

‌В книге XIII излагается правило двух ложных положений и ряд других задач, приводимых к линейным уравнениям. В книге XIV Леонардо на числовых примерах разъясняет способы приближённого извлечения квадратного и кубического корней. Наконец, в XV книге собран ряд задач на применение теоремы Пифагора и большое число примеров на квадратные уравнения. Леонардо впервые в Европе использовал отрицательные числа, которые рассматривал как займ.

Извлечение квадратного корня
Извлечение квадратного корня

Часть задач - на суммирование рядов. В связи с контролем вычислений по модулю приводятся признаки делимости на 2, 3, 5, 9. Изложена содержательная теория делимости, в том числе наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Именно здесь помещена задача о кроликах, приводящая к знаменитому ряду Фибоначчи.

Признаки делимости чисел

‌Многие важные задачи впервые стали известны именно из книги Леонардо; однако даже при изложении классических задач он внёс много нового. Методы решения уравнений часто оригинальные, по существу алгебраические, хотя символика отсутствует. Во многих вопросах Леонардо пошёл дальше китайцев. Фибоначчи - впервые в Европе - свободно обращается с отрицательными числами, толкуя их в индийском стиле, как займ. Самостоятельно открыл несколько численных методов (некоторые из них, впрочем, были известны арабам).

Отрицательные числа

‌«Liber abaci», или трактат по арифметике (а именно так можно истолковать название, поскольку под «абаком» Леонардо понимал не счетную доску, а арифметику), отличалась полнотой охвата и глубиной изложения. В ней подробно разъяснялись не только азы науки о числах и действиях над ними, но и основы учения об уравнениях, т.е. алгебры.

Счетная доска Абак
Счетная доска Абак

Кроме того, в книге Фибоначчи «Liber abaci» имелось большое количество задач практического содержания, иллюстрировавших различные приемы решения, как арифметические - тройное правило, правило товарищества, метод ложного положения и др., так и алгебраические, приводящие к одному или нескольким уравнениям.

Алгебраическая задача
Алгебраическая задача

Само изложение было словесным, лишенным привычных для современного читателя символов и формул, а решение примеров и задач, носивших, как мы говорим сегодня, частный характер, сводилось к описанию действий, которые следовало применить в той или иной конкретной ситуации, и нередко сопровождалось иллюстрациями, разъяснениями или полезными комментариями автора.

Текст Книги Абака сопровождался иллюстрациями
Текст Книги Абака сопровождался иллюстрациями

Книга была адресована не только ученым мужам, но и более широкому кругу читателей: купцам, счетоводам, продавцам, чиновникам и т.д. В предисловии отмечалось, что автор написал свой труд, дабы «род латинян» не прибывал более в незнании излагаемых в нем вещей. Однако для многих из тех, кому предназначалась «Liber abaci», книга оказалась трудновата, поэтому несмотря на популярность и доработанное автором издание 1228 г., не получила того широкого распространения, которого заслуживала.

Страница из Книги Абака издания 1228 года
Страница из Книги Абака издания 1228 года

Зато трактат Леонардо приобщил к достижениям индийских и арабских математиков европейских ученых и оказал существенное влияние на дальнейшее развитие алгебры и теории чисел. «Liber abaci» была востребована математиками эпохи Возрождения и Нового времени, сумевшими оценить ее по достоинству, ведь книга отличалась не только богатством и разнообразием рассмотренных в ней примеров и методов, но и строгостью, доказательностью изложения.

Эпоха возрождения

‌На протяжении нескольких столетий по труду Фибоначчи ученые знакомились с двумя важнейшими разделами математики - арифметикой и алгеброй и черпали из него задачи и оригинальные методы решения, благодаря чему уже в XV-XVI вв. те разошлись по многочисленным итальянским, французским, немецким, английским, а позже и русским рукописям, печатным книгам и учебникам.

Три основных раздела математики
Три основных раздела математики

Некоторые задачи Леонардо Фибоначчи или их аналоги можно обнаружить и в «Сумме арифметики» Пачиоли (1494), и в «Приятных и занимательных задачах» Баше де Мизириака (1612), и в «Арифметике» Магницкого (1703), и даже в «Алгебре» Эйлера (1768).

Учебник Арифметики Магницкого

‌В своем труде Леонардо Фибоначчи упоминал о разных нумерациях, как известных у него на родине, так и использовавшихся в странах Востока, которые он посетил, и показал преимущества индусской системы счисления. А начинался трактат так: «Девять индусских знаков суть следующие: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. С помощью этих знаков и знака 0, который называется по-арабски «сифр», можно написать какое угодно число».

Десятичная нумерация в разных странах
Десятичная нумерация в разных странах

Основную часть сведений Лонардо кропотливо собирал, путешествуя по разным странам как купец, кое-что почерпнул из трудов Евклида (а по сути - из наследия античных математиков). Особую ценность представляло подробное изложение малоизвестной тогда в Европе индусской (десятичной) системы счисления и новых методов вычисления, позволявших заметно упростить всевозможные расчеты и успешно решать большой круг задач.

Десятичная система счисления презентация

‌Надо сказать, что отдельные случаи использования этой системы встречались и ранее. С Востока ее привозили паломники, ученые, купцы, посланники и военные. Наиболее древний европейский манускрипт, в котором упоминаются придуманные индусами цифры, относится еще к концу X века. Однако десятичная система счисления очень медленно проникала в западные страны и получила там широкое распространение лишь в эпоху Возрождения.

Превосходство десятичной системы счисления над римской
Превосходство десятичной системы счисления над римской

Отметим также, что именно благодаря Леонардо Фибоначчи европейцы познакомились с общими правилами решения квадратных уравнений, описанными в трактате Аль-Хорезми.

Трактат Аль-Хорезми Китаб ал-джабр вал мукабала
Трактат Аль-Хорезми Китаб ал-джабр вал мукабала

Но Леонардо Пизанский был не только автором-составителем книги-энциклопедии «Liber abaci». В ней математик отразил и результаты собственных научных изысканий. В частности, в этом труде он впервые:

- сформулировал правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии;

Поиск суммы арифметической прогрессии

‌- рассмотрел возвратную последовательность, в которой каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предшествующих ему чисел;

Возвратные или рекуррентные последовательности чисел
Возвратные или рекуррентные последовательности чисел

- ввел термин «частное» для обозначения результата деления;

Частное от деления
Частное от деления

- описал способ приведения дробей к общему знаменателю с помощью нахождения наименьшего общего кратного знаменателей (более рациональный, чем использовали арабские математики).

Приведение дробей к общему знаменателю

‌Кроме того, Фибоначчи самостоятельно разработал ряд алгебраических приемов решения задач, исследовал некоторые уравнения высших степеней, сводящиеся к квадратным, и первым среди европейских ученых подошел к введению отрицательных чисел и их толкованию как задолженности, что по тем временам являлось огромным достижением.

Квадратные уравнения
Квадратные уравнения

Таким образом, «Книга абака» Леонарда Фибоначчи оказала огромное влияние на распространение математических знаний в Европе, служила учебником, справочником и источником вдохновения европейских учёных. Особенно неоценима её роль в быстром распространении в Европе десятичной системы и индийских цифр.

Распространение десятичной системы счисления в Европу
Распространение десятичной системы счисления в Европу

  Книга Фибоначчи «Практика геометрии» (Practica geometriae)

Другая книга Леонардо Фибоначчи, «Практика геометрии» (Practica geometriae, 1220 г.), состоит из семи частей и содержит разнообразные теоремы с доказательствами, относящиеся к измерительным методам. Наряду с классическими результатами Фибоначчи приводит свои собственные - например, первое доказательство того, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке (Архимеду этот факт был известен, но если его доказательство и существовало, до нас оно не дошло).

Теорема о трёх медианах треугольника
Теорема о трёх медианах треугольника

Среди землемерных приёмов, описанных Фибоначчи которым посвящён последний раздел книги, - использование определённым образом размеченного квадрата для определения расстояний и высот. Для определения числа «Пи» Фибоначчи использует периметры вписанного и описанного 96-угольника, что приводит его к значению 3.1418. Книга была посвящена Доминикусу Хиспанусу. В 1915 году Р.С.Арчибальд занимался восстановлением утерянной работы Евклида о делении фигур, базируясь на «Практике геометрии» Фибоначчи и французском переводе арабской версии.

Определение числа Пи с помощью правильного 96-угольника Архимеда
Определение числа Пи с помощью правильного 96-угольника Архимеда

Своей короткой книгой о геометрии «Practica Geometriae» («Практика геометрии») Фибоначчи внес самый непосредственный вклад в научную литературу о золотом сечении. В "Практике геометрии" Фибоначчи применил к решению геометрических задач алгебраические методы.

Решение задач алгебраическими методами

‌В книге «Практика геометрии» Леонардо рассказывает о том, что он открыл в области геометрии и тригонометрии. Интерес к математике стал распространяться на северные города. Поначалу это был практический интерес, и в течение нескольких столетий арифметику, алгебру и геометрию вне университетов преподавали мастера, которые обычно не знали классиков, но зато обучали бухгалтерии и навигации.

Древняя наука навигации
Древняя наука навигации

В этой работе ученый представил новые способы вычисления диагонали и площади правильного пятиугольника, формулы для вычисления длин сторон правильного пятиугольника и правильного десятиугольника по диаметру окружностей, описанных вокруг них и вписанных в них, и формулы для вычисления объемов додекаэдра и икосаэдра, и все это тесно связано с золотым сечением.

Правильные многогранники
Правильные многогранники

В решениях этих задач Фибоначчи проявляет глубочайшее понимание евклидовой геометрии. Хотя его математические приемы до определенной степени опираются на работы предшественников, в особенности на труд Абу Камила «О пятиугольнике и десятиугольнике», не приходится сомневаться, что Фибоначчи вывел на новый уровень применение свойств золотого сечения при решении различных геометрических задач.

Эвклидова геометрия
Эвклидова геометрия

  Трактат Фибоначчи «Цветок» (Flos)

В трактате «Цветок» (Flos, 1225 год) Фибоначчи исследовал кубическое уравнение, предложенное ему Иоанном Палермским на математическом состязании при дворе императора Фридриха II. Сам Иоанн Палермский почти наверняка заимствовал это уравнение из трактата Омара Хайяма «О доказательствах задач алгебры», где оно приводится как пример одного из видов в классификации кубических уравнений.

Омар Хайям выдающийся деятель своего времени
Омар Хайям выдающийся деятель своего времени

Леонардо Пизанский исследовал это уравнение, показав, что его корень не может быть рациональным или же иметь вид одной из квадратичных иррациональностей, встречающихся в X книге Начал Евклида, а затем нашёл приближённое значение корня в шестидесятеричных дробях, равное 1,22,07,42,33,04,40, не указывая, однако, способа своего решения.

Решение кубических уравнений

  «Книга квадратов» (Liber quadratorum) Фибоначчи

«Книга квадратов» (Liber quadratorum, 1225 год) содержит ряд задач на решение неопределённых квадратных уравнений. Фибоначчи работал над поиском чисел, которые, будучи добавленными к квадратному числу, вновь дадут квадратное число.

Неопределенные квадратные уравнения
Неопределенные квадратные уравнения

Он отметил, что числа X2 + Y2 и X2 и Y2 не могут быть квадратными одновременно, а также использовал для поиска квадратных чисел формулу X2 + (2X + 1) = (X + 1)2. В одной из задач книги, также первоначально предложенной Иоанном Палермским, требовалось найти рациональное квадратное число, которое, будучи увеличено или уменьшено на 5, вновь даёт рациональные квадратные числа.

Фрагмент Книги Квадратов (Liber quadratorum)
Фрагмент Книги Квадратов (Liber quadratorum)

  Утраченные работы Леонардо Фибоначчи

Трактат Леонардо Фибоначчи "Di minor guisa" по коммерческой арифметике не дошел до наших дней. Так же "Комментарии к книге X «Начал» Евклида" были утеряны.

Некоторые научные труды Леонардо Фибоначчи были утеряны
Некоторые научные труды Леонардо Фибоначчи были утеряны

Задачи в книгах Фибоначчи

Оставаясь верным сторонником математической науки и поклонником математических турниров, основную роль в своих книгах Фибоначчи отводит задачам, их решениям и комментариям. Задачи на турниры предлагал как сам Фибоначчи, так и его соперник, придворный философ Фридриха II Иоган Палермский.

Волшебный мир Фибоначчи
Волшебный мир Фибоначчи

Задачи Фибоначчи, или их аналоги, продолжали использовать в различных математических учебниках несколько столетий. Их можно встретить в «Сумме арифметики» Пачиоли (1494), в «Приятных и занимательных задачах» Баше де Мизириака (1612), в «Арифметике» Магницкого (1703), в «Алгебре» Эйлера (1768).

Портрет Баше де Мизириака
Портрет Баше де Мизириака

Отметим, что Фибоначчи задумывал свое сочинение как пособие для купцов, тем не менее, по своему значению оно ушло далеко за пределы торговой практики и, по сути, зарекомендовало себя как своеобразную математическую энциклопедию поры средневековья.

Научная энциклопедия средневековья
Научная энциклопедия средневековья

С этой точки зрения особый интерес представляет 12-й раздел, где Фибоначчи сформулировал и решил ряд математических задач, представляющих интерес для общих перспектив развития математики. Этот раздел занимает почти треть сочинения и, по всей вероятности, ему Фибоначчи придавал наибольшее значение и в нем проявил наибольшую оригинальность.

Перспективы развития математики в средние века
Перспективы развития математики в средние века

  Арифметические, алгебраические и сюжетные задачи Фибоначчи

Немалую ценность Книге Абака придавало ей именно наличие в ней множества разнообразных задач, одни из которых были заимствованы из арабских и прочих источников, а другие придуманы самим автором. Большую группу составляли чисто арифметические и алгебраические примеры на выполнение действий над числами, извлечение корней, решение уравнений или систем и т.д.

Арифметические и алгебраические числовые задачи
Арифметические и алгебраические числовые задачи

В другую группу входили сюжетные задачи (в том числе связанные с житейскими ситуациями): на смешение, определение стоимости или количества купленного товара; раздел имущества и разного рода финансовые расчеты между людьми (задачи коммерческой арифметики) и т.п.

Коммерческая арифметика
Коммерческая арифметика

Например, к задачам на смешение относились два вида задач «на сплавы», т.е. на определение пробы сплава, сделанного из других сплавов известного состава и количества, и на выяснение того, сколько каждого из данных сплава потребуется, чтобы получить сплав нужной пробы.

Задачи на смешение металлов в сплавах
Задачи на смешение металлов в сплавах

А одной из типичных задач коммерческой арифметики была задача на раздел некоторой суммы денег пропорционально долям участников.

Раздел денег между участниками
Раздел денег между участниками

  Текстовые задачи Фибоначчи

В работы Леонардо Фибоначчи вошли также текстовые задачи на воспроизведение определенного действия, например нахождения числа по его части. Вот одна из них: «Четвертая и третья части дерева находятся под землей и составляют 21 фут. Чему равна длина всего дерева?».

Решение задачи Фибоначчи о дереве
Решение задачи Фибоначчи о дереве

Некоторые из затронутых в трудах Леонардо вопросов в разное время привлекали внимание ученых-математиков и не раз упоминались в более поздних сочинениях. Так произошло, в частности, с популярной в средние века задачей на отыскание наименьшего набора различных гирь, с помощью которого можно уравновесить любой груз с целочисленной массой, не превосходящей заданного числа.

Задача о гирях
Задача о гирях

Но наиболее известной по сей день остается, конечно же, задача о размножении кроликов, впервые появившаяся именно в «Liber abaci». Спрашивается, сколько пар кроликов родится за год от одной пары, если кролики начинают приносить потомство со второго месяца и каждая пара через месяц производит на свет еще одну пару?

Кролики Фибоначчи
Кролики Фибоначчи

Ее решение привело Леонардо Фибоначчи к открытию едва ли ни самой знаменитой числовой последовательности – 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... ,названной впоследствии его именем и породившей множество исследований, в особенности связанных с изучением свойств золотой пропорции.

Знаменитая числовая последовательность Фибоначчи
Знаменитая числовая последовательность Фибоначчи

  Примеры задач Фибоначчи

А теперь поговорим подробнее о некоторых конкретных арифметических и алгебраических задачах из «Liber abaci», с которыми должны легко справиться (в отличие от первых читателей книги Леонардо) и нынешние школьники. Задачи эти интересны не только, а иногда и не столько своими решениями или конкретным математическим содержанием.

Нынешние школьники
Нынешние школьники

Во многом эти задачи любопытны с исторической точки зрения, поскольку имеют свою биографию, выдержали испытание временем, «прижились» и благополучно дошли до наших дней. К тому же, рассматривая предложенную кем-то задачу, никогда не бывает лишне ознакомиться с чужим рассуждением и сравнить его с собственным решением. Тем более, когда читателя и автора разделяют столетия, а то и тысячелетия!

Алгоритм решения задачи
Алгоритм решения задачи
    Числовая задача Фибоначчи о квадратах чисел

Условие задачи: «Найти число, 19/20 которого равны квадрату самого числа».

Решение задачи. Ответ очевиден каждому, кто знаком с понятием квадрата числа. Решая задачу с помощью квадратного уравнения 19/20 x = x2, мы получим еще одно удовлетворяющее условию задачи число – 0 (ноль).

Условие и решение числовой задачи Фибоначчи о квадратах чисел
Условие и решение числовой задачи Фибоначчи о квадратах чисел

Автор же, очевидно, имел в виду число, отличное от нуля. Что вообще-то неудивительно. Во времена Леонардо Пизанского нуль не признавался за корень уравнения, т.е. за число. Впрочем, это не мешало некоторым математикам и до, и после Фибоначчи выполнять простейшие операции с нулем, который воспринимался ими как символ, обозначавший «ничто».

Ничто
Ничто
    Задача Фибоначчи о размножении кроликов

Знаменитая числовая последовательность Фибоначчи была получена им при решении знаменитой "задачи о размножении кроликов". Формулировка и решение этой задачи считается основным вкладом Фибоначчи в развитие комбинаторики.

Задача о размножении кроликов
Задача о размножении кроликов

Именно с помощью этой задачи Фибоначчи предвосхитил метод рекуррентных соотношений, который считается одним из мощных методов решения комбинаторных задач. Рекуррентная формула, полученная Фибоначчи при решении этой задачи, считается первой исследованной в истории математики рекуррентной формулой.

Методы рекуррентных соотношений

Существо своей "задачи о размножении кроликов" Фибоначчи сформулировал предельно просто:

"Пусть в огороженном месте имеется пара кроликов (самка и самец) в первый день января. Эта пара кроликов производит новую пару кроликов в первый день февраля и затем в первый день каждого следующего месяца. Каждая новорожденная пара кроликов становится зрелой уже через месяц и затем через месяц дает жизнь новой паре кроликов. Возникает вопрос: сколько пар кроликов будет в огороженном месте через год, то есть через 12 месяцев с начала размножения?"

Демонстрация задачи о размножении кроликов
Демонстрация задачи о размножении кроликов

Для решения этой задачи, которая наглядно демонстрируется с помощью рисунка, обозначим через A пару зрелых кроликов, а через B - пару новорожденных кроликов. Тогда процесс "размножения" может быть описан с помощью двух "переходов", которые описывают ежемесячные превращения кроликов в процессе размножения.

Превращения кроликов в процессе размножения
Превращения кроликов в процессе размножения

Заметим, что первый переход моделирует ежемесячное превращение каждой зрелой пары кроликов А в две пары, а именно в ту же самую пару зрелых кроликов А и новорожденную пару кроликов В. Второй переход моделирует процесс "созревания" кроликов, когда новорожденная пара кроликов В через месяц превращается в зрелую пару А. Тогда, если мы начнем в первом месяце со зрелой пары А, тогда процесс размножения кроликов может быть представлен с помощью таблицы:

Таблица размножения кроликов в задаче Фибоначчи
Таблица размножения кроликов в задаче Фибоначчи

Заметим, что в столбцах А и В таблицы указаны количества зрелых и новорожденных пар кроликов в каждом месяце года, а в таблице А+В - суммарное количество кроликов. Изучая последовательности А-, В- и (А+В)-чисел, можно установить следующую закономерность в этих числовых последовательностях: каждый член последовательности равен сумме двух предыдущих. Если теперь обозначить n-й член последовательности, удовлетворяющей этому правилу через Fn, тогда указанное выше общее правило может быть записано в виде следующей математической формулы:

Формула рекуррентной последовательности размножения кроликов
Формула рекуррентной последовательности размножения кроликов

Такая формула называется рекуррентной формулой. Заметим, что конкретные значения числовой последовательности, порождаемой рекуррентной формулой, зависят от начальных значений последовательности F1 и F2. Например, мы имеем F1 = F2 = 1 для A-чисел и для этого случая рекуррентная формула "генерирует" следующую числовую последовательность: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... .

Рекуррентный способ задания числовой последовательности
Рекуррентный способ задания числовой последовательности

Для В-чисел мы имеем: F1 = 0 и F2 = 1; тогда соответствующая числовая последовательность для этого случая будет иметь вид: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... . Наконец, для (А + В)-последовательности мы имеем: F1 = 1 и F2 = 2; тогда соответствующая числовая последовательность для этого случая будет иметь вид: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... . Эта последовательность представляет собой ряд Чисел Фибоначчи, которые обладают удивительными математическими свойствами.

Образование числовой последовательности в задаче о кроликах
Образование числовой последовательности в задаче о кроликах

Даже одной этой задачи хватило бы Фибоначчи, чтобы оставить след в истории науки. Именно в связи с ней сегодня чаще всего и упоминается имя ученого. Решая задачу о размножении кроликов, Леонардо описал бесконечную числовую последовательность, любой член которой, начиная с третьего, выражается через предыдущие члены.

Уравнение для решения задачи о кроликах
Уравнение для решения задачи о кроликах

Для математиков она является, прежде всего, классическим примером рекуррентной последовательности, элементы которой, числа Фибоначчи, обладают многими весьма интересными и нашедшими неожиданные применения свойствами. Из них широко известно следующее: предел отношения an+1 к an при неограниченном возрастании n устремляется к знаменитому числу Ф ≈ 1,618, выражающему божественную пропорцию.

Способы вычисления рекуррентных последовательностей

Что же касается ответа в задаче о кроликах, то (в соответствии с указанными в тексте условиями) он совпадает с 13-ым членом построенной Леонардо последовательности 1, 2, 3, 5, 8, ... – числом 377. Здесь каждое число, начиная со второго, показывают, сколько всего пар кроликов будет насчитываться к началу очередного месяца.

Ответ на задачу о размножении кроликов
Ответ на задачу о размножении кроликов

Заметим, что Фибоначчи рассматривал свою задачу для взрослой пары кроликов (на это указывают слова «рождаются кролики со второго месяца»). Если же решать ее для новорожденной пары, получится последовательность; в таком случае ровно через год количество животных увеличится до 233 пар особей.

Задача о взрослых кроликах
Задача о взрослых кроликах

Спустя полтора столетия индийский математик Нарайана рассматривал похожую задачу: «найти число коров и телок, происходящих от одной коровы в течение 20 лет, при условии, что корова в начале каждого года приносит телку, а телка, достигнув трех лет, дает такое же потомство в начале года». Если решать задачу, составляя рекуррентное соотношение, придем к последовательности 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, ... .

Задача о размножении коров
Задача о размножении коров
    Задача Фибоначчи о семи старухах

Условие задачи: «Семь старух отправляются в Рим. У каждой старухи по семь мулов, каждый мул несет по семь мешков, а в каждом мешке по семь хлебов, в каждом хлебе по семь ножей, каждый нож в семи ложках. Сколько всего предметов?».

Задача о семи старухах
Задача о семи старухах

Перед нами хорошо известная, встречающаяся у разных народов задача - шутка, как ее часто называют историки математики, полагая, что в былые времена она была всего лишь нехитрой забавой для учеников. А ведь эта восходящая еще к древним египтянам задача, вернее ее решение, служит прекрасной наглядной иллюстрацией построения геометрической прогрессии и нахождения суммы первых n ее членов по известному первому члену и знаменателю. И именно в таком качестве ее вполне можно использовать в обучении детей математике.

Формулы арифметической и геометрической прогрессий
Формулы арифметической и геометрической прогрессий

Решение этой задачи отличается от Ахмесовой только тем, что к пяти числам лестницы надо прибавить еще шестое число, равное семи, т.е. 76 = 117649, Всего получится 7 + 72 +73 +74 + 75 + 76 = 137 256 предметов.

Суммирование шести чисел в задаче о старухах
Суммирование шести чисел в задаче о старухах

Напомним ее условие: «У семи лиц по семи кошек, каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев ячменя, из каждого колоса может вырасти по семь мер зерна. Как велики числа этого ряда и как велика их сумма?» А вот для сравнения русский вариант задачи, рассмотренной в книге Леонардо: «Шли семь старцев, у каждого старца по семь костылей, на каждом костыле по семь сучков, на каждом сучке по семь кошелей, в каждом кошеле по семь пирогов, в каждом пироге по семь воробьев. Сколько всего?»

Задача Ахмеса о семи кошках и ее решение
Задача Ахмеса о семи кошках и ее решение
    Задача Фибоначчи о гирях

Следующая задача, рассмотренная Фибоначчи, называется "задачей о выборе наилучшей системы гирь для взвешивания на рычажных весах". Она также называется "задачей о гирях" или "задачей о взвешивании". История этой задачи такова.

Распространенные задачи на взвешивание
Распространенные задачи на взвешивание

Из сочинений Фибоначчи она перекочевала в сочинения еще одного знаменитого итальянского математика Луки Пачиоли, который был "другом и советником Леонардо да Винчи". Лука Пачиоли поместил ее в свою книгу "Summa de Arithmetica, Geomeytria, Proprtioni et Proportionalita", которую он опубликовал в 1494 г. Эта книга по праву считается математической энциклопедией эпохи Возрождения.

Советник Леонардо да Винчи Лука Пачиоли
Советник Леонардо да Винчи Лука Пачиоли

Задача о выборе наилучшей системы гирь для взвешивания на рычажных весах впервые была сформулирована именно Фибоначчи. Леонардо Пизанский предлагает два варианта задачи:

Простой вариант: требуется найти пять гирь, с помощью которых можно найти все веса меньше 30, при этом гири можно класть только на одну чашу весов (Ответ: 1, 2, 4, 8, 16). Решение строится в двоичной системе счисления.

Двоичная система счисления
Двоичная система счисления

Сложный вариант: требуется найти наименьшее число гирь, с помощью которого можно взвесить все веса меньше заданного (Ответ: 1, 3, 9, 27, 81,…). Решение строится в системе счисления по основанию три и в общем случае представляет собой последовательность

Условие и решение задачи Фибоначчи о гирях
Условие и решение задачи Фибоначчи о гирях

Затронутый в этой задаче вопрос равносилен вопросу о представлении натурального числа n меньшего или равного 30 в виде суммы не более пяти различных натуральных чисел из набора m1, ..., m5 , не превосходящих n.

Уравнение пяти различных натуральных чисел
Уравнение пяти различных натуральных чисел

В данном выражении каждый из множителей a1, ..., a5 равен 1 или 0 (гиря либо кладется на чашку весов, либо нет). Но тогда естественно перейти к двоичной системе счисления.

Уравнение двоичной системы счисления
Уравнение двоичной системы счисления

Таким образом, в набор должны входить гири, массы которых выражаются числами 1, 2, 4, 8 и 16.

Ответ на задачу о гирях
Ответ на задачу о гирях

Затем "задача о гирях" появляется в "Сборнике приятных и занимательных задач" (1612 г.), написанном французским математиком Баше де Мизириаком. В чем же состоит суть этой задачи? Одним из наиболее древних измерительных устройств являются рычажные весы, которыми каждый из нас пользовался неоднократно. При взвешивании мы используем некоторую систему гирь; при этом «взвешивание» некоторого груза Q осуществляется путем его сравнения с гирями, имеющимися в нашем распоряжении.

Задача о поиске наилучшей системы гирь
Задача о поиске наилучшей системы гирь

Процедура взвешивания, выполняемая в соответствии с некоторыми правилами, называется алгоритмом взвешивания или алгоритмом измерения. При этом возникает задача о выборе «оптимальной» системы гирь, которая по существу сводится к задаче о нахождении «оптимального» алгоритма измерения. Но это именно та задача, которую мы сформулировали в качестве центральной задачи конструктивной (алгоритмической) теории измерения.

Алгоритмическая теория информации

‌Клод Гаспар Баше де Мезириак (1581...1638) известен, в частности, как автор книг по занимательной математике. В одной из них и приведена задача об оптимальной системе гирь.

Формулировка и решение задачи Баше де Мезириака о гирях
Формулировка и решение задачи Баше де Мезириака о гирях

В «Liber abaci» у Фибоначчи содержался также более сложный вариант рассмотренной задачи. В нем разрешается класть гири на обе чашки рычажных весов, а значит, надо будет думать не только о выборе гирь, но и о том, куда и каком количестве их добавлять. Ясно, что в данном случае каждое из чисел ai может принимать три различных значения (гиря добавляется либо на свободную чашку весов, либо на чашку с грузом или вообще не используется) и приходится обращаться уже к троичной системе счисления. Решив задачу для n ≤ 40, Леонардо получил в ответе набор гирь массами 1, 3, 9 и 27 весовых единиц.

Рычажные весы и гири
Рычажные весы и гири

Оба варианта задачи интересны еще и тем, что найденные числа являются членами геометрических прогрессий со знаменателями q = 2 и q = 3 соответственно. А к системе из пяти гирь, упоминающейся в задаче Фибоначчи, можно прийти, рассматривая неравенство.

Неравенство для решения задачи о гирях
Неравенство для решения задачи о гирях

Хотя данную задачу часто связывают с именем французского математика и поэта Баше де Мезириака, она встречается еще у Фибоначчи. Вероятно, и тот не сам ее придумал. А настоящим автором этой до недавнего времени актуальной практической задачи мог быть какой-нибудь сметливый торговец, которому частенько приходилось взвешивать свой товар. Таким образом, заслуга Фибоначчи состоит в том, что он сформулировал первую в истории математики «оптимизационную задачу» в теории измерения.

Сметливый торговец
Сметливый торговец
    Задача Фибоначчи о денариях

Формулировка задачи Леонардо Фибоначчи о денариях: «Если первый человек получит от второго 7 денариев, то станет в пять раз богаче второго, а если второй человек получит от первого 5 денариев, то станет в семь раз богаче первого. Сколько денег у каждого?».

Задача о семи денариях и ответ на нее
Задача о семи денариях и ответ на нее

Решение задачи Фибоначчи о семи денариях. Обозначив буквами x и y количество денег, имеющихся у первого и у второго человека, получим систему двух уравнений:

Система уравнений в задаче о денариях
Система уравнений в задаче о денариях

из которой найдем:

Решение системы уравнений в задаче о денариях
Решение системы уравнений в задаче о денариях

Такой способ решения напрашивается сам собой, поскольку в задаче говорится о двух неизвестных. А вот Леонардо Пизанский в своих рассуждениях ограничился одной неизвестной, назвав ее по давно укоренившейся среди математиков традиции «вещью». Приняв имущество второго человека за вещь и семь денариев, т.е. за (x + 7), он выразил имущество первого как (5x – 7) и в дальнейшем пришел к линейному уравнению:

Линейное уравнение в задаче о денариях
Линейное уравнение в задаче о денариях

Попутно заметим, что в трактате Фибоначчи содержатся аналогичные задачи и с бóльшим числом людей.

Большое количество людей
Большое количество людей
    Задача Фибоначчи о птицах

Условие задачи Леонардо Фибоначчи о птицах: «30 птиц стоят 30 монет. Куропатки стоят по 3 монеты, голуби по 2, а пара воробьев – по монете. Сколько птиц каждого вида?».

Условие и ответ на задачу Фибоначчи о птицах
Условие и ответ на задачу Фибоначчи о птицах

Решение задачи Фибоначчи о птицах. Из-за большого количества неизвестных данную задачу вполне логично решать алгебраически. Если число куропаток, голубей и воробьев обозначить буквами x, y, z соответственно, то решение сведется к нахождению тройки натуральных чисел, удовлетворяющих системе уравнений с тремя неизвестными:

Система уравнений в задаче о птицах
Система уравнений в задаче о птицах

Исключив z и выразив затем x через y, получим x = 6 – 3/5 y. Единственное возможное значение y равно 5, тогда x = 3, z = 22. Интересно, что данную задачу автор «Liber abaci» рассматривал как задачу на сплав достоинства 1, который должен получиться из трех целочисленных количеств достоинством 3, 2 и 1/2. Эта же задача, но с чуть измененными числовыми данными (стоимость птиц разного вида выражается обратными числами: 1/3, 1/2 и 2) разбиралась еще в одном сочинении Леонардо.

Птицы разного достоинства
Птицы разного достоинства
    Задача Фибоначчи на решение системы уравнений

По условию задачи нужно решить следующую систему уравнений:

Условие задачи Фибоначчи на решение системы уравнений
Условие задачи Фибоначчи на решение системы уравнений

Решение задачи Леонардо Фибоначчи о системе уравнений. На самом деле данная система является симметричной и имеет ни одно, как указал Фибоначчи, а два решения:

Результат решения задачи Фибоначчи о системе уравнений
Результат решения задачи Фибоначчи о системе уравнений

Но интересна задача не только этим. В «Liber abaci» приведены разные способы ее решения.

Во-первых, «стандартный» в нашем понимании способ решения: с помощью подстановки y = 10 – x. Исключаем y и сводим задачу к решению квадратного уравнения:

Стандартный способ решения системы уравнений Фибоначчи
Стандартный способ решения системы уравнений Фибоначчи

Во-вторых, способ решения системы уравнений посредством замены:

Решение системы уравнений Фибоначчи посредством замены
Решение системы уравнений Фибоначчи посредством замены

Вклад в науку и научные достижения Фибоначчи

Развитие математики в Средневековой Европе сильно сдерживалось несовершенством записи чисел. Повсеместно в Европе была принята римская система счисления, в которой сложно было производить арифметические действия.

Римская система счисления
Римская система счисления

Между тем, арабы, проживавшие в мусульманской Испании и Сицилии, и торговавшие со всем миров, с самого начала, т.е. чуть ли не с эпохи пророка Мухаммеда, пользовались позиционной формой записи чисел. Мы называем такую запись арабской, хотя сами арабы переняли систему счисления и форму цифр у хинди. Поэтому арабы называли их знаками хинди, т.е. индийскими.

Происхождение арабских цифр
Происхождение арабских цифр

Проникновение в Европу арабско-индийского позиционного счета происходило очень болезненно. После раскола христианской церкви на более модернистскую католическую и достаточно консервативную православную, произошедшего в 1054 году, в Италии сложилась благоприятная политическая обстановка для восприятия арабской культуры.

Принципы позиционных систем счисления
Принципы позиционных систем счисления

Правда, прошло еще немало времени, пока наконец, в итальянском городе Пиза родился человек, передавший главнейшее математическое знание арабов темной и отсталой христианской Европе. Этого человека и звали Леонардо Пизанский или Фибоначчи.

Отсталая средневековая христианская Европа
Отсталая средневековая христианская Европа

С понятием "средневековье" в нашем сознании ассоциируется разгул инквизиции, костры, на которых сжигали ведьм и еретиков, крестовые походы за "телом господним". Наука в те времена явно не находилась "в центре внимания общества". В этих условиях появление книги по математике "Liber abaci" ("Книга об абаке"), написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Пизано (по прозвищу Фибоначчи), явилось важным событием в "научной жизни общества".

Средневековая инквизиция
Средневековая инквизиция

Оставаясь верным математическим турнирам, основную роль в своих книгах Фибоначчи отводит задачам, их решениям и комментариям. Задачи на турниры предлагал как сам Фибоначчи, так и его соперник, придворный философ Фридриха II Иоганн Палермский.

Средневековый математический турнир
Средневековый математический турнир

  Фибоначчи - математик опередивший время

Как отмечают исследователи, один из научных трудов Фибоначчи «Liber abaci» не просто выделяется, а резко возвышается над средневековой литературой по арифметике и алгебре. Прежде всего благодаря фундаментальности изложения и многообразию рассмотренных в ней методов и задач. Уровень сочинения оказался столь высок, что осилить и воспользоваться изложенными в нем сведениями смогли главным образом ученые-математики, отчасти современники Леонардо, и в еще большой мере - представители последующих поколений.

Ученые-математики последующих поколений
Ученые-математики последующих поколений

Фактически лишь спустя три столетия после выхода в свет книги «Liber abaci» стало заметно ее влияние на работы других авторов. С появлением труда Фибоначчи, а также внедрением в систему счета арабских цифр, европейские ученые эпохи Средневековья, бывшие зачастую философами-схоластами или духовными лицами, для кого математика не была основным занятием, стали уделять больше внимания алгебре и затрагивать в своих исследованиях ее новые вопросы.‌

История появления цифр

‌Однако первых серьезных результатов удалось достичь только в эпоху Возрождения, к началу XVI столетия, когда группа итальянских математиков (Сципион дель Ферро, Никколо Тарталья, Иероним Кардано, Людовико Феррари) получила общее решение кубических уравнений, положив тем самым начало высшей алгебре.

Алгебра - искусство решать уравнения
Алгебра - искусство решать уравнения

Выходит, что как ученый Леонардо Пизанский не только превзошел, но и на многие десятилетия опередил западноевропейских математиков своего времени. Подобно Пифагору, привнесшему в греческую науку знания, некогда полученные от египетских и вавилонских жрецов, Фибоначчи творчески подходил к изучению математики, во многом способствовал передаче приобретенных им в молодости математических знаний индусов и арабов в западноевропейскую науку и заложил фундамент для ее дальнейшего развития.

Творческий подход к математике
Творческий подход к математике

Фибоначчи был одним из наиболее ярких математических умов в истории западноевропейской математики, однако его вклад в математику незаслуженно занижен. Наиболее ясно значимость математического творчества Фибоначчи для математики показана математиком проф. А.В. Васильевым в его книге "Целое число" (1919 г.).

Книга профессора Васильева Целое число
Книга профессора Васильева Целое число

Васильев писал: "Сочинения ученого пизанского купца были настолько выше уровня математических знаний даже ученых того времени, что их влияние на математическую литературу становится заметным только через два столетия после его смерти в конце 15-го века, когда многие из его теорем и задач вводятся другом Леонардо да Винчи, профессором многих итальянских университетов Лукою Пачиоли в его сочинениях и в начале 16-го века».

Профессор математики Александр Васильевич Васильев
Профессор математики Александр Васильевич Васильев

Из этого высказывания следует, что Фибоначчи почти на два столетия опередил западноевропейских математиков, своих современников. Как и Пифагор, который получил свое "научное образование" у египетских и вавилонских жрецов и затем содействовал передаче полученных знаний в греческую науку, Фибоначчи приобрел свое математическое образование в арабских школах и многие из полученных там знаний, в частности, арабо-индусскую десятичную систему счисления, он попробовал ввести в западноевропейскую науку.

Греческая наука
Греческая наука

И сходно Пифагору историческая роль Фибоначчи для западного мира состояла в том, что он своими математическими трудами содействовал передаче математических знаний арабов в западноевропейскую науку и тем самым заложил начала для дальнейшего формирования западноевропейской математики.

Западноевропейская наука
Западноевропейская наука

  Заслуги Фибоначчи

Главной заслугой ученого-математика Леонардо Фибоначчи перед мировой цивилизацией явились даже не его многочисленные личные открытия и теории в области математической науки, а то, что он впервые в мире взял на вооружение научный и практический опыт древнейших цивилизаций, тщательно изучил, проанализировал научные знания известных ученых и мыслителей древней Греции, Египта Индии и арабского Востока, систематизировал и упорядочил их научные и математические теории и стал их активным распространителем в европейском мире своего времени.

Научные знания древнего мира

‌Это дало громадный толчок к развитию математических и естественных наук в странах европейского континента, стало поистине революционным фактором и значительным прорывом, в корне изменившими ход истории науки в Европе, подтолкнуло многих ученых более молодых поколений к совершению величайших научных открытий, обеспечивших интенсивное развитие цивилизации. Фибоначчи стал поистине своеобразным акселератором мировой научной мысли всего человеческого сообщества.

Акселератор науки и технологии
Акселератор науки и технологии
    Внедрение арабских (индийских) цифр в Европе

Стоить вспомнить, что в Европе во времена Фибоначчи и ранее применялись Римские цифры, которыми было весьма неудобно оперировать как при сложных математических и физических вычислениях, так и при рутинной работе с финансами и бухгалтерией. А Леонардо Фибоначчи представил Европе Арабские (индийские) цифры, которыми пользуется практически весь западный мир по сей день. Переход от Римской системы к Арабской произвел революцию в математике и других науках, тесно с ней связанных.

Революции в математике

‌Трудно представить, каков был бы мир, если бы тогда, в 13 веке, Фибоначчи не опубликовал бы свою книгу и не изложил европейцам Арабские цифры. Интересно, что мы с вами используем Арабские цифры, не задумываясь, воспринимая их как само собой разумеющееся. Но если бы не Леонардо Фибоначчи, кто знает, как бы развивался ход истории.

Использование арабских цифр
Использование арабских цифр

Ведь представление и трактат Арабских чисел существенно изменил средневековую математику в лучшую сторону; он продвинул ее вперед, а вместе с ней и другие науки, такие как физику, механику, электронику и т.д. Заметьте, ведь именно эти науки ведут прогресс вперед. Именно поэтому, во многом, ход истории, развитие Европейской цивилизации и науки в целом обязаны Леонарду Фибоначчи.

Наука двигатель прогресса
Наука двигатель прогресса
    Числовой ряд Фибоначчи

Наиболее важной выдающейся заслугой Леонардо Фибоначчи является ряд чисел, или числовая последовательность Фибоначчи. Считается, что об этом ряде было известно на Востоке, но именно Леонардо Фибоначчи опубликовал этот ряд чисел в вышеупомянутой книге «Liber Abaci» (сделал он это для демонстрации размножения популяции кроликов).

Числовой ряд Фибоначчи

‌Впоследствии выяснилось, что эта последовательность чисел имеет важное значение не только в математике, экономике, техническом анализе и финансах, но также в ботанике, зоологии, физиологии, медицине, искусстве, а также философии, эстетике и многом другом. Т.к. цивилизации этот ряд чисел стал известен от Леонардо Фибоначчи, его так и прозвали, «Ряд Фибоначчи» или «Числа Фибоначчи».

Соотношения Фибоначчи в ботанике
Соотношения Фибоначчи в ботанике

Последовательность Фибоначчи характеризуется любопытными особенностями, например, постоянной взаимосвязью между числами. Сумма двух любых соседних чисел составляет следующее число в последовательности (5 + 8 = 13, 3 + 5 = 8 и т.д.). Отношение любого числа ряда Фибоначчи по отношению к следующему приближается к значению 0,618 (после четырех первых чисел), отношение любого числа ряда к предыдущему равно приблизительно 1,618 (значение обратное 0,618). Также, отношение любого числа ряда к следующему (через одно) приближается к величине 0,382, а к предшествующему числу (через одно) – к 2,618.

Взаимосвязи между числами

‌Помимо всех вышеперечисленных, последовательность Фибоначчи характеризуется и другими любопытными соотношениями. Однако в действительности Леонардо Фибоначчи не является первооткрывателем данной последовательности. Еще древнеегипетские и древнегреческие математики знали о коэффициентах 0,618 и 1,618 – они называли его «золотым сечением» или «золотым коэффициентом». Греки использовали принципы «золотого сечения» в процессе строительства Парфенона, а египтяне – при возведении Великой пирамиды в Гизе. Также, свойства «золотого коэффициента» были известны Платону, Пифагору и Леонардо да Винчи.

Золотой коэффициент
Золотой коэффициент

В последовательности Фибоначчи, каждый элемент, начиная с третьего, является суммой двух предыдущих элементов, при том, что ряд начинается с чисел 0 и 1. Итого получается: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025 ...

Числа Фибоначчи на клавиатуре пианино

‌Отношение двух соседних элементов ряда Фибоначчи стремится к Золотому Сечению (об этом великом феномене природы будет отдельная статья), т.е. к 1,618… Уникальность этого числа состоит в том, что оно является одним из решений уравнения x+1=x2. Вдумайтесь в смысл этого простого квадратного трехчлена: если вы не видите красоту и загадочность, значит вы, увы, не дружите с математикой.

Дружба с математикой
Дружба с математикой
    Золотое сечение Фибоначчи

Золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении) - деление величины (например, длины отрезка) на две части, таким образом, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению всей величины к её большей части. Или, если использовать вычисленную величину золотого сечения, - это деление величины на две части - 62% и 38% (процентные значения округлены). Приблизительная величина золотого сечения равна 1,6180339887.

Золотое сечение

‌Прикладное значение ряда Фибоначчи и Золотого Сечения заслуживает отдельной статьи (если не отдельного сайта). Сейчас лишь скажу, что, например, элементы ряда Фибоначчи применяются для вычисления скользящих средних (не говоря уже о росте популяции кроликов), и шедевры мирового искусства содержат в себе Золотое Сечение.

Золотое сечение в шедеврах мирового искусства
Золотое сечение в шедеврах мирового искусства

Числовая градация в данном случае проста и элегантна: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и так далее до бесконечности. Между членами множества наблюдается закономерность: каждый элемент является суммой двух предыдущих чисел. Отношение любого компонента прогрессии к последующему неуклонно стремится к величине 0,618: 1/2 = 0,5; 2/3 = 0,67; 3/5 = 0,6; 5/8 = 0,625; 8/13 = 0,615… Отсюда частное от деления последующего атрибута зависимости на предыдущий близко колеблется около 1,618, параметра обратного 0,618.

Влияние чисел на жизнь и судьбу человека

‌Указанные пропорции были известны задолго до Леонардо Пизанского. Их называли «золотым коэффициентом» или «золотым сечением». Ими пользовались древнегреческие строители при возведении Парфенона. Древние египтяне применяли «золотое» отношение при строительстве Великой пирамиды в Гизе. Упоминание о «золотом сечении» можно найти у Пифагора, Платона и Леонардо да Винчи.

Великая пирамида в Гизе
Великая пирамида в Гизе
    Золотая спираль Фибоначчи

В то время как Золотое сечение и Золотой прямоугольник, построенный на его основе, представляют собой статические формы естественной и сотворенной человеком красоты и деятельности, представление эстетически привлекательного динамизма, организованного движения роста и развития может быть выполнено только самой прекрасной формой во Вселенной - Золотой спиралью.

Золотая спираль Фибоначчи

‌Вся Вселенная похожа на Золотую спираль. Спираль Фибоначчи (Fibonacci Spiral) постоянно повторяется в жизни, так как она порождена спиралью Золотого Сечения, не имеющей ни начала, ни конца, уходящей в бесконечность. Жизнь не знает, как ей вести себя с бесконечностью, и эта последовательность, ставшая известной как последовательность Фибоначчи, дает ей ответ на вечный вопрос.

Золотая спираль во Вселенной
Золотая спираль во Вселенной

Золотая спираль, которая является разновидностью логарифмической или изогональной спирали, не имеет границ и является постоянной по форме. Из любой точки спирали можно двигаться бесконечно или в направлении внутрь, или наружу. Центральная часть логарифмической спирали, рассмотренная через микроскоп, имела бы тот же облик, что и самая широкая видимая ее часть на удалении многих световых лет.

Построение Золотой логарифмической спирали
Построение Золотой логарифмической спирали

Как указывал Давид Бергамини (David Bergamini) в Математике, хвост кометы раскручивается от солнца в форме логарифмической спирали. Паук Epeira прядет свою паутину в виде логарифмической спирали. Бактерии размножаются в логарифмической прогрессии, которую можно начертить в виде логарифмической спирали.

Паутина паука Epeira
Паутина паука Epeira

Метеориты, врезаясь в поверхность Земли, формируют впадины, которые соотносятся с логарифмической спиралью. Сосновые шишки, морские коньки, раковины улиток, раковины моллюсков, волны океана, папоротники, рога животных и расположение семян подсолнуха и маргаритки - все они образуют логарифмические спирали.

Числовая последовательность Фибоначчи в природе

‌В чем разница между спиралями золотого сечения и спиралью Фибоначчи? Спираль золотого сечения идеальна. Она соответствует Первоисточнику гармонии. Эта спираль не имеет ни начала, ни конца. Она бесконечна. Спираль Фибоначчи имеет начало, от которого она начинает “раскрутку”. Это очень важное свойство. Оно позволяет Природе после очередного замкнутого цикла осуществлять строительство новой спирали с “нуля”.

Построение спирали Фибоначчи

‌Принципы и законы числового ряда Фибоначчи, Золотого Сечения, Золотой спирали и Спирали Фибоначчи прослеживаются в построении всего окружающего мира, от генетических молекул до вселенских галактик – в животном и растительном мире, архитектуре, музыке, живописи и изобразительном искусстве, историческом развитии человеческой цивилизации, и даже принципах и методах биржевой торговли.

Законы Фибоначчи в музыке
Законы Фибоначчи в музыке
    Биржевые методы торговли и трендовый анализ по Фибоначчи

В результате огромной работы была изучена последовательность и свойства чисел Фибоначчи, которая заключается в том, что сумма двух соседних чисел последовательности дает значение следующего за ними. Данное свойство последовательности можно применить в практике трендового анализа в биржевой торговле при изучении изменения тренда на определенный период.

Обложка книги Роберта Фишера по биржевому анализу
Обложка книги Роберта Фишера по биржевому анализу

Так было выяснено, что за каждым достижением расчетных ценовых целей следует, немедленно либо с небольшой задержкой, изменение основного тренда. При достижении ценовой цели для долгосрочного растяжения или коррекции мы продолжаем ждать выполнения правила входа. В большинстве случаев оно является подтверждением изменения тренда.

Трендовый анализ Фибоначчи

‌Числовые пропорции Фибоначчи – это ориентир не только для возможных уровней отката, но и указание возможной величины хода в случае продолжения тренда. Если рынок после хода откатывается, а затем продолжает свое движение в том же направлении, то величина продолженного хода в типичном случае может составить 1,618. Ценовые цели, основанные на объединении предприятий растяжений и коррекций, не требуют подсчета волн или распознавания волновых форм. Данные знания уже были проверены на практике, что позволяет утверждать о правдивости данных свойств.

График трендового анализа по Фибоначчи
График трендового анализа по Фибоначчи

Фибоначчи является достаточно популярным техническим инструментом на валютном рынке Forex. Его популярность возросла после того, как трейдеры провели ряд экспериментов с его тайной математикой и обнаружили достаточно много достоинств этого метода.

Использование чисел Фибоначчи в биржевой торговле

‌Числовая последовательность Фибоначчи имеет много интересных свойств. Например, сумма двух соседних чисел последовательности дает значение следующего за ними (например, 1+1=2; 2+3=5 и т.д.), что подтверждает существование так называемых коэффициентов Фибоначчи, т.е. постоянных соотношений.

Постоянные соотношения Фибоначчи
Постоянные соотношения Фибоначчи

Наиболее главные следствия из этих свойств различных членов последовательности определяются следующим образом:

- отношение каждого числа к последующему более и более стремится к 0.618 при увеличении порядкового номера. Отношение же каждого числа к предыдущему стремится к 1.618 (обратному к 0.618). Число 0.618 называют (ФИ);

Красота числа ФИ и его роль в окружающем мире

‌- при делении каждого числа на следующее за ним через одно получаем число 0.382; наоборот – соответственно 2.618;

Число 0,382 - один из постоянных коэффициентов Фибоначчи
Число 0,382 - один из постоянных коэффициентов Фибоначчи

- подбирая, таким образом, соотношения, получаем основной набор фибоначчиевых коэффициентов: … 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236, упомянем также 0.5 (1/2). Все они играют особую роль в природе, и в частности – в техническом анализе биржевых трендов.

Коэффициенты Фибоначчи
Коэффициенты Фибоначчи

Заслуга математика Фибоначчи сына купца Боначчи состоит в том, что он смог систематизировать накопленные вековые знания и преподнести их в лёгкой и удобной форме. Но пройдёт еще добрых семьсот лет, прежде чем люди применят информацию о «золотом коэффициенте» к технике волнового конструирования рыночных взаимоотношений.

Рыночные взаимоотношения
Рыночные взаимоотношения

А произойдёт это после того, как в 1939 году инженер Ральф Нельсон Ральф Нельсон Эллиотт обнародует несколько статей в экономическом журнале «Financial World Magazine», касающихся ритмичности поведения биржевых индексов и ценовых потоков. Согласно предложенной джентльменом Эллиоттом модели, все царящие на рынке настроения подчинены ритмическому распределению: за взлётом следует снижение, импульс сменяет откат. Динамичность повторяется волнообразно и сменяет одна другую.

Журнал Financial World Magazine
Журнал Financial World Magazine
    Коэффициеенты Фибоначчи в Волновой Теории Эллиотта

Изучив вышеизложенную последовательность, можно предложить использование последовательности Фибоначчи при прогнозировании цены, то есть в техническом анализе. Эту мысль высказал еще в 30-е годы один из самых известных людей, внесших вклад в теорию технического анализа – Ральф Нельсон Ральф Эллиотт. С тех пор конкретная польза применения этой идеи практически во всех методах технического анализа не вызывает сомнения.

Американский финансовый аналитик Ральф Нельсон Эллиотт
Американский финансовый аналитик Ральф Нельсон Ральф Эллиотт

В них впервые была представлена его точка зрения, что движения индекса Доу Джонса подчиняются определенным ритмам. Согласно Эллиотту, все эти движения следуют тому же закону, что и приливы - за приливом следует отлив, за действием (акцией) следует противодействие (реакция). Эта схема не зависит от времени, поскольку структура рынка, взятого как единое целое, остается неизменной.

Волны Эллиотта
Волны Эллиотта

Ральф Эллиотт писал: "Закон природы включает в рассмотрение важнейший элемент - ритмичность. Закон природы - это не некая система, не метод игры на рынке, а явление, характерное, видимо, для хода любой человеческой деятельности. Его применение в прогнозировании революционно".

Ритмичность в природе
Ритмичность в природе

Этот шанс предсказать движения цен побуждает легионы аналитиков трудиться денно и нощно. Вводя свой подход, Эллиотт был очень конкретен. Он писал: "любой человеческой деятельности присущи три отличительных особенности: форма, время и отношение, - и все они подчиняются суммационной последовательности Фибоначчи".

Труд аналитика
Труд аналитика

Впоследствии, благодаря волновой теории Эллиотта, были установлены следующие постулаты в сфере динамики рынка: направленный курс графика цен в сторону долгосрочного тренда без учёта коррекции можно рассматривать как волновую структуру, после повышающейся тенденции следует понижающаяся и наоборот, импульс одного обновления корректируется откатом другого, велика вероятность обратимости событий.

Волновая теория Эллиотта

‌Изменения цен генерируются согласно иерархической лестнице: всегда доступно выделить подволну, входящую в более масштабное движение, и одновременно состоящую из гармоник низшего порядка. Проще говоря, постоянно прослеживается цикл в цикле.

Изменение цен согласно иерархической лестнице
Изменение цен согласно иерархической лестнице

Один из простейших способов применения чисел Фибоначчи на практике – определение отрезков времени, через которое произойдет то или иное событие, например, изменение тренда. Аналитик отсчитывает определенное количество фибоначчиевых дней или недель (13, 21, 34, 55 и т.д.) от предыдущего сходного события.

Определение отрезков времени
Определение отрезков времени

Числа Фибоначчи имеют широкое применение при определении длительности периода в Теории Циклов. За основу каждого доминантного цикла берется определенное количество дней, недель, месяцев, связанное с числами Фибоначчи. Например, длина Цикла (Волны) Кондратьева равна 54 годам. Отметим близость этой величины к фибоначчиевому числу 55.

Теория циклов в экономике

‌Один из способов применения числа Фибоначчи – построение дуг. Центр для такой дуги выбирается в точке важного потолка (top) или дна (bottom). Радиус дуг вычисляется с помощью умножения коэффициентов Фибоначчи на величину предыдущего значительного спада или подъема цен.

Дуги Фибоначчи
Дуги Фибоначчи

Выбираемые при этой коэффициенты имеют значения 38.2%, 50%, 61.8%. В соответствии со своим расположением дуги будут играть роль сопротивления или поддержки. Для того чтобы получить представление не только об уровнях, но и времени возникновения тех или иных ценовых движений, дуги обычно используют вместе с веерными или скоростными линиями. Принцип их построения похож на описанный только что.

Уровни Фибоначчи в техническом анализе

‌Выбираем точку (или точки) прошлых экстремумов и строим вертикальную линию из вершины второго из них, а горизонтальную – из вершины первого. Получившийся таким образом вертикальный отрезок делим на соответствующие фибоначчиевым коэффициентам части. После этого рисуем лучи, исходящие из первой точки и проходящие через избранные только что. Пересечения верных линий и дуг будут служить сигналами для выявления поворотных точек тренда, причем как по цене, так и по времени.

Веер Фибоначчи
Веер Фибоначчи

Числа Фибоначчи являются одной из двух составляющих в профессиональной методологии Волновой Теории Эллиотта. Именно Ральф Нельсон Эллиотт сделал последовательность Фибоначчи одной из основ теории технического анализа. Числа Фибоначчи делают возможным определение длины развития каждой из волн, как по цене, так и по времени.

Числовая последовательность Фибоначчи в волновой теории Эллиотта

Закон природы, на который ссылается Ральф Нельсон Эллиотт, - это, должно быть, суммационная последовательность Фибоначчи с ее соотношением 1.618. Это число можно обнаружить в пропорциях пирамиды в Гизе, но не в сложных волновых формах теории Эллиотта. Наше прочтение работ Эллиотта состоит в том, что он воспользовался привлекательностью суммационной последовательности Фибоначчи как рыночного инструмента.

Рыночный инструмент
Рыночный инструмент

Лучший подход состоит в совместном использовании соотношений Фибоначчи с теорией Эллиотта для предварительного расчета ценовых целей. Когда соотношение 1.618 (62%) имеет приоритет перед подсчетами волн, можно ввести исчерпывающие правила трейдинга. Приоритет должен быть также и в важности ценовых целей. Большие коррекции с более длительным периодом предпочтительнее краткосрочных форм.

Коэффициенты Фибоначчи и соотношения волн

‌Большие понедельные коррекции автоматически приведут к большому числу волн на дневном чарте. В редких случаях растянутое движение будет состоять из девяти волн, все они одинакового размера. Однако, основывая решение входить только на подсчете числа волн, мы должны заранее знать их количество или предсказать движение, исходя из волновых форм Эллиотта. Никогда не известно заранее, какая волновая форма разовьется, значит, нет необходимости знать заранее и свою рыночную позицию, ни на бычьем, ни на медвежьем трендах.

Бычий тренд
Бычий тренд

Этот пример ставит под вопрос и другое утверждение Эллиотта: "Растяжения происходят только в новой области текущего цикла, то есть они не случаются в коррекциях". Понедельный чарт швейцарского национальной валюты Швейцарии требует следующей интерпретации: рынок находится на коррекции к движению от A до B и произошло растяжение, причем не в новой области, а внутри коррекции.

Уровни Фибоначчи в волновом техническом анализе

‌Полезность использования числовой последовательности Фибоначчи в техническом анализе трудно переоценить. Не забывайте, что на двух руках по пять пальцев, два из которых состоят из двух фаланг, а восемь – из трех.

По пять пальцев на руках
По пять пальцев на руках

Авторы, источники и ссылки

  Создатель статьи

Автором данной статьи является Н.В.Кошелев

vk.com/id256166684 - профиль автора ВКонтакте

odnoklassniki.ru/profile/113745421782/statuses/links - профиль автора в Одноклассниках

Фейсбук.com/koshelev.nik - профиль автора в Facebook

Twitter.com/KoshelevNik/status/473152105532772352 - профиль автора в Твитере

plus.Google Inc..com/106142793696792703966/posts - профиль автора в Гугл+

koshelevnik55.livejournal.com/ - блог автора в Живом Журнале

my.mail.ru/mail/koshelev-nik/ - профиль автора в Майл.Ру

  Ответственные администраторы

Главный редактор - Варис смотрящий

Рецензент статьи - профессор, д. э. н. Хайзенберг

Корректировщик статьи - Джейкоб

  Источники текстов

ru.wikipedia.org - свободная энциклопедия Википедия

elementy.ru - интернет-портал «Элементы» большой науки

strategy4you.ru - интернет сайт стратегий Forex

tutoronline.ru - образовательный интернет-портал Онлайн-Школа

people.su - интернет-сайт историй об известных личностях

math4school.ru - образовательный сайт Математика для школы

unienc.ru - универсальная интернет-энциклопедия

wreferat.baza-referat.ru - электронная база рефератов и курсовых работ

bankreferatov.ru - банк рефератов, дипломов и курсовых работ

infourok.ru - русскоязычный образовательный портал Инфоурок

forex-investor.net - информационно-аналитический сайт для трейдеров и инвесторов Форекс

system-fx.ru - аналитика Forex, анализ финансовых рынков

mark5.ru - энциклопедический электронный банк рефератов

finsovet.org - информационно-новостной финансовый портал

euroua.com - информационно-аналитический сайт мировых новостей

alemix-forex.ru - сайт для начинающих трейдеров

forexac.com - школа обучения торговле

tradexperts.ru - бесплатный советник международного рынка Форекс

greenword.ru - журнал о мире

incunabula.ru - интернет-блог об интересных людях

allbest.ru - наиболее полная электронная база рефератов и курсовых работ

bestreferat.ru -библиотека лучших рефератов, курсовых работ и дипломов

goldenmuseum.com - общеобразовательный сайт о гармонии

xreferat.ru - русскоязычный сайт рефератов

fb.ru - информационно-аналитический социально-экономический портал

mabico.ru - информационно-аналитический портал Финансовые рынки

orbook.ru - электронные учебники для студентов

studopedia.ru - банк рефератов, курсовых и дипломных работ Студопедия

grandars.ru - электронная интернет-энциклопедия экономиста

finlit.online - электронная библиотека финансовой литературы

inecon.org - сайт Института экономики Российской академии наук

the-arcturians.com - научный сайт, посвященный арктурианскому искусству

enc-dic.com - энциклопедии и словари

elementy.ru - научный сайт о фундаментальной науке

wikiznanie.ru - русскоязычная универсальная энциклопедия

cult-turist.ru - портал о путешествиях

dok.opredelim.com - интернет- сайт презентаций

onlinedics.ru - сборник онлайн словарей

forexac.com - обучающий ресурс торговли на валютном рынке Форекс

abc-people.com - энциклопедия людей и идей

kf-forex.com.ua - масштабный интернет ресурс финансового рынка

berg.com.ua - русскоязычный, аналитический сайт финасового рынка

cotinvestor.ru - информационный ресурс в мире трейдинга и инвестиций

ru-trade.info - информационно-аналитический сайт для трейдеров

allfi.biz - информационный портал об инвестициях и инвестиционных инструментах

forexaw.com - информационно-аналитический портал по финансовым рынкам

refstar.ru - электронный банк рефератов и курсовых работ

5fan.ru - курсовые и дипломные работы, рефераты

cotinvestor.ru - информационный ресурс в мире трейдинга и инвестиций

textbook.news - электронная интернет-библиотека

wiki-forex-27.info - обучающий сайт для трейдеров

n-t.ru - научно-техническая электронная библиотека

topref.ru - сервер рефератов, курсовых и контрольных работ

e-ng.ru - электронный портал рефератов Большая Библиотека

iknigi.net - электронная научно-популярная библиотека

  Использованные сервисы

youtube.com - ютуб, крупнейший видеохостинг

Google.ru - крупнейшая поисковая система в мире

translate.yandex.ru - переводчик от поисковой системы Яндекс

maps.yandex.ru - карты от Яндекса для поиска мест описываемых в этой статье

maps.google.ru - карты от Google Inc. для поиска мест описываемых в данной статье

video.google.com - поиск видео в интернете через Гугл

Yandex.ru - крупнейшая поисковая система в Российской Федерации

wordstat.yandex.ru - сервис от Яндекса позволяющий анализировать поисковые запросы

video.yandex.ru - поиск видео в интернете через Яндекс

images.yandex.ru - поиск картинок через сервис Яндекса

ppt4web.ru - интернет-сервис для просмотра презентаций PowerPoint онлайн